方程组的解题5种常见考法归类

方程组的解集5种常见考法归类1、方程组的解集一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．注意：（1）解方程组常用的方法：消元法．（2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．2、二元一次方程组方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．例如，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,3x－y＝6，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（x－3y）＋3＝0，,\f(3x－1,2)－5y＝2))都是二元一次方程组．3、三元一次方程组方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．例如，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,y＋z＝5，,x＋z＝4，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＋z＝4，,2x＋3y－z＝12，,x＋y＋z＝6))都是三元一次方程组．4、二元二次方程组二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程叫做二元二次方程．二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为2，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组．注：(1)二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个二元二次方程组成，我们主要学习第一种类型．(2)解二元二次方程组的思路是消元和降次．5、用代入消元法解二元一次方程组的步骤(1)变形选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b)(a，b是常数，a≠0)的形式．(2)代入把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．(3)求解解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值．(4)回代把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程，求出另一个未知数．(5)写解集用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式．6、用加减消元法解二元一次方程组的步骤(1)变形根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数，使两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数．(2)加减两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减．(3)求解解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值．(4)回代把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值．(5)写解集用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式．注意：(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．(3)当两个方程中，同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减消元法较简单．(4)当两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数比较复杂时，往往选用加减消元法．7、解三元一次方程组的基本思路8、消元法解三元一次方程组的两个注意点(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．注；解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的．9、“二·一”型的二元二次方程组的基本思想“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把二元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．10、解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：解“二·二”型方程组的基本思想解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组．解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．考点一求二元一次方程组的解集考点二求三元一次方程组的解集考点三求二元二次方程组的解集（一）“二·一”型的二元二次方程组（二）“二·二”型的二元二次方程组考点四方程组在实际问题中的应用考点五已知解集求参数考点一求二元一次方程组的解集1．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）方程组的解集是【答案】【分析】通过解方程组和集合的概念即可求解.【详解】方程组可知，，从而方程组的解集为.故答案为：.2．（2023秋·上海普陀·高一校考阶段练习）用列举法表示方程组的解集为．【答案】【分析】解方程组，并用列举法表示解集.【详解】，则，两式相减得，解得，故，∴方程组的解集为.故答案为：.3．（2023·高一课时练习）若关于x，y的方程组与的解集相等，则a、b的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由解得，再把代入，求解即可.【详解】由题意联立方程为：，解得，把代入得，解得.故选：B4．（2023秋·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）解关于，的方程组：．【答案】见解析【分析】分别讨论、、时的解即可.【详解】（1）当时，，方程组解为；（2）当时，，方程组无解；（3）当时，两式相加得，两式相减得，方程组解为.考点二求三元一次方程组的解集5．（2023·高一课时练习）已知非零实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由方程组即可求解的关系，进而可求解.【详解】由两式子相加可得，所以，所以，故选：C6．（2023春·北京海淀·高一校考开学考试）已知方程组，则．【答案】【分析】根据题目中等量关系代入即可求解【详解】令，解得，所以.故答案为：.7．（2023秋·全国·高一专题练习）方程组的解集的是（

）A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)}【答案】A【分析】将第一个式子分别与第二、第三个式子相加消去，可得，求解可得，再代入第一个式子，即得解【详解】由题意将第一个式子分别与第二、第三个式子相加得：代入第一个式子，可得故方程组的解集为：{(1，－2，3)}故选：A8．（2023秋·辽宁大连·高一大连市第二十高级中学校考阶段练习）（1）求方程组的解集；（2）求三元一次方程组的解集.【答案】（1），（2）【分析】（1）将第2个方程化简变形后，利用代入法求解，（2）给第2个方程两边同乘以3，再第3个方程相加，消去，得到关于的方程，再与第1个方程联立求解即可【详解】（1）由，得，得，代入中得，，得，所以，所以方程组的解集为（2）给两边同乘以3，得，再与相加，得，由，得，把代入中，解得，所以原方程组的解集为9．（2023·上海·高一专题练习）已知是非负整数，且，则的范围是【答案】【分析】由①×3﹣②得到2x+y＝0，结合x、y是非负整数，得到x＝y＝0，z＝10，进而计算结果.【详解】∵①×3﹣②得：2x+y＝0，∵x、y是非负整数，∴x＝y＝0，z＝10，∴x+5y+3z＝30，故答案为：．考点三求二元二次方程组的解集（一）“二·一”型的二元二次方程组10．（2023秋·全国·高一专题练习）方程组的解集是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】解方程组，再将方程组的解用集合表示.【详解】由，解得，所以方程组的解集是，故选：D11．（2023·高一课时练习）方程组的解集为.【答案】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】由②得代入①，得，整理得，因为，所以此方程无实数解，故方程组的解集为．故答案为：．12．（2023秋·山东日照·高一山东省日照实验高级中学校考阶段练习）（1）求方程的解集；（2）求方程组的解集.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）原方程可化为，即可求解集；（2）由方程组可得，即可求y值，再代入求x值，即可得解集.【详解】（1）由题设，，解得或，∴原方程的解集为.（2）由题设，，整理有，可得，代入，可得，∴方程组的解集为.13．（2023秋·北京·高一校考期中）求下列方程组的解集：(1)

