概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 张天德 第4章 数字特征与极限定理

概率论与数理统计（慕课版）本章导学第4章数字特征与极限定理2而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随如果知道了随机变量X

的分布，那么X

的全部概率特性或统计规律也就知道了.然而，在实际问题中，随机变量的分布往往不容易确定.机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，就够了.案例导入3考察LED灯管的质量:命.比较两台机床生产精度：寸，还要考察每个零件尺寸与平均尺寸的偏离程度，偏离程度小意味着精度高.离的程度也是一个重要的数量特征.日常现象举例

常常关注的是LED灯管的平均寿

不仅要看生产零件的平均尺

这说明随机变量与其平均值偏

这说明随机变量的平均值是一个重要的数量特征.由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽4不能完整地描述随机变量但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.5还将介绍数字特征的重要应用——极限定理本章将介绍常用的随机变量数字特征随机变量的平均取值01随机变量取值与均值的平均偏离程度描述两随机变量间的某种关系的数0203——数学期望——方差——协方差与相关系数本章内容6请进入本章第1讲随机变量的数学期望📝积分📝级数预备知识——高等数学（微积分）学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第1讲数学期望第4章数字特征与极限定理01数学期望的定义02随机变量函数的数学期望03数学期望的性质本讲内容问甲、乙两人谁的技术好些？1001

数学期望的定义甲、乙两工人用相同的设备生产同一种产品,设📚例1两人各生产10组产品,每组中出现的废品件数分别记为X、Y,废品件数与相应的组数记录如下：甲的每组平均废品数为乙的每组平均废品数为从每组的平均废品数看,乙的技术优于甲!X0123组数4321Y012组数352X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.211用分布律表示01

数学期望的定义其和为X

的数学期望,记作E(X),即若无穷级数绝对收敛,则称12设X为离散型随机变量.其分布列为📝定义1📝数学期望的定义01

数学期望的定义即若广义积分绝对收敛,则称此积分为X

的数学期望记作E(X),13📝数学期望的定义设连续型随机变量X

的密度为📝定义201

数学期望的定义14📚前例01

数学期望的定义15X~P(λ),求E(X)

.📚例201

数学期望的定义解01

数学期望的定义解设X服从区间(a,b)上的均匀分布，求E(X).📚例3X的密度函数为所以17解求下列连续型随机变量的数学期望：📚例4(1)指数分布；(2)正态分布.01

数学期望的定义18则01

数学期望的定义分布期望0-1分布pB(n,p)npP(

)

(a,b)上的均匀分布E(

)N(,2)19📝常见分布的数学期望01

数学期望的定义柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!不是所有的随机变量都有数学期望！20📢注意01

数学期望的定义📚例5

在三种情形下，试问的数学期望是否存在吗？为什么？

📚例6解01

数学期望的定义21设随机变量的分布律分别为（1）因为发散，

所以的数学期望不存在。

01

数学期望的定义22（2）因为

发散，所以的数学期望不存在。

（3）因为收敛，所以的数学期望存在。

23📝应用——平均利润问题

📚例7解因为X服从指数分布,故分布函数为则设备在一年内损坏的概率为01

数学期望的定义为参数的指数分布,工厂规定,出售的设备若在售出

一年之内损坏可予以调换,若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元.求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.Y-200100P设Y表示出售一台设备的净赢利,则分布律为厂方出售一台设备净赢利的数学期望24📢售出一台设备赢利100元,调换一台设备需花费300元01

数学期望的定义25在一个人数为N的人群中普查某种疾病，为此要📚例801

数学期望的定义抽验N个人的血.如果将每个人的血分别检验，则共需检检验N次.为了能减少工作量，一位统计学家提出一种方方法：按

k个人一组进行分组，把同组

k个人的血样混合后检验，如果这混合血样呈阴性反应，就说明此k个人的血都呈阴性反应，此k个人都无疾病，因而此k个人只要检验1次就够了，相当于每个人检验1/k次，检验的工作量明显减少.如果这混合血样呈阳性反应，就说明此k个人中至少有一个人的血呈阳性反应，则再对此

k个人的血样分别进行检验，因而此

k个的血要检验1+k次，相当于每个人检验1+k/k次，这时增加了检验次假设该疾病的发病率为p，且得此病相互独立，试问此种方法能否减少平均检验次数？2601

数学期望的定义Xp

1/k

1+k/k

所以每人平均验血次数为由此可知，只要选择k使或就可减少验血次数，而且还可适当选取k使其达到最小.解令X为该人群中每个人需要的验血次数，则X的分布列为01数学期望的定义02随机变量函数的数学期望03数学期望的性质本讲内容02

