第09讲 与全等三角形有关的计算和角的证明与计算（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（8年级人教版）

第09讲与全等三角形有关的计算和角的证明与计算【人教版】·模块一求角度和线段的长度·模块二角度和线段之间关系的证明·模块三线段位置关系·模块四课后作业模块一模块一求角度和线段的长度【例1】如图，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AC=5，求BD的长.

【例2】如图，C为BE上一点．点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，AB=CE，BC=ED．(1)证明：△ABC≅△CED；(2)若∠A=135°，求∠BCD的度数．【例3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC，延长AD到点E，使得AE=AB，连结BE，CE．

(1)求证：△ABD≌(2)若∠BAC=60°，求∠BCE的度数．【变式1】如图，点A，C，D，E在同一条直线上，BC⊥AE，FD⊥AE，∠F=∠B，且AB=EF．(1)求证：△ABC≌△EFD；(2)若AE=8，CD=2，求DE的长．【变式2】如图1是李明制作的燕子风筝，燕子风等的骨架图如图2所示，已知AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC,∠D=50°，求∠C的大小．【变式3】已知：如图，在△ABC中，E是AC的中点，点F在AB上，CD∥AB，交FE的延长线于点D．(1)求证：EF=ED；(2)若AB=8,CD=6，求BF的长．模块二模块二角度和线段之间关系的证明【例1】如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，CB=CD，BE=DF．试探究线段AD，DF，AB之间的数量关系，并证明．

【例2】在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（点D不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？说明理由．【例3】在△ABC中，AB=AC，点D是线段CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究写出α【变式1】如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥AB于点E，在BC上取FC=AE．(1)求证：△AED≌△FCD；(2)猜想AB，BC与CF之间的数量关系，并说明理由．【变式2】如图，已知AB=AC,AD=AE,BE=CD．写出∠1,∠2,∠3之间的数量关系，并予以证明．【变式3】已知，如图，Rt△ABC和Rt△ADE，AB⊥AC，AD⊥(1)求证：△DAC(2)试求BE、CD之间的数量关系和位置关系．模块三模块三线段位置关系【例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F，E分别是AD及其延长线上的点．(1)如果CF//BE，说明：△BDE≌△CDF；(2)若CF，BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F，请猜想BF与CE的位置关系？并说明理由．【例2】如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，E是AD上的一点，且DC=DE，连接BE并延长交AC于点F．(1)求证:AC=BE；(2)猜想BF与AC的位置关系，并证明．【例3】如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，当点B，D，E在同一条直线上时，请判断线段BD和CE的数量及位置关系，并说明理由．【变式1】如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，请写出CD与BA之间的位置关系，并证明你的结论．【变式2】如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BF=CE．(1)求证AE=DF；(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．【变式3】如图，C是线段BD上一点，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，连接BE，AD，试判断BE与AD的数量关系与位置关系，并说明理由．模块四模块四课后作业1．如图，AC，BD交于E点，AC=BD，AE=BE，∠B=35∘，∠1=95∘，则A．60° B．35° C．50° D．75°2．如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（）A．∠2=2∠1 B．∠2-∠1=90° C．∠1+∠2=90° D．∠1+∠2=180°3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF=AC，CD=3，BD=8

4．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，这两个滑梯与地面夹角中∠ABC=35°，则∠DFE=_______°．5．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．(1)求证：△ABC≌(2)若∠A=60°，∠B=88°，求∠F的度数．6．如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，点E为BF中点，若CF=10，AD=7，求7．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AE＝AD，AE⊥AD，B、C、E三点在同一条直线上．（1）求证：△ABE≌△ACD．（2）探究DC与BE之间的位置关系，并说明理由．8．如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE相交于点F，与（1）△BCD与△ACE全等吗？请说明理由；（2）试判断BF与AE的位置关系，并说明理由．9．按要求画图，并解答问题（1）如图，取BC边的中点D，画射线AD；（2）分别过点B、C画BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F；（3）BE和CF的位置关系是；通过度量猜想BE和CF的数量关系是．10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=60°，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为一边的等边三角形．（1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：△AEB≌△ADC；（2）如图①，探究BE和AC的位置关系，并说明理由．（3）如图②，当点D在BC的延长线上时，（2）中结论还成立吗？说明理由．11．已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的关系，并证明．12．在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在直线AB上，且(1)如图①，已知∠DEC=∠A=90°，①求证：△AED≌△CEB；②若BC=3，AD=2，则AB=______；(2)如图②，若DE交BC于点F，∠DFC=∠AEC，猜想AB、AD、BC之间具有怎样的数量关系？并加以证明．13．如图，点C，A，O，B四点在同一条直线上，点D在线段OE上，且OA=OD，AC=DE，连接CD，AE(1)求证△AOE≌△DOC；(2)写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．14．如图，有两个长度相等的滑梯AB与DE（即AB=DE），滑梯AB的高BC与滑梯DE的水平