；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用加减消元法求得正确结果.（2）利用代入消元法求得正确结果.(1)，①得：③，③②得：，代入①，，所以方程组的解集为.(2)由①得代入②，，，或，当时，，当时，，所以方程组的解集为.14．（2023·高一课时练习）求方程组的解集.【答案】【分析】利用消元法即可解出方程组.【详解】由得，代入得：，解得或，当时，；当时，.所以方程组的解为或，其解集为.15．（2023秋·全国·高一专题练习）求下列方程组的解集：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）中由第一个式子可得代入第二个、第三个式子，再作差求解即可；（2）中由第一个式子可得代入第二个式子求解即可；（3）由第一个式子可得代入第二个式子求解即可.【详解】（1）由第一个式子可得代入第二个、第三个式子可得：，两个式子作差可得代入可得故方程组的解集为（2）由第一个式子可得代入第二个式子可得解得代入，可得故方程组的解集为（3）由第一个式子可得代入第二个式子可得即解得代入可得故方程组的解集为（二）“二·二”型的二元二次方程组16．（2023·高一课时练习）已知矩形的面积为，对角线长，则该矩形的周长为.【答案】34【分析】设出矩形的长与宽，由题意列出等量关系求解即可.【详解】设矩形的长为，宽为.由题意可得：，则，所以，所以该矩形的周长为.故答案为：34.17．（2023秋·高一课时练习）解方程组【答案】{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}.【分析】化简可得x＋y＝0或x－y－5＝0，然后分别与联立解方程即可.【详解】由x2－y2－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y－5)＝0，所以x＋y＝0或x－y－5＝0，所以原方程组可化为两个方程组：或用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：或或或，所以原方程组的解集为{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}.【点睛】本题主要考查解方程组，重在考查计算，属基础题.18．（2023·高一课时练习）已知实数，满足，，则．【答案】或2或【分析】对分，两种情况讨论得解.【详解】当时，由题得所以或，所以或2；当时，实数，是方程的两个实数根，所以，综合得或2或.故答案为：或2或19．（2023·全国·高三专题练习）若相异两实数x，y满足，则之值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据已知条件求得，由此求得所求表达式的值.【详解】两式作差消元得：，反代回去得：，同理可得：，由同构及韦达定理有：继而有：.故选：D考点四方程组在实际问题中的应用20．（2023秋·全国·高一专题练习）某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（

）A．8元 B．16元 C．24元 D．32元【答案】D【解析】设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，根据题意得，解得8x＝a－32，由此得解.【详解】设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，则，两式相加得8x＋8y＝2a，∴x＋y＝a，∵5x＋3y＝a－8，∴2x＋(3x＋3y)＝a－8，∴2x＋3×a＝a－8，∴2x＝a－8，∴8x＝a－32，即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，故选：D.21．（2023秋·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三（钱），人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是，物价是（钱）．【答案】【分析】设人数为，物价是（钱），根据已知条件可得出关于、的方程组，即可得解.【详解】设人数为，物价是（钱），则，解得.故答案为：；.22．（2023秋·全国·高一专题练习）x人，组数为y组，则列方程组为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人，即可列出两个方程，即可得答案.【详解】根据组数×每组7人＝总人数－3人，得方程；根据组数×每组8人＝总人数＋5人，得方程，列方程组为故选：C【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用.找出本题中的等量关系是解题的关键，属于基础题.考点五已知解集求参数23．（2023·高一课时练习）关于的方程组的解集为，则.【答案】4【分析】根据