高考数一轮复习 第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质突破热点题型 文

第五节直线、平面垂直的判定及其性质高频考点考点一直线与平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题．2．高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下几个命题角度：(1)同真假命题的判断相结合考查；(2)以多面体为载体，证明线面垂直问题；(3)以多面体为载体，考查与线面垂直有关的探索性问题．[例1](1)(·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β(2)(·广东高考)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A­BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).①证明：DE∥平面BCF；②证明：CF⊥平面ABF；③当AD＝eq\f(2,3)时，求三棱锥F­DEG的体积VF­DEG.[自主解答](1)设直线a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，∵m⊥α，∴m⊥a，m⊥b.又n∥m，∴n⊥a，n⊥b，∴n⊥α.(2)①证明：在等边三角形ABC中，AB＝AC.∵AD＝AE，∴eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，∴DE∥BC，∴DG∥BF，又BF⊂平面BCF，DG⊄平面BCF，∴DG∥平面BCF.同理可证GE∥平面BCF.∵DG∩GE＝G，∴平面GDE∥平面BCF，又DE⊂平面GDE，∴DE∥平面BCF.②证明：在等边三角形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥CF，∴BF＝FC＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2).在图2中，∵BC＝eq\f(\r(2),2)，∴BC2＝BF2＋FC2，∴∠BFC＝90°，∴CF⊥BF.∵BF∩AF＝F，BF⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，∴CF⊥平面ABF.③∵AD＝eq\f(2,3)，∴BD＝eq\f(1,3)，AD∶DB＝2∶1，在图2中，AF⊥FC，AF⊥BF，又BF∩FC＝F，∴AF⊥平面BCF，由①知平面GDE∥平面BCF，∴AF⊥平面GDE.在等边三角形ABC中，AF＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(\r(3),2)，∴FG＝eq\f(1,3)AF＝eq\f(\r(3),6)，DG＝eq\f(2,3)BF＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)＝GE，∴S△DGE＝eq\f(1,2)DG·EG＝eq\f(1,18)，∴VF­DGE＝eq\f(1,3)S△DGE·FG＝eq\f(\r(3),324).[答案](1)C线面垂直问题的常见类型及解题策略(1)与命题真假判断有关的问题．解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定．(2)线面垂直的证明．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3)线面垂直的探索性问题．此类问题的解决方法同“线面平行的探索性问题”的求解方法(见本章第四节的[通关锦囊])．如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.又A1D∩CD＝D，A1D⊂平面A1DC，CD⊂平面A1DC，所以DE⊥平面A1DC.因为A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD⊂平面BCDE，DE⊂平面BCDE，所以A1F⊥平面又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C所以A1C⊥DP又DP∩DE＝D，DP⊂平面DEP，DE⊂平面DEP，所以A1C⊥平面DEP从而A1C⊥平面DEQ故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ考点二面面垂直的判定与性质[例2](·济南模拟)如图，四棱锥P­ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.[自主解答](1)法一：取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB.又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD，因此四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD.法二：连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝eq\f(1,2)AB.又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD.又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.【互动探究】在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.证明：因为AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC.又MN⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC.【方法规律】面面垂直的性质应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质是在课本习题中出现的，在不是很复杂的题目中，要对此进行证明．如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1(1)EF∥平面A1CD；(2)平面A1CD⊥平面A1ABB1.证明：(1)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝eq\f(1,2)AC，且DE∥AC.又F为A1C1的中点，所以A1F＝eq\f(1,2)A1C＝eq\f(1,2)AC，且A1F∥A1C1∥AC，所以A1F＝DE，且A1F∥DE即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1.又EF⊄平面A1CD，DA1⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.(2)由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又侧棱A1A⊥底面ABC，CD⊂平面ABC所以AA1⊥CD，又AA1∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD⊂平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.