高中数学导数及其应用教案人教版（理科）

第十节导数的概念及其运算

1.导数的概念及几何意义

(1)了解导数概念的实际背景.

(2)理解导数的几何意义.

2.导数的运算

(1)能根据导数的定义求函数y=C(C为常数)，y=x,)，=*

1

)'—x,y=/,y~y［x的导数.

(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则

求简单函数的导数.

(3)能求简单的复合函数(仅限于形如火ax+切的复合函数)的导数.

ZHISHIHUIGU................

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知识点一导数的概念及几何意义

导数的概念

(1)函数y在X=xo处的导数：

称函数在x=x()处的瞬时变化率

&o+Ar)-/Uo)

—lim±为函数y=/(x)在x=的处的导数，记作了'(&)或y1\x

1由AxAo

=X()f即

...AEi-A^o+Ax)—/(xo)

f(M=h理。加=卜理0瓦•

(2)导数的几何意义：

函数应r)在点xo处的导数，(xo)的几何意义是在曲线y=/(x)上点P(xo,血)处的切线的斜

率(瞬时速度就是位移函数s⑺对时间f的导数).相应地，切线方程为y—yo=fQo)(x-xo).

(3)函数式x)的导函数：

称函数/W=liAm(),空士誓也为府)的导函数.

易误提醒

1.求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而

后者包括了前者.

2.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有

差别.

［自测练习］

1.(2015•陕西一检)已知直线＞=一x+m是曲线y=f—31nx的一条切线，则〃2的值为

()

A.0B.2

C.1D.3

3

解析：因为直线y=—x+"z是曲线—31nx的切线，所以令y'=2x—；=—1,得

3

x=1,x=一5(舍)，即切点为(1,1),又切点(1,1)在直线y=-x+加上，所以加=2,故选B.

答案：B

2.(2015・洛阳期末)函数/U)=eXsinx的图象在点(0,犬0))处的切线的倾斜角为()

解析：因为/(x)=e*sinx+e'cosx,所以/(0)=1,即曲线)=段)在点(0,10))处的切

线的斜率为1,所以在点(0,_/(0))处的切线的倾斜角为也故选C.

答案：c

知识点二导数的运算

1.基本初等函数的导数公式

(sinx)1=cosx,(cosx)'="sin(")'=ax\na,(ev)'=贮，(log㈤=二°,(Inx)'

x'

2.导数的运算法则

⑴[f(x)±g(x)]'=f'(x)土/(%).

(2)[f(x)g(x)]'=fa)*x)+/g诙'(x).

⑶照=-W。).

3.复合函数的导数

复合函数y=Xg(x))的导数和函数y=/("),〃=g(x)的导数间的关系为丹'=%'%’,

即v对x的导数等于v对“的导数与“对x的导激的乘积.

易误提醒

1.利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(/)'=研厂1中且“

GQ,(cosx)'=_sinx.

2.注意公式不要用混，如(")'=«加4,而不是

3.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.

［自测练习］

3.下列求导运算正确的是()

A1+0,=1+?

B.dog")'=焉

A

C.(3)=3log3e

D.(Aosx)*1=_2sinx

解析：(工+：)'=『+(：)'=1—5；(3*)'=34113:(fcosx)'=(x2)/cosx+f(cosx)'

=2xcosx-^sinx.

答案：B

4.若函数./U)=2'+lnx且/(a)=0,则2〃ln2〃=()

A.1B.-1

C.-In2D.In2

解析:f'(x)=2xln2+p由/(a)=2°ln2+^=0,得2aIn2=一：,则。2%出2=—1,

即2aIn2a=-l.

答案：B

研|考|向KAODIANYANJIU..........

»考点研究》强技提能

考点，一导致的运算I良舌森.需1

［题组训练］

1.(2015・济宁模拟)已知人x)=x(2014+lnx),/'3))=2015,则沏=()

A.e2B.1

C.In2D.e

解析：由题意可知/(x)=2014+lnx+x/=2015+lnx.由/(必)=2015,得lnxo=O,

解得x()=1.

答案：B

2.若函数/x)=lnx-/'(—l)f+3x-4,则/'(1)=.

解析：•"(x)=!一V(T)x+3,

•••r(-D=-l+2/'/(-1)+3,

解得/(-1)=一2,二，⑴=1+4+3=8.