随机变量函数的数学期望28假如需要计算的不是X的期刚刚我们介绍了数学期望,如果已知随机变量X的分布,我们可以求出X的期望.望,而是X的某个函数的期望,比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？现在提出一个问题：(常数k>0),求F的数学期望.每台仪器进货价500元,销售价1000,若卖不出去厂家设某经销商进了三台仪器,销售量X的分布律为📚例9设风速V是一个随机变量,它服从(0,a)上的均📚例10匀分布,而飞机某部位受到的压力F是风速V的函数：按200元回购,求利润Y的数学期望.02

随机变量函数的数学期望29

一种方法是:因为g(X)也是随机变量,故应有概率使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分如何计算随机变量函数的数学期望?分布,它的分布可以由X的分布求出来.了g(X)的分布,就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.布,一般是比较复杂的.

一旦我们知道02

随机变量函数的数学期望30是否可以不求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的基本公式指出,答案是肯定的.公式的重要性在于:g(X)的分布,而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.当我们求E[g(X)]时,不必知道02

随机变量函数的数学期望31

若无穷级数绝对收敛,则绝对收敛,则若广义积分

(1)Y=g(X)的数学期望设离散r.v.X

的概率分布为设连续r.v.X的密度为f(x)02

随机变量函数的数学期望32绝对收敛,则若级数绝对收敛,则若广义积分(2)Z=g(X,Y)的数学期望设离散r.v.(X,Y)的概率分布为设连续r.v.(X,Y)的联合密度为f(x,y)

02

随机变量函数的数学期望33每台仪器进货价500元,销售价1000,若卖不出去厂家按200元回购,求利润Y的数学期望.设某经销商进了三台仪器,销售量X的分布律为📚例9解02

随机变量函数的数学期望34(常数k>0),求F的数学期望.设风速V是一个随机变量,它服从(0,a)上的均匀分📚例10V的概率密度为解布,而飞机某部位受到的压力F是风速V的函数：02

随机变量函数的数学期望35其他YX1210.250.3220.080.35求设随机变量(X,Y)

的分布律为📚例11解02

随机变量函数的数学期望36求E(X),E(-3X+2Y),E(XY).设(X,Y)在区域A上服从均匀分布,其中A为x轴,y轴和直线x+y+1=0所围成的区域.📚例12解其他02

随机变量函数的数学期望3702

随机变量函数的数学期望38设市场上对某种产品每年需求量为X吨,

其中📝例13设组织n吨货源,利润为Y,

解X~U[200,400],每出售一吨可赚300元,售不出去,则每吨需保管费100元,问应该组织多少货源,才能使平均利润最大？其他02

随机变量函数的数学期望39故n=350时,E(Y)最大n=3504002

随机变量函数的数学期望📚例14解设二维随机变量(X,Y)的密度函数为求E(X),E(Y),E(XY)其他02

随机变量函数的数学期望41某工厂每天从电力公司得到的电能X(单位：千瓦)📚例15设工厂从电力公司得到的每千瓦电能可取得300元利润,如工厂用电量超过电力公司所提供的数量,就要使用自备发电机提供的附加电能来补充,使用附加电能时每千瓦只能取得100元利润.问一天中该工厂获得利润的数学期望是多少？02

随机变量函数的数学期望42服从[10,30]上的均匀分布,该工厂每天对电能的需要量Y(单位：千瓦)服从[10,20]上的均匀分布,其中X与Y相互独立.设Z为一天中该工厂获得的利润,由题意解即而(X,Y)的密度函数为其他02

