高中数学-平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计学情分析教材分析课后反思

课题平面向量数量积的物理背景及其含义（教学设计）

课型新授课

平面向量数量积的物理背景及其含义是考试热点内容之一，也是难点，主要考查学生

命题聚焦的分析问题和解决问题的能力。

教学重点平面向量的数量积定义

教学难点平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

教学方法互动探究、小组讨论、讲练结合

教具电子书包、多媒体

教学过程

学生活动

教学环节设计意图

1共5页

1)两个非零向量夹角的概念：

已知非零向量［与九作苏=3,OB=b,则NA0B=8(0三*兀)叫

a与b的夹角.

说明：(1)当8=0时，___________；

(2)当。=兀时，____________；

此部分内容

(3)当0=2时，_________,记________；

让学生在课

2

前完成，通过

(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是______________.范围_

这几个小题

(2)两向量共线的判定：______________________________________的练习，让学

(3)练习生对本节课

课前演练中所涉及的

1若.。=(2,3),b=(4,-1+y),且。〃3,则y=()知识点和所

考查的数学

A.6B.5C.7D.8方法有一个

2.若A(x,-1),B(l,3),C(2,5)三点共线，则x的值为()全面的了解，

为后面的学

A.-3B.-lC.lD.3

习做好铺垫。

3.在等边AABC中，而与8心所成的角为_______________

问题1:我们研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？

教学过程师生活动设计意图

2共5页

【课中探究、规律提升】

问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生位

移S,

S

7J0

（1）力F所做的功W=_0

（2）请同学们分析这个公式的特点：

W（功）是____量，

F（力）是____量，

S（位移）是____量

0是一________O

问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力

与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？

1.平面向量数量积（内积）的定义

使学生从

感性到理

学生独立

性去认知

思考，教师

数量积的

通过提问

典例定义，对于

引导，逐渐

剖析探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为定义中的

形成向量

正？什么时候为负？注意点进

的数量积

行强调，加

的定义

深对定义

的认识。

2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量

（2）两个向量的数量积称为内积，写成符号在向量运算

中不是乘号，既不能省略，也不能用“义”代替.

问题5：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积

大小的因素有哪些？并完成下表：

夹角幽范

a=90。

围0°<«<90°90°<«<180°

d0的正:

3共5页

教学过程师生活动设计意图

4共5页

问题6：对于实数a,"而言，若a〃=0,贝!Ja=O或人=0

那么若a%=0,贝lla=6或加=0?