考点三垂直关系的综合应用[例3]如图所示，在四棱锥P­ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝eq\f(1,2)AB，PH为△PAD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝eq\r(2)，FC＝1，求三棱锥E­BCF的体积；(3)证明：EF⊥平面PAB.[自主解答](1)证明：由于AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，故AB⊥PH.又∵PH为△PAD中AD边上的高，∴AD⊥PH.∵AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PH⊥平面ABCD.(2)由于PH⊥平面ABCD，E为PB的中点，PH＝1，故E到平面ABCD的距离h＝eq\f(1,2)PH＝eq\f(1,2).又∵AB∥CD，AB⊥AD，∴AD⊥CD，故S△BCF＝eq\f(1,2)·FC·AD＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2).因此VE­BCF＝eq\f(1,3)S△BCF·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),12).(3)证明：过E作EG∥AB交PA于G，连接DG.由于E为PB的中点，所以G为PA的中点．∵AD＝PD，∴DG⊥PA.∵AB⊥平面PAD，DG⊂平面PAD，∴AB⊥DG.又∵AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴DG⊥平面PAB.又∵GE∥eq\f(1,2)AB，GE=eq\f(1,2)AB，DF∥eq\f(1,2)AB，DF=eq\f(1,2)AB∴GE∥DF.GE=DF.∴四边形DFEG为平行四边形，故DG∥EF.∴EF⊥平面PAB.【方法规律】垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题．一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)垂直与平行结合问题．求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．(3)垂直与体积结合问题．在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中(侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱)，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC(1)B1C∥平面A1BD(2)B1C1⊥平面ABB1A证明：(1)如图所示，连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1的中点．连接OD，∵D为AC的中点，∴在△ACB1中，有OD∥B1C又∵OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD∴B1C∥平面A1BD(2)∵AB＝B1B，三棱柱ABC­A1B1C1∴四边形ABB1A1∴A1B⊥AB1.又∵AC1⊥平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴AC1⊥A1B.又∵AC1⊂平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，AC1∩AB1＝∴A1B⊥平面AB1C1又∵B1C1⊂平面AB1C∴A1B⊥B1C1又∵A1A⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B∴A1A⊥B1C又∵A1A⊂平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B∴B1C1⊥平面ABB1A1考点四线面角、二面角的求法[例4](·杭州模拟)在几何体中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，CC1∥AA1，AB＝BC＝AA1＝2，CC1＝1，D，E分别是AB，AA1的中点．(1)求证：BC1∥平面CDE；(2)求二面角E­DC­A的平面角的正切值．[自主解答](1)证明：连接AC1交EC于点F，连接EC1，由题意知四边形ACC1E是矩形，则F是AC1的中点，连接DF，∵D是AB的中点，∴DF是△ABC1的中位线，∴BC1∥DF，∵BC1⊄平面CDE，DF⊂平面CDE，∴BC1∥平面CDE.(2)过点A作AH⊥直线CD，垂足为H，连接HE，∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD，又AH∩AA1＝A，AH，AA1⊂平面AHE，∴CD⊥平面AHE，∴CD⊥EH，∴∠AHE是二面角E­DC­A的平面角．∵D是AB的中点，∴AH等于点B到CD的距离，在△BCD中，求得点B到CD的距离为eq\f(2\r(5),5)，则AH＝eq\f(2\r(5),5).在△AEH中，tan∠AHE＝eq\f(AE,AH)＝eq\f(\r(5),2)，即所求二面角的正切值为eq\f(\r(5),2).【方法规律】1．求斜线与平面所成的角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．2．求二面角的步骤(1)作出二面角的平面角；(2)证明该角就是二面角的平面角；(3)计算该角的大小．以上3步简记为作、证、算．3．作二面角平面角的方法法一：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，∠AOB为二面角α­a­β的平面角．法二：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α­l­β的平面角．法三：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图③，∠AFE为二面角A­BC­D的平面角．(·广东高考)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B­PC­A的正切值．解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD.又∵PA∩PC＝P，PA、PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.(2)如图，设BD与AC交于点O，连接OE.∵PC⊥平面BDE，BE、OE⊂平面BDE，∴PC⊥BE，PC⊥OE.∴∠BEO即为二面角B­PC­A的平面角．由(1)知BD⊥平面PAC.又∵OE、AC⊂平面PAC，∴BD⊥OE，BD⊥AC.故矩形ABCD为正方形，∴BD＝AC＝2eq\r(2)，BO＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2).由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，得PA⊥BC.又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.而PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB.在Rt△PAB中，PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(5)，在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝3，在Rt△PBC中，由PB·BC＝PC·BE，得BE＝e