随机变量函数的数学期望43即该工厂一天中获得利润的数学期望是4333元.故02

随机变量函数的数学期望4401数学期望的定义02随机变量函数的数学期望03数学期望的性质本讲内容03

数学期望的性质46(1)设C是常数,则E(C)=C,

D(C)=0;(4)设X、Y独立,则E(XY)=E(X)E(Y),(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(2)若C是常数,则E(CX)=CE(X),

D(CX)=C2

D(X);（诸Xi独立时）📝推广📝推广由数学期望的性质求的数学期望E(Y)已知随机变量📚例16解由于X服从正态分布则03

数学期望的性质47📚例17设一电路中电流与电阻是两个相互独立的随机试求电压的数学期望.解因为I与R相互独立,所以根据数学期望的性质,有变量,其概率密度分别为其他其他03

数学期望的性质48学海无涯,祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第3讲协方差和相关系数第4章数字特征与极限定理51前面我们介绍了一维随机变量的数学期望和方差,对于二维随机变量,除每个分量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系,我们现在要讨论的就是反映分量之间关系的数字特征——协方差和相关系数第3讲

协方差和相关系数01协方差和相关系数的概念02协方差的计算03协方差和相关系数的性质本讲内容称为X,Y的协方差.记为若D(X)>0,D(Y)>0,称为X,Y的记为协方差和相关系数的概念53📝定义01

协方差和相关系数的概念相关系数协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系,但它还受X与Y本身度量单位的影响.54📝解释为了克服这一缺点,对协方差进行标准化,从而引入了相关系数的概念.01

协方差和相关系数的概念01协方差和相关系数的概念02协方差的计算03协方差和相关系数的性质本讲内容cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).由协方差的定义及期望的性质,可得cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)即=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)计算协方差的简单公式5602

协方差的计算设离散型随机变量X与Y的联合分布律为

YX-10100.070.180.1510.080.320.20求X与Y的相关系数57📚例102

协方差的计算由于解5802

协方差的计算从而X与Y的相关系数的联合分布律为设保险公司对投保人的汽车保险和财产保险分别设定了免赔额(单位：元),现任选一位同时投保汽车保险和财产保险的客户,X表示其汽车保单的免赔额,Y表示其财产保单的免赔额,随机变量

YX01002001000.20.10.22500.050.150.3求cov(X,Y),59📚例202

协方差的计算

YX

01002001000.20.10.20.52500.050.150.30.50.250.250.56002

协方差的计算6102

协方差的计算设随机变量（X,Y）具有概率密度62📚例3其他求02

协方差的计算63其他02

协方差的计算64解设随机变量（X,Y）在区域上服从均匀分布，求📚例4因为区域D的面积为所以(X,Y)的概率密度为则02

协方差的计算65同理故02

协方差的计算66解

习题课📚例567解设X,与Y为两随机变量,且已知求:📚例6的数学期望;02

协方差的计算（2）（3）的方差.（1）(1)(2)6802

协方差的计算(3)设(X,Y)~N(

1,

2;

12,

22;

)利用二维正态分布及协方差相关系数的计算公式可得二维正态分布的数字特征6902

协方差的计算70解

习题课📚例7设随机变量

服从区间

上的均匀分布，令

，求01协方差和相关系数的概念02协方差的计算03协方差和相关系数的性质本讲内容存在常数a,b(a≠0),使P(Y=aX+b)=1,即X和Y以概率1线性相关协方差和相关系数的性质7203

协方差和相关系数的性质X,Y相互独立X,Y不相关若称X,Y不相关.显然,若X与Y独立,

cov(X,Y)=0,反之,X与Y之间没有线性关系并不表示没有关系！显然是不相互独立的X,Y不相关73📚例803

协方差和相关系数的性质因为若(X,Y)服从二维正态分布,X,Y相互独立X,Y不相关X,Y相互独立X,Y不相关相关系数含义及重要结论7403

协方差和相关系数的性质若X~N(0,1)且Y=X2,问X与Y是否不相关？是否相互独立？75解📚例9因为X~N(0,1),密度函数为偶函数,于是由得这说明X与Y是不相关的,但Y=X2显然,X与Y是不相互独立的.所以03