答案：8

3.己知力(x)=sinx+cosx,记加。)=力'(x),(x),…，=fn-\'(?c)(nGN*,

”22),则力③+及0------咦。点)=-

解析：及(x)=/i‘(x)=cosx—sinx,

力(x)=(cosx-sinx)'=—sinx—cosx,

A(x)=-cosx+sinx,yj(x)=sinx+cosx,

以此类推，可得出fn(x)=fn+4(x),

又：力。)十£(x)+%(x)+力(x)=0,

'/(f)+及0------卜h0166)

=5岫像+/)+魂+从劭=0.

答案：0

》规律方法

求导运算应遵循的两个原则

(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以

减少运算量，提高运算速度，减少差错.

(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等式等变

形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.

考点二导4^.的几何意义|霹。黑

导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前

几问，难度较低.归纳起来常见的命题探究角度有：

1.求切线方程问题.

2.确定切点坐标问题.

3.已知切线问题求参数.

4.切线的综合应用.

探究一求切线方程问题

Injr—9r

1.(2015・云南一检)函数兀c)=、•的图象在点(1,一2)处的切线方程为()

A.2x~y~4=0B.2%+y=0

C.x-y—3=0D.x+y+1=0

I—]nx

解析：/(x)=『，则/(1)=1,故该切线方程为)，一(一2)=彳一1,即》一)-3=().

答案：c

探究二确定切点坐标问题

2.（2015•洛阳期末）已知直线如x+2y-3=0,函数y=3x+cosx的图象与直线/相切

于P点，若/，加，则尸点的坐标可能是（）

(兀3储(TI3兀、

A・SFTJ

3兀

C售5）子-2

解析：因为直线机的斜率为一；，/J_m，所以直线/的斜率为2.因为函数y=3x+cosK

的图象与直线/相切于点P,设尸（〃，h）,则b=3〃+cos〃且y'L=«=3—sina=2,所以sin

a=\,解得4=，+2E伙£Z）,所以。=¥+6E（A£Z）,

所以尸（］+2%兀，苧+6E）（Z£Z）,

当k=0时，砥y）,故选B.

答案：B

探究三已知切线求参数范围

3.（2015•河北五校联考）若曲线G：y=af（a>0）与曲线C2：y=e”存在公共切线，则a

的取值范围为（）

A后,+8）B.（0,f

C信,+°°）D.（0,J

解析：结合函数〉二加侬〉。）和y=e"的图象可知，要使曲线G：>=加3>0）与曲线Q：

产e'存在公共切线，只要加=e"在（0,+8）上有解，从而令力⑴=*（心>0）,则力'（x）

—（x-2）已"*"

=一~一~=-p-,令。）=0,得X=2,易知〃（X）min=/2（2）=彳，所以

答案：C

探究四切线的综合应用

4.（2015・重庆一诊）若点尸是函数_Ax）=f—Inx图象上的任意一点，则点尸到直线x—y

-2=0的最小距离为（）

A.乎B.A/2

C2D.3

解析：由/'（x）=2_x-1=1得x=1（负值舍去），所以曲线了=/0）=/—Inx上的切线斜

|］一］一2|

率为1的点是(1/)，所以点P到直线1一)>一2=0的最小距离为—J也,故选B.

答案：B

》规律方法

导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下三个方面:

⑴已知切点A(xo,.大刈))求斜率A,即求该点处的导数值：k—f(xd).

(2)已知斜率2,求切点A3,©)),即解方程，(为)=左

(3)已知过某点M(xi,凡⑴)(不是切点)的切线斜率为左时，常需设出切点A(M),TUo)),利

用仁”当求解.

易错防范系列|

VIICUOFANGFANXILIEI4.混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误

【典例】若存在过点(1,0)的直线与曲线y=/和>=加+竽X—9都相切，则a等于

()

,一25八，421

A.一1或一石B.-1或彳

C.一；或-HD.一/或7

［解析］因为>=必，所以y'=3/，

设过(1,0)的直线与了=/相切于点(xo,就，

则在该点处的切线斜率为左=3高，

所以切线方程为y—A^=3XO(X—xo),即y=3«—4,又(1,0)在切线上，则xo=O或X。

31525

=2，当必=0时，由y=0与yua^+q-x—9相切，可得〃=一石，

3272715

当时，由y=N-x—彳与了二混+甲一9相切，可得a=—1,所以选A.