当a与B同向时___________________________________________

当a与B反向时,____________________________________________

当W±嗣,___________________________________________

特另U地，当。=屈寸,a・a=_______________=_____________

判断下面说法的对错

1）若a=0,则对任一向量占有a-B=0通过对向量

2）若£丰0,则对任一非零向量占有£石R0间特殊位置

学生先独的讨论，加深

3）若aH6,a.B=0,则B=6

立自主完对向量数量

4）若a♦B=0,则a,B至少有一个为零向量成，然后小积的理解。通

典例

5）若a,5=M,则。〃B组合作探过例题让学

剖析

究总结向生掌握向量

6）若W，则a〃方量的数量数量积考查

积的性质的方向，在以

例题讲解后的学习中

有的放矢

例1已知勿=5,而=4石与泛间的夹角是120°,求

5共5页

6共5页

教学过程师生活动设计意图

2.“投影”的概念：

作砺=£,砺=及过点5作网垂直于直线。4,垂足为用,OB|=|引8

1B1cose叫做向量取£方向上的投影

B

b

27N1

▼a刍°"A国）a月

Sl0（

注：投影也是一个数量，不是向量；

当。为锐角时投影为______；

当。为钝角时投影为______；

当。为直角时投影为______；

当0=0。时投影为_______；

当。=180。时投影为______

学生自主在定义中提

探究完成炼出投影的

典例平面向量数量积的几何意义：

题目，小组概念,通过几

剖析

讨论交流，何意义，对向

通过变式量数量积定

变式训练1：训练，总结义进行进一

在平行四边形ABC0中，已知Q=4,同=3,NZMB=60',做题技巧步认知。

求:（1）.AB-BC（2）AB-CD（3）AB-DA

变式训练2：设|a1=8,e是单位向量，当它们的夹角为60°时，求a在e

方向上的投影

7共5页

方法技巧：

3、平面向量的数量积的运算律：

问题7：如何证明平面向量的数量积的运算律？

通过问题引

通过类比起分歧，产生

实数的运思维冲突，引

问题8：思考下列两个式子是否成立？算律，发现导解决冲突，

向量的数得到统一结

(a-b)-c=a-(b-c^量积的运果，体会法则

若ac=bc,则a=3?算律，并对与法则间的

是否能够联系与区别，

成立通过，从而加深对

小组讨论向量数量积

交流，加以运算律的认

证明知。

8共5页

学生活动设计意图

课堂通过这节课我们能解决什么问题，运用哪些方法和数学思想学生自我总

小结结，整理

本节课还有什么疑问，请小组内解决。个别学生还

有部分知识

小组可能没有解

互助决，小组内互

互学助互学，培养

学生对合作

能力

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1、下列说法正确的是______________

(1)03=0；

(2)6-5=0；

(3)若a于=m,则6=工；

2、己知|Z1=111=2,［与B的夹角为60°,则々1在々上的投影

为__________________。

3、设向量满足1力=1司=1,|3£-2加=3,贝iJ|3l+B|=_______________。

4、已知向量£石的方向相同，且|£|=3,|B|=7,则|21B|=_

____O

5、已知同=1,向=0,⑴若。〃七求Q力;(2)若@、1的夹角为60°,求|a+b|；

(3)若〃•〃与。垂直，求。与b的夹角.

进一步巩固

课后

本节所学内

作业

容，及时反馈

6、已知a+〃=2i-V，。岳-8i+⑹，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的

单位向量，那么。协=?

平面向量数量积的物理背景及其含义

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及

其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法:

即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数

运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使

学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于

线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量

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积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘

法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的

理解。因而本节课教学的难点是数量积的概念。

通过与学生的交流了解，以及近几年的教学经验，感觉学生在学习平面向量

数量积的物理背景及其含义，主要存在以下几个方面

1、学习兴趣与基础

经过一段时间的观察，我发现班上有一大半学生对数学学习没有兴趣，问其

原因，大部分都说数学太难，学不懂，老师讲的都不明白，基础太弱，导致课堂

上无所事事。这样越来越对数学没有兴趣。尤其是平面向量数量积的物理背景及

其含义需要严密的推理逻辑能力，以及画图、读图、识图、信息分析整合能力。

2、学习习惯

少部分学生有主动学习的行为，比较喜欢上数学课，学习热情也很高，和老

师讲常交流。但仍有大部分学生学习懒散、学习习惯差，粗心大意、书写不认真，

不愿思考问题，上课开小差，依赖老师讲解，依赖同学的帮助，作业抄袭等等不

良现象。尤其该部分内容相对信息量比较大，综合性比较强，计算量比较大，这

都是制约学生的一些因素。

3、学习成绩

由于两级分化严重，导致成绩差异明显，高分很高，低分太低，相差近100

分。有的学生很多初中的知识都不会，甚至在计算上都经常出现错误，从卷面上

分析，一部分学生主要是粗心造成的。

鉴于以上这些问题，我认为在教学中要做好以下几个方面：

1、抓学习习惯。

帮助学生培养良好的学习习惯和学习方法。让学生先认识数学的重要性，数

学会提高大家对问题思维能力，分析判断能力，解决问题的能力。再教学生怎样

学习数学，一次慢慢提高数学学习能力。激发学习兴趣，养成自主学习的习惯和

方法。平时在教学中，注意抓好学生的书写、审题与检查等良好的学习习惯。

2、加强基础知识教学。

了解到学生目前的学习情况，大部分学生对初中的相关知识掌握不好，利用

自习课或课余时间为他们补充初中知识的盲点，加强基础知识。同时在上课的时

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候，以基础简单题目为主，争取让大部分学生在课堂上有所收获。

3、加强合作学习。

对于班级出现的两极分化情况，发动成绩好的学生带动基础薄弱的学生，促

使大家共同进步。

4、注重情感交流。

在教学的同时，多了解学生的兴趣，投其所好，培养感情，让学生先喜欢你

这位老师，才能喜欢你这门课程。古人云“亲其师，信其道”；也有人说，一个

好老师，成就孩子的一生。

5、分层教学、因材施教。

主要方法是对作业也要分层次布置，基础不同，要求不同。

6、多表扬、多鼓励。

对于课堂上踊跃发言和积极进步的学生要及时表扬。并鼓励其他同学向他学

习，增加自信心。

评测效果分析

通过对学生课前案的批阅，发现学生本节课的学习出错比较多的是以下几个题目：

3.在等边AABC中，Q与就所成的角为

有不少学生给出的答案是60°,究其原因是对两向量夹角定义不清导致，也反映了学生

对于典型题目理解不到位，对于强调的知识点一而再，再而三的出错，对定义定理不重视。

问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S,

（1）力F所做的功W=。）

（2）请同学们分析这个公式的特点：

功）是_量，"一b

F（力）是____量，

S（位移）是____量

9是。

在作答该题目时，很多学生给出了W=FS,没有考虑夹角，对物理功的计算公式记得不

熟。导致了出错。因此，通过这个题目要教育学生，全面考虑问题。

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变式训练1:

在平行四边形A6c。中，已知薪|=4,诟=3,ND4B=60°,

求:(1).丽•~BC(2\AB•CD(3\AB•DA

在做变式训练时，因为对数量积及夹角进行了强调，所以大部分同学这道题目做出了正

确的答案。

变式训练2：设|a|=8,e是单位向量，当它们的夹角为60°时，求a在e方向上的投影

因此，对于重点题目易错点强调到位还是非常有必要的。

平面向量数量积的物理背景及其含义教材分析

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学

的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节课的主要学习任务

是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量

积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和

推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运

算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是

代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的

数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重

点。

(-)本节在教材中的地位和作用

平面向量数量积的物理背景及其含义,包括数量积的定义、几何意义、性质

及运算律.它是继向量的加法，减法，实数与向量的积等线性运算之后又一新的运

算，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用.由于它

在数学、物理等学科中的广泛应用。因此，本节内容分为两个课时，其中第一课

时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的运算律。本节课为第一课

时。

(二)目标分析

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教学中以知识技能的培养为主线，渗透情感态度与价值观，并把这两者充分体

现在教学过程中。教学的主体是学生，因此目标的制定和设计必须从学生的角度

出发，结合教学内容的要求及本节的地位与作用，本节课应实现如下教学目标：

1、知识目标：

（1）理解平面向量数量积、投影的定义；

（2）掌握平面向量数量积的性质；了解用平面向量数量积处理有关长度、

角度和垂直的问题.

2、能力目标：

通过对平面向量数量积性质的探究，培养学生发现问题、分析问题、解决问

题的能力，使学生的思维能力得到训练,继续培养学生的探究能力和创新的精神。

3、情感目标：

通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,

体会学习的快乐。体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的

学习态度.

（三）教学的重点与难点

本节课注重培养学生的创新精神和探究能力，因而确定重点、难点为：

重点:平面向量数量积的定义、几何意义及其性质。

难点:平面向量数量积性质的探究

观课记录

课后，同组教师对本节课的讲授情况进行了指导和帮助，我感觉受益匪浅。

一、好的方面主要有以下几点：

1、讲解细致，重难点突出重点、突破难点、能够抓住关键内容，并且落实到位；内容

安排符合学生认知结构，体现了由易到难、由浅入深的原则；

2、对例题、习题的选配有针对性和阶梯性，使不同的学生得到不同的发展；教学层次

的安排到位，各教学环节的衔接自然；教学密度.难度.梯度的安排比较合理；在选题时注

重了学生认识结构的体现。如从特殊到一般，从具体到抽象，从简单到复杂，从感性到理性

等；

3、注重培养学生的数学思维习惯，利用教材趣味性、逻辑性、知识应用的广泛性对学

14共5页

生学习兴趣、习惯、意志的培养。

4、注重对知识的总结，注重知识的前后联系。

二、存在的问题：

1、上课虽然学生参与比较多，比如提问，抢答,，随机抽取，个别学生上黑板演示，充

分体现了学生的主体地位，但是在课堂中也暴露了一些问题。学生整体参与的积极性不高,

课堂讲解缺乏激情。

2、课堂容量稍小，在某些题目处理时给与学生时间过长，课堂安排不是特别紧凑，后

半部分教学显得着急，有点前松后紧。

3、课堂语言不够凝练，存在口头语、啰嗦等现象，题目设定缺乏吸引力，在部分问题

上不敢放手给学生，教师参与过多

通过各位老师的指导，我一定会逐条解决，同时我也深深体会到在讲课技巧，课堂的驾

驭上还应多下功夫多向其他教师学习，努力提高自己的教学水平。

课题平面向量数量积的物理背景及其含课型新授课课时1

•

义（课前案）

胶州二中学习目标1、掌握平面向量的数量积及其几何意义；2、掌握平面向量数量积的重

要性质及运算律；

学习过程与内容随堂手记

15共5页

课前演练：

1)两个非零向量夹角的概念：

已知非零向量。与3,作Q4=a,OB=b,则/A0B=0(0wO女)

叫a与b的夹角.