协方差和相关系数的性质利用性质简化计算

因为X与Y相互独立,所以则由协方差的性质设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布思考：还有其他方法吗？76解📚例10已知其中a,

b为常数,求U和V的相关系数03

协方差和相关系数的性质

则由协方差的性质7703

协方差和相关系数的性质利用性质简化计算将一枚硬币重复掷𝑛次,X与Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X与Y的相关系数等于78解📚例11所以所以03

协方差和相关系数的性质79证明设二维随机变量(X,Y)的概率密度证明:📚例1203

协方差和相关系数的性质（2）X与Y不独立.（1）X与Y不相关;（1）关于X与Y的两个边缘概率密度分别为8003

协方差和相关系数的性质于是8103

协方差和相关系数的性质同理故从而有(1)(2)即X与Y不相关;即X与Y不独立.学海无涯,祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）第4讲大数定律与中心极限定理第4章数字特征与极限定理84概率论与数理统计的研究内容是随机现象的统计规律性,而随机现象的规律性是通过大量的重复试验才呈现出来的.研究大量的随机现象,常常采用极限方法,利用极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛,其中最重要的有两种:大数定律与中心极限定理.第4讲

大数定律与中心极限定理01切比雪夫不等式02大数定律03中心极限定理本讲内容设随机变量

X的期望E(X)与方差D(X)存在,则对于任意实数

>0,或理论价值证明大数定律等等实用价值估计概率切比雪夫不等式8601

切比雪夫不等式由切比雪夫不等式可以看出,若方差越小,则事件由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度.87{|X-E(X)|<}的概率越大,即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.01

切比雪夫不等式某车间生产一种电子器件,月平均产量为9500只,方差为10000只,试估计车间月产量为9000至10000只之间的概率．设X表示车间月产量,则由切比雪夫不等式可得车间月产量为9000至10000只之间的概率超过0.96.88📚例1解01

切比雪夫不等式设电站供电网有10000盏电灯,夜晚时每盏灯开灯的概率均为0.7,假定所有电灯的开或关是相互独立的,试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率.

令X表示在夜晚同时开着的电灯数目,则X服从89📚例2解由切比雪夫不等式可得n=10000,p=0.7的二项分布,这时01

切比雪夫不等式这个概率的近似值表明,在10000盏灯中,开着的灯数在6800到7200的概率大于0.95.90由切比雪夫不等式可得而实际上,此概率可由二项分布求得精确值为0.99999.由此可知,切比雪夫不等式虽可用来估计概率,但精度不够高.01

切比雪夫不等式设X和Y的数学期望分别为－2和2,方差分别为1和4,而相关系数为－0.5,则由切比雪夫不等式91📚例3解01

切比雪夫不等式设n次伯努利试验中,每次试验事件A出现的概率由切比雪夫不等式可得92📚例4解01

切比雪夫不等式均为0.70,要使事件A出现的频率在0.68到0.72之间的概率

不小于0.90,问至少要进行多少次试验？9301

切比雪夫不等式欲使只要解得即至少要进行5250次试验才能满足要求.01切比雪夫不等式02大数定律03中心极限定理本讲内容

大量的随机现象中平均结果的稳定性大数定律的客观背景：大量抛掷硬币正面出现频率产品的废品率大数定律9502

大数定律频率具有稳定性.

在大量的随机现象中,随机事件的

大量的随机现象的

概率论中用来阐明大量随机现象96大数定律平均结果具有稳定性.平均结果的稳定性大数定律（lawoflargenumber).的一系列定理,称为02

大数定律大数定律为概率论所存在的基础——“概率是频率的稳定值”提供了理论依据,它以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性.97它是随机现象统计规律的具体表现,也成为数理统计的理论基础.02