［答案］A

［易误点评］没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误.

［防范措施］

(1)对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导

法则及导数的计算原则要熟练掌握.(2)对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，

进而选择相应的方法求解.

［跟踪练习)(2015•兰州一模)己知直线y=2x+l与曲线y=V+“x+b相切于点(1,3),则

实数b的值为.

解析：因为函数jHV+ax+b的导函数为)，'=3f+a,所以此函数的图象在点(1,3)处

[3+a=2,a=~\,

的切线斜率为3+a,所以[_]+a+b解得，

b=3.

答案：3

IGENZONGJIANCE

时»跟踪检测>查漏补缺

A组考点能力演练

1.(2015・太原一模)曲线)，=/上点P处的切线的倾斜角为:，则点P的坐标为()

A.(0,0)B.(2,4)

C.Q,专)D.&

JT11

解析：因为)，=~,所以=2x,tan4=2x,所以x=],代入y=f,得了=不因此点

尸的坐标为(；，；)，故选D.

答案：D

2

2.(2015・宝鸡质检)曲线y=l一而在点(一1,一1)处的切线方程为()

A.y=2x+lB.y=2x~l

C.y=—2x~3D.y=—2x~2

2xx+2—x2

解析：；y=l一不短=不适，二y'=(x+2)2=(x+2产>'h=-i=2,...曲线在点(一1,

—1)处的切线的斜率为2,二所求切线的方程为y+l=2(x+l),即)，=2x+l,故选A.

答案:A

3.已知函数y=/(x)的图象如图所示，则，(0)与，(切)的大小关系是

)

A.fM>f(xB)

B.fM<f(xB)

C.f(xQ=f(%fi)

D.不能确定

解析：分别作出曲线y=7(x)上A,8两点的切线，设曲线y=./(x)上A,B两点的切线的

斜率分别为以，ku,则由图可知无>以，即/(xA)<f(JCB),故选B.

答案：B

4.己知y=/(x)是可导函数，如图，直线y=fcc+2是曲线y=«r)在x=3处的切线，令

g(x)=MM，g'(x)是g(x)的导函数，贝Ijg'(3)=()

、尸兆)

：kx+2

03~~x

A.-1B.0

C.2D.4

解析：由题图可知曲线y=./(x)在x=3处切线的斜率等于一看⑶=一；••-g(x)=求入),

・・・g'。)=段)+^'(幻，・・・/(3)=H3)+3/‘(3),又由题图可知#3)=1,所以屋(3)=1+

3X

3,=0.

答案：B

5.已知函数Kr)=lnx+tan/(x),若使得，(沏)=贝刈)成立

的&满足MV1，则a的取值范围为()

三匹

B.I

D(0,§

端，9

解析：(x)=-,：.f'(xo)=~,由/(Xo)=y(xo),得三=lnXo+tana,Atana=——

入AO40人0

Inxo>l,即tana>l,又a£(07CTt

lnM).又O<xo<l,・・・1£,故选B.

不2,

答案：B

6.(2015•长春二模)若函数段)=乎，则/(2)=

i"1-'Inxp71-In2

解析：由/(x)=-p—,付/(2)=-4-

小心1—In2

答案：—^―

7.如果，(x)是二次函数，且/(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1,5)，那么曲线y

=/(x)上任意一点的切线的倾斜角a的取值范围是.

解析：根据已知可得/(x))小，即曲线y=«r)上任意一点的切线的斜率无=tana)

小,结合正切函数的图象，可知?yj.

三5

答案:3'I

8.(2015・高考全国卷II)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x

+1相切，则〃=.

解析：法一：=1+",>•y'|.v=i=2,.•.y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y—1

=2(x-l),・・・y=2]-1.又切线与曲线)=加+伍+2)无+1相切，当〃=0时，y=2x+l与y

|y=ac2+(a+2)x+1,

=2%—1平行，故。20,由彳得加+0¥+2=0,♦.・/=/—8。=0,/.

ly=2x-\,

4=8.

