2017届湖南省衡阳市第八高三实验班上学期第四次月考数学（理）试题

衡阳2016年下期高三年级第四次月考试卷理数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳高三年级实验班第四次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。1.在n元数集S={a1，a2，…an}中，设X（S）=，若S的非空子集A满足X（A）=X（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为fs（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（）A．fs（4）=fs（5）B．fs（4）=fT（5）C．fs（1）+fs（4）=fT（5）+fT（8）D．fs（2）+fs（3）=fT（4）2.在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.已知向量若与平行，则实数的值是（）A．－2B．0C．2D．14.已知a=log32，b=（log32）2，c=log4，则（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c5.已知函数是奇函数，其中，则函数的图象()A．关于点对称B．可由函数的图象向右平移个单位得到C．可由函数的图象向左平移个单位得到D．可由函数的图象向左平移个单位得到6.设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．﹣87.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A． B． C．2D．8.等差数列{an}满足：=1，公差d∈（﹣1，0）．若当且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则首项a1取值范围是（） A．（，） B．（，） C．[，] D．[，]9.执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）A．8 B．5 C．3 D．210.函数f（x）=（x2﹣2x）ex的图象大致是（）A．B．C． D．11.已知函数f（x）=lnx﹣x+﹣1，g（x）=x2﹣2bx+4，若对任意的x1∈（0，2）存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）12.对任意的实数m，直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n的取值范围是()A．B．C．D．第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.（1﹣x）（1+x）6的展开式中x3系数为．14.以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的命题是．15.已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．16.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．18.（本题满分12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是的中点，点在线段上，且.（1）证明：无论取何值，总有；（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.（本题满分12分）某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组，第一组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为.若，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率；（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数的分布列及期望.20.（本题满分12分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”21.（本题满分12分）已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）． （1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）单调增区间； （3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围． 选做题（从22、23题中任选一题作答，共10分）22.（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣1，0），其倾斜角是α，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程是ρ2=6ρcosθ﹣5．（Ⅰ）若直线l和曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设B（x，y）为曲线C任意一点，求的取值范围．23.（选修4-5：不等式选讲）已知函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若的最小值为1，求a的值.

衡阳2016年下期高三实验班第四次月考理数参考答案题号123456789101112答案DBCBCCBBCBAA13.514.②③15.16.230017.（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和，∴a1=11．当n≥2时，．又∵an=6n+5对n=1也成立所以an=6n+5，{bn}是等差数列，设公差为d，则an=bn+bn+1=2bn+d．当n=1时，2b1=11﹣d；当n=2时，2b2=17﹣d由，解得d=3，所以数列{bn}的通项公式为；（Ⅱ）由，于是，，两边同乘以2，得．两式相减，得==﹣n•2n+2．所以，．18.以A为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则A1（0，0，2），B1（2，0，2），M（0，2，1），N（1,1，0），，(Ⅰ)∵，∴.∴无论取何值，.(II)时，,.而面，设平面的法向量为，则,设为平面与平面ABC所成锐二面角，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是19.（1）频率分布直方图见解析，；（2）；（3）分布列见解析，..故的分布列如下0123依题意，故.20.（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．21.（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna， ∴f′（x）=axlna+2x﹣lna， ∴f′（0）=0，f（0）=1 即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0， ∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1； （2）由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0 ①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增， ∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增， ∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； 综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）； （3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1， 所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min| =（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1， 由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增， 所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1， （f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}， 而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna， 记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0）， 因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号）， 所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0， 所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0， 也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）； 当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1） ①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e， ②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤， 综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）． 22.（Ⅰ）曲线C的极坐标方程转化成直角坐标方程是C：x2+y2﹣6