大数定律设

nA

是n

次独立重复试验中事件A发生的次数,p

是每次试验中A发生的概率,则有或依概率收敛即频率p.伯努利大数定律9802

大数定律给概率的统计定义提供了理论依据在概率的统计定义中,事件A

发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率.如命中率等在n

足够大时,可以用频率近似代替p.这种稳定称为依概率稳定.伯努利大数定律的意义99📝理论价值📝实用价值02

大数定律则有或且具有相同相互独立,设随机变量序列且相互独立同分布,设随机变量序列切比雪夫大数定律辛钦大数定律100的数学期望和方差具有数学期望02

大数定律

具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术均值数学期望近似代替.可被平均数法则定理的意义101当

n

足够大时,算术平均值几乎是一常数.02

大数定律

设总体X~E(2),(X1,……,Xn)为独立同分布样本,则n→∞时,因此根据大数定律有依概率收敛于102📚例5依概率收敛于______因为X1,X2,……,Xn独立同分布,所以因为X12,X22,……,Xn2也独立同分布,02

大数定律01切比雪夫不等式02大数定律03中心极限定理本讲内容104中心极限定理的客观背景观察表明,如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成,而每一个因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.在实际问题中,常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.03

中心极限定理设随机变量序列独立同分布,则对于任意实数x,列维-林德伯格中心极限定理[独立同分布的中心极限定理]且有期望和方差：105📝定理一03

中心极限定理它表明:当n充分大时,n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和或者平均值近似服从正态分布.即n足够大时,Yn的分布函数近似于标准正态的分布函数记近似近似服从近似服从106📢注03

中心极限定理设Yn

~B(n,p),0<p<1,n=1,2,…则对任一实数x,有Yn

~N(np,np(1-p))(近似)即n

足够大时,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理[二项分布以正态分布为极限分布]107📝定理二03

中心极限定理由中心极限定理近似设有50台接收机,每台接收机收到的呼叫次数服从泊松分布𝑃(0.05),求50台接收机收到的呼叫次数总和大于3次的概率.108📚例603

中心极限定理解近似服从则EXi=0.9,DXi=1.92，由中心极限定理109

📚例7设Xi表示第i辆车的氮氧化物排放量,03

中心极限定理解一台仪器同时收到50个信号𝑊𝑖(𝑖=1,2,⋯,50)

,设它们相互独立且都在区间(0,10)上服从均匀分布,记110📚例8解求因为Wi~U(0,10),所以近似服从正态分布则03

中心极限定理

得某单位有200台电话分机,每台分机使用外线的概率为0.2,假定每台分机是相互独立的,问要安装多少条外线,才能以95%以上的概率保证分机用外线时不等待？设有X部分机同时使用外线，则有其中设有N条外线.由题意有由棣莫弗-拉普拉斯定理有111📚例9查表得即即至少要安装50条外线.03

中心极限定理解112某个计算机系统有120个终端,每个终端有10%的时间要与主机交换数据,如果同一时刻有超过20台的终端要与主机交换数据,系统将发生数据传送堵塞.假定各终端工作是相互独立的,问系统发生堵塞现象的概率是多少？设X为同时与主机交换数据的终端数,📚例10解则X～B(120,0.1)由棣莫弗—拉普拉斯定理,X近似服从即X近似服从则03

中心极限定理113📚例11解03

中心极限定理

每袋味精的净重为随机变量，平均重量为100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?设箱中第i

袋味精的净重为Xi,则Xi

独立同分布，且E(Xi)=100，D(Xi)=100，

由中心极限定理得，所求概率为：=0.0002故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.115📚例12解03

中心极限定理

设X为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP109876

0.80.10.050.020.03

设Xi

为第i

次射击命中的环数，则Xi

独立同分布，且E(Xi)

=9.62，D(Xi)

=0.82，故=0.9997903

中心极限定理学海无涯,祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）本章小结第4章数字特征与极限定理01知识点归纳02教学要求和学习建议本讲内容120原点矩中心矩一维随机变量的数字特征

数学期望二维随机变量的数字特征协方差相关系数数字特征的应用数字特征大数定律切比雪夫不等式方差及标准差中心极限定理定义性质重要分布的数字特征定义性质定义性质定义性质01