法二："=l+p”马=2,；.y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为)，-1=2(L

1),.•.y=2x—1,又切线与曲线丫=加+(〃+2)犬+1相切，当<7=0时，y=2x+1与y=2x

一1平行，故〃力。.：)/=2〃/+(〃+2),・,•令2or+〃+2=2,得x=-/代入y=2x—1,

得y=—2,・,•点(一g,—2)在y=ax2+(a+2)x+1的图象上，故一2=aX(―。+3+

2)X(-£)+1,.•.“=8.

答案：8

9.已知函数—a)f—a(a+2)x+b(a,R).

(1)若函数兀r)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3,求小〃的值；

(2)若曲线y=；U)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.

解：/'(x)=3X2+2(1—a)x~a(a+2).

伏0)=6=0,

(1)由题意得,,

\f(0)=-a(a+2)=-3,

解得匕=0,<?=-3或1.

(2)：曲线y=/(x)存在两条垂直于)，轴的切线，

二关于x的方程/'(x)=3/+2(l-a)x-a3+2)=0有两个不相等的实数根，

/.J=4(l-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+l>0,

.,.a#—

，“的取值范围是(-8,一'u(—J,+8).

10.(2016・临沂一模)已知函数,小;)=/3-2『+3必》：62的图象为曲线C.

(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标

的取值范围.

解：(1)由题意得/(x)=/一4x+3,

则，(幻=。-2)2—1，-1,

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是|-1,+8).

(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,

'4一1,

则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，，一*1，

解得一1W-0或121,

故由一1W/一4x+3<0或/—4x+321,

得仲一8,2-V2]U(l,3)U[2+V2,+°°).

B组高考题型专练

1.(206高考福建卷)若定义在R上的函数应0满足负0)=—1,其导函数/(x)满足

f(x)>k>],则下列结论中一定错误的是()

A.血B.娘〉吉

(占D.循■)>尚

解析：取满足题意的函数外)=2%—1,若取仁,，则所以排除A;

11

Iok

若取则=/10)=19>ll=-j-j—,所以排除D;取满足题意

io-1

的函数y(x)=10x—1,若取k=2,则./Q)=/(；)=4>l=E7f=/7[,所以排除B.故结论一定

错误的是C.

答案:C

2.(2014.高考江西卷)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2r-y+l=0,贝U点P

的坐标是.

解析：y'=lnx+x.：=1+lnx,直线2x—y+1=0的斜率为2.设P。&n),则l+ln〃?

=2,解得山=e,所以〃=elne=e.即尸(e,e).

答案：(e,e)

3.(2015・高考全国卷I)已知函数<x)=a『+x+l的图象在点(1/1))处的切线过点(2,7),

则a—.

解析：因为凡Dua^+x+l,所以/(Jt)=3ar+l,所以段)在点(1,川))处的切线斜率

为k=3a+l,又/U)=a+2,所以切线方程为y—(。+2)=(3。+1)@一1),因为点(2,7)在切线

上，所以7—(a+2)=3a+l,解得a=l.

答案：1

4.(2015•高考天津卷)已知函数x£(0,+°°),其中。为实数，/(元)为«r)

的导函数.若/(1)=3,则。的值为.

解析：，(x)=〃(lnx+xT)=a(lnx+l),因为/(1)=3,所以/(1)=〃=3.

答案：3

5.(2015・高考陕西卷)设曲线y=e「在点(0,1)处的切线与曲线)，=(x>0)上点尸处的切线

垂直，则尸的坐标为.

解析：y'=ev,则y=e*在点(0,1)处的切线的斜率及切=1,又曲线y=%x>0)上点P处

的切线与y=e”在点(0,1)处的切线垂直，所以y=：(x>0)在点尸处的切线的斜率为一1,设尸(a,

b),则曲线y=：(x>0)上点P处的切线的斜率为y'k=“=—。-2=—[,可得〃=],又p(〃，

匕)在)>=:上，所以匕=1,故尸(1,1).

答案：(1,1)

第十一节导数在函数研究中的应用

1.函数的单调性

了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,

会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

2.函数的极值

了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求

函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).

ZHISHIHUIGU................

抓主干»知识回顾＞稳固根基

知识点一利用导数研究函数的单调性

I.函数;(x)在某个区间①，制内的单调性与其导数的正负有如下关系

(1)若na)>o,则./w在这个区间上是增加的.

⑵若，(x)<0,则兀c)在这个区间上是减少的.

(3)若f(x)=0,则|x)在这个区间内是常数.