说明：(1)当9=0时，___________；

(2)当。=兀时，___________；

7T

(3)当。=一时，_________,记________；

2

(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是_______________.

小结：

范围_______________

(2)两向量共线的判定：______________________________________

(3)练习

1.若。=(2,3),b=(4,-l+y),且。〃九贝ijy二()

A.6B.5C.7D.8

2.若A(x,-1),B(l,3),C(2,5)三点共线，则x的值为()

A.-3B.-lC.lD.3

3.在等边AABC中，而与前所成的角为_______________

问题1:我们研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？

课题平面向量数量积的物理背景及其含课型新授课课时1

•

义(课中案)

胶州二中学习目标1、掌握平面向量的数量积及其几何意义：2、掌握平面向量数量积的重

要性质及运算律；

学习过程与内容随堂手记

16共5页

【课中探究、规律提升】

问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S,

（）力所做的功

1FW=_____________oS

（2）请同学们分析这个公式的特点：

W（功）是____量，

F（力）是—量，

S（位移）是—量

8是_________o

问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推

广到一般向量，其结果又该如何表述？

2.平面向量数量积（内积）的定义：

探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号彳1么时候为正？什么时

候为负？

2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量

（2）两个向量的数量积称为内积，写成）B；符号“•”在向量运算中不是乘

号，既不能省略，也不能用“X”代替.

问题5：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因

素有哪些？并完成下表：

夹角2的范

围0°<«<90°cr=90°90°<a<180P

5•力的正负

问题6：对于实数a,Z?而言，若a/?=0,贝必=0或b=0

那么若a•B=0,贝!Ja=。或B=0?

17共5页

当a与％同向时___________________________________________

当a与否反向时,____________________________________________

当a±而寸,___________________________________________

特另地，当a=ifl寸,a-a=_

判断下面说法的对错

1）若a=6,则对任一向量反有a-B=0

2）若£工则对任一非零向量反有£石工0

3）若a/0,a.B=0,则B=6

4）若7B=o,则至少有一个为零向量

5）若a-b=WW，则a〃B

6）若=一,帆，则a〃5

例题讲解

例］已知同=5,曲=4,a与泛间的夹角是120°,求a/

2.“投影”的概念：

作次=£,砺=及过点5作即垂直于直线QA,垂足为耳,OB|=|B|cos。,

iBlcos。叫做向量由££方向上的投影

注：投影也是一个数量，不是向量;

当。为锐角时投影为；

当。为钝角时投影为；

当。为直角时投影为；

18共5页

当。=0。时投影为______；

当e=180。时投影为______

平面向量数量积£石的几何意义：

变式训练1：

在平行四边形A8CO中，已知AB\=4,AD=3,ZZMB=60°,

求:⑴.而•BC（2）AB-CD（3）AB-DA

变式训练2：设|a|=8,e是单位向量，当它们的夹角为60°时，求a在e方向上的

投影

方法技巧：

4、平面向量的数量积的运算律：

问题7：如何证明平面向量的数量积的运算律？

19共5页

问题8：思考下列两个式子是否成立？

(a-b)-c=a-(b-c)l

-c=bc,则a=各？

课堂小结：

通过这节课我们能解决什么问题，运用哪些方法和数学思想

本节课还有什么疑问，请小组内解决。

课题平面向量数量积的物理背景及其含课型新授课课时1

•

义(课后案)

胶州二中学习目标1、掌握平面向量的数量积及其几何意义；2、掌握平面向量数量积的重

要性质及运算律；

学习过程与内容随堂手记

课后巩固(课后案)

1、下列说法正确的是______________

(1)0也=0；

(2)6-5=0；

(3)若@工0,限B=鼠G,则B=^：

2、已知|3|=|B|=2,3与了的夹角为60°,则3+B在"上的投影

为__________________。

3、设向量£范满足|£|=出1=1/3£-2引=3,则|31+司=_______________。

4、已知向量£石的方向相同，且|£|=3,历|=7,则|2£-加=_

学习总结

____O

5^已知|a|二L步仁正,(1)若a//b,求a-bx(2)若a、b的夹角为60°,求|a+引；掌握题

(3)若a-b与a垂直，求。与。的夹角.情况号

课前