知识点归纳01知识点归纳02教学要求和学习建议本讲内容理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征；122📝(1)📝(2)📝(3)会求随机变量函数的数学期望；了解切比雪夫不等式、伯努利大数定律、辛钦大数定律、列维-林德伯格定理和棣莫弗-拉普拉斯定理,并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率.02

教学要求和学习建议123原点矩中心矩一维随机变量的数字特征

数学期望二维随机变量的数字特征协方差相关系数数字特征的应用数字特征大数定律切比雪夫不等式方差及标准差中心极限定理定义性质重要分布的数字特征定义性质定义性质定义性质会求数字特征会做近似计算02

教学要求和学习建议学海无涯,祝你成功！概率论与数理统计（慕课版）概率论与数理统计（慕课版）习题课第4章数字特征与极限处理126

习题课解📚例1设随机变量X的分布函数为

，其中Φ(x)为标准正态分布函数，求E(X).X的概率密度为则令，故.因为，，，127

习题课📚例2设随机变量X的分布函数为

，其中Φ(x)为标准正态分布函数，求E(X).解X的概率密度为则令，则128例1和例2的题型相同，随即变量X的分布函数都用标准🎯方法归纳

习题课正态分布的分布函数

表示，求X的期望.

首先，求出X的概率密度

f(x)，f(x)是用标准正态分布的概率密度函数

表示的;其次，求出X的期望E(X)，计算过程中要用到

的和.性质129解

习题课📚例3设随机变量X、Y相互独立，且X的概率分布为，Y的概率密度为其他.（1）求；（2）求Z=X+Y的概率密度.（1）（2）记Z的分布函数为

，那么.130

习题课当z<0时，；

131132解

习题课📚例4设随机变量X的概率分布为.在给定

的条件下,随机变量Y服从均匀分布.求.根据Y的分布函数可以求出Y的概率密度函数为其他.133

习题课因此，🎯方法归纳本题是第二章习题课例5的续，都是2014年考研题的一个

大题.这也是离散型随机变量和连续型随机变量混合的题型，在第二章习题课例5中，将离散型随机变量

X的两个取值分别代入，求出Y的分布函数；概率密度函数，再利用数学期望的定义进行计算.本题将分布函数求导得到

Y的.134解

习题课📚例5设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),求.标准正态分布的概率密度为.则135🎯方法归纳

习题课本题是随机变量函数期望定理的应用:求解随机变量函数的期望，用函数的取值乘以原随机变量的概率密度函数，再求积分.136解

习题课📚例6设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记，，求=

.（A）.（B）.（C）.（D）.因为所以，，故应选B.137解

习题课📚例7设随机变量X的概率分布为

，Y表示X被3除的余数，求E(Y).由题意知，Y所有可能的取值为0,1,2.则；.因此，；138🎯方法归纳

习题课

本题解题的关键是确定随机变量Y与X之间的关系，因Y表示X被3除的余数，{Y=2}对应{X=3n+2}，再利用X的概率分布进行计算.{Y=0}对应{X=3n}、{Y=1}对应{X=3n+1}、故有139解

习题课📚例8设二维随机变量（X,Y）服从

，求.由于（X,Y）服从二维正态分布，且，则X与Y相互独立.因此，🎯方法归纳本题用到了二维正态分布一个结论：对于服从二维正态分布的随机变量（X,Y），X与Y不相关等价于X与Y相互独立..140解

习题课，📚例9设连续型随机变量且X1与X2相互独立,且方差均存在，X1与X2的概率密度分别为

与，随机变量Y1的概率密度为，随机变量.则（A）.，（B）.，（C）.，（D）.，141

习题课故.又因为，，则.故，应选D.142解

习题课📚例10设随机变量X的概率分布为，，若，求.由题意知，解之得.因此，X的方差为143解

习题课📚例11设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为，Y服从参数为λ的泊松分布.令Z=XY.（1）求

；（2）求Z的概率分布.（1）由题意知，，

，.所以，.144

习题课（2）Z的所有可能取值为全体整数值，且，对于，有145🎯方法归纳要求解Z的概率分布，首先要确定Z的取值范围，因X的取值为

习题课，，即时，需要一定的技巧，根据X、Y的取值不妨设