2.利用导数判断函数单调性的一般步骤

(1)求f/(x).

(2)在定义域内解不等式f'(x)>0或f'(x)<0.

(3)根据结果确定兀0的单调区间.

易误提醒

1.在某个区间(a,加上，若/'(x)>0,则於)在这个区间上单调递增；若/3<0,

则Xx)在这个区间上单调递减；若/6)=0恒成立，则兀c)在这个区间上为常数函数；若/G)

的符号不确定，则火x)不是单调函数.

2.若函数y=_/(x)在区间(a,份上单调递增，则，'(x)>0,且在(a,份的任意子区间，等

号不恒成立；若函数y=/(x)在区间(a,与上单调递减，则/((%)<0,且在(a,份的任意子区

间，等号不恒成立.

［自测练习］

I.函数段)=x+elnx的单调递增区间为()

A.(0,+°°)B.<―0°,0)

C.(一8,0)和(0,+8)D.R

解析：函数定义域为(0,+°°),f(x)=l+1>0,故单调增区间是(0,+°°).

答案:A

2.若函数,&0=^+/+m工+1是R上的单调增函数，则相的取值范围是.

解析：•.,火X)=9+*+1,

.".f(jc)=3x2+2x+/n.

又：丸x)在R上是单调增函数，：.f(x)20恒成立，.•./=4-12mW0,即小2T

答案：+8)

知识点二利用导数研究函数的极值

1.函数的极大值

在包含沏的一个区间(a,与内，函数y=/(x)在任何一点的函数值都小至M点的函数值，

称点xo为函数y=Ax)的极大值点，其函数值1网)为函数的极大值.

2.函数的极小值

在包含xo的一个区间(a,3内，函数y=/(x)在任何一点的函数值都大王xo点的函数值，

称点沏为函数yfx)的极小值点，其函数值八X。)为函数的极小值.极大值与极小值统称为

极值,极大值点与极小值点统称为极值点.

易误提醒/(xo)=O是xo为7(x)的极值点的非充分非必要条件.例如，,穴工)=必，/(0)

=0,但x=0不是极值点；又如人x)=H，x=0是它的极小值点，但了(0)不存在.

［自测练习］

3.函数段)的定义域为开区间(a,b),导函数/'(x)在(a,力内

的图象如图所示，则函数式》)在开区间(a,6)内有极小值点()/^\b

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：导函数/'(X)的图象与X轴的交点中，左侧图象在X轴下方，右侧图象在X轴

上方的只有一个，故选A.

答案：A

4.若函数人%)=/+如2+3犬―9在x=-3时取得极值，则a等于()

A.2B.3

C.4D.5

解析：f'(x)=3f+2ar+3,由题意知/'(-3)=0,即3X(—3)2+2X(-3)a+3=

0,解得a=5.

答案：D

KAODIANYANJIU..........

研考向»考点研究》强技提能

考点一"利用导数研窕函数的单调性|HE！UO援器

［典题悟法］

典例.1(2015・高考全国卷II)已知函数<x)=lnx+a(l—x).

(1)讨论兀0的单调性；

(2)当次x)有最大值，且最大值大于2a—2时，求a的取值范围.

［解］(1求x)的定义域为(0,+8),，。

若aWO,则/(x)>0,

所以/U)在(0，+8)单调递增.

若a>0,则当xd(0,J)时，/(x)>0；

当xcg，+8)时，f(x)<0.

所以./(x)在(0,5)单调递增，

在g+8)单调递减.

⑵由⑴知，当a<0时，於)在(0,+8)无最大值；当〃>0时，贝x)在处取得最大值,

最大值为O=ln'+4(1—5)=—"Ina+a~1.

因此《0>2a—2等价于Ina+a~\<0.

令g(a)=lna+〃-1,则g(〃)在(0,+8)单调递增,§(1)=0.

于是，当0<«<1时，g(a)<0;当a>\时，g(a)>0.

因此，。的取值范围是(0,1).

»规律方法

利用导数研究函数的单调性应注意两点

(1)在区间内，(x)>0(/'(x)<0)是函数段)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.

(2)可导函数./U)在(a,8)内是增(减)函数的充要条件是：Vxe(a,b),都有

f(x)>0(f(x)W0),且/'(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零.

［演练冲关］

1.已知函数y(x)=mlnx—5/(机GR),求函数«r)的单调区间.

1mZ72-

解：函数於)=Mnx—/的定义域是(0,+°°)./(幻=1-x=—―.

-f

当初40时，/(x)^—=~x<0,

函数j(x)=m\nx—*在(0,+8)上为减函数.

当机>0时，令(x)=0,得：x=y［^i或一6i(舍去).

当xe(O,而)时，f(x)>0,

.7/(力在(0,，石)上是增函数.

当+°°)H+,f(x)<0,

；・J［x)在,+8)上是减函数.

综上所述，当加WO时，段)的单调递减区间为(0,+8),当机>0时，犬犬)的单调递增区

间为(0,，京)，单调递减区间为(、佃，+°°).

考点、二已如单调性求参第L范囹IHE200■J落

［典题悟法］

典例2(2015•福州模拟)已知函数/)=导一3一依(a6R).

乙V

(1)当时，求函数人X)的单调区间；

(2)若函数_/(x)在［-1,1］上为单调函数，求实数a的取值范围.

3eA13

［解］(1)当4=1时，yu)=］■一/一寸，

f'(x)==［(e平-3a+2］=^^-1)(砂一2),

令/'(x)=0,得e"=l或e'=2,即x=0或1=ln2;

令/'(x)>0,得x<0或x>ln2:

令f'W<0,贝”0<x<ln2.

・・・#%)在(-8,o］,［In2,+8)上单调递增，在(0,In2)上单调递减.

eA1

⑵于'(工尸>最一，

令ev=f,由于工£［—1,1］,

「11

令一)="耻已，ej,

,11Z2—2

h⑺=2_/=苗，

.,.当啦)时，h'(/)<0,函数/?⑺为单调减函数；

当.阪e］时,h'(z)>0,函数〃⑺为单调增函数.

故人⑺在e上的极小值点为t=^2.

又〃(e)=5+：</(3=叁+e，

，也W/i⑺4e+4

・・•函数段)在上为单调函数，若函数在［-L1］上单调递增，则对/£1,e

恒成立，所以cW巾;若函数危)在［-1,1］上单调递减，则心对~fe恒成立，所

以心心,

综上可得aW啦或〃2e+土.

»规律方法

已知函数单调性，求参数范围的两个方法

(1)利用集合间的包含关系处理：y=/(x)在假，份上单调，则区间色，切是相应单调区间

的子集.

(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f'(x)》0；若函数单调递

减，则/'(x)W0”来求解.

提醒：犬彳)为增函数的充要条件是对任意的xd(a,b),都有/'(x)》0且在5，6)内的

任一非空子区间上了'(x)W0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.

［演练冲关］

2.已知函数人¥)=e"-or(aeR,e为自然对数的底数).

(1)讨论函数/U)的单调性；

(2)若。=1,函数8。)=。一相求幻一+x在(2,+8)上为增函数，求实数机的取

值范围.

解：⑴函数7U)的定义域为R,/a)=e'一〃.

当“W0时，f(x)>0,.\/U)在R上为增函数；

当〃>0时，由/'(x)=0得x=lna,

则当x£(—8,Ino)时，，(x)<0,，函数段)在(一8,E〃)上为减函数，

当x£(ln。，+8)时，f(x)>0,

/.函数人¥)在(Ina,+8)上为增函数.

(2)当〃=1时，g(x)=(x—团)(。"一幻一e'+f+羽

：ga)在(2,+8)上为增函数，

:・g'(x)=xex—fnex+m+1^0在(2,+8)上恒成立，

比€刀+1

即“2—［i—］在(2,+8)上恒成立，

.xer+1

令h(x)=&\_］，X£(2,+°°),

(。')2一北2©"e"(e"一x-2)

hf(x)=

(—1)2(eA-l)2

令L(x)=cv—x—2,

L'(犬)=©，-l>0在(2,+8)上恒成立,

即£a)=e"一%一2在(2,+8)上为增函数,

即L(x)>〃2)=e2-4>0,：.h'(x)>0,

xe'H-1

即/2(x)=；i_］在(2,+8)上为增函数,

2e2+l

J/I(X)>/2(2)=e2_j»

2e2+l

e-1

考点三利用导研究极值|京z隹猴।斋

［典题悟法］

典例3设函数以+b.

讨论函数小inx)在(甘，野内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

[解]/(sinx)=sin2x-tzsinx+b=sinx(sinx-a)+b,一，4<会

.7T兀

[/(sinx)]z=(2sinx-〃)cosx,—gqq.

因为一gaq，

所以cosx>0,-2<2sinx<2.

①aW-2,时，函数式sinx)单调递增，无极值.

②a22,时，函数共sinx)单调递减，无极值.

③对于一2<。<2,在(甘，号内存在唯一的xo,使得2sinxo=a.—时,

函数/(sinx)单调递减；

7T

xoWK,时，函数/sinx)单调递增.

因此，一2<a<2,86R时，函数./(sinx)在沏处有极小值

犬sinxo)=/g)=8一半

[演练冲关]

3.(206太原一模)已知函数««)=(『一av+〃)e'-f,aGR.

(1)若函数兀0在(0,十8)上单调递增，求”的取值范围；

(2)若函数火x)在x=0处取得极小值，求a的取值范围.

解：(1)由题意得/'(x)=x[(x+2—Q)e*—2]=

.«+2一看-a),xGR,

••7(x)在(0,+8)上单调递增，

.•./(x)20在(0,+8)上恒成立，

2

，x+2—在(0,+8)上恒成立，

2

又函数g(x)=x+2一最在(0,+8)上单调递增，

，aWg(0)=0,

.♦.a的取值范围是(-8,0].

(2)由(1)得/(x)=xeG+2一看一a),xCR,

2

令/(x)=0,则x=0或x+2—£—〃=(),即x=0或g(x)=a,

2

・.・g(x)=x+2—a在(-8,十8)上单调递增，其值域为R,

,存在唯一为()£R,使得g(x())=4,

①若M)>0,当大£(一8,0)时，g(x)<〃，f(x)>0;当犬£(0,xo)时，g(x)<a,f(x)<0,

，危)在x=0处取得极大值，这与题设矛盾.

②若沏=0,当无£(—8,0)时，g(R)<〃，，。)>0;当无£(0,+8)时，g(x)>a,，(*)>0,

・・・.大幻在x=0处不取极值，这与题设矛盾.

③若xo〈O,当x£(x(),0)时，g(x)>aff(x)<0;当x£(0,+°°)H+,g(x)>a9f(x)>0,:.

/(x)在R=0处取得极小值.

综上所述，xo<O,，〃=ga())<g(O)=O,

*.a的取值范围是(一8,0).

C思想方法系列|

□IXIANGFANGFAXILIEI8.分类讨论思想在导数中的应用

HY—n

【典例】(2015•贵阳期末)已知函数式x)=」k(aWR,aWO).

(1)当〃=-i时，求函数y(x)的极值；

(2)若函数/(x)=y(x)+1没有零点，求实数a的取值范围.

［思维点拨］(1)求/(X)后判断段)在(-8,+8)上的单调性，可求极值.

(2)分类讨论凡r)在(-8,+8)的单调性，利用极值建立所求参数”的不等式求解.

—1x-2

［解］⑴当a=-l时，,/«=一^―,/(x)==.

由/(x)=0,得x=2.当x变化时，f(x),兀v)的变化情况如下表：

X(-°°,2)2(2,+8)

f(X)—0+

於)极小值

所以函数fix)的极小值为负2)=一《，函数fix')无极大值.

ae'—(ax—a)e'—</(%—2)

(2)F(x)=/(x)=-----云-----=----最----

①当a<0时，F(x),尸(x)的变化情况如下表:

X(一8,2)2(2,+8)

尸(X)一0+

F(x)极小值

若使函数尸(x)没有零点，当且仅当尸(2)=善+1>0,

解得tz>—e2,所以此时一e2<〃<0；

②当〃>0时，F(X)9F(x)的变化情况如下表：

X(一8,2)2(2,+8)

F'(%)+0一

F(x)极大值

z[0、el———10e—io

因为F(2)>F(l)>0,且/(1--)=----1jQ—<--JQ<0,

el——el——

aa

所以此时函数F(x)总存在零点.

..,,a(vx-1)7.

(或：当x>2时，F(x)=e,t+1>1,

,,.a(x-1),r,

当x<2时，令尸(x)='了+1<0,即o(x-l)+ey),

由于a(x-1)+ex<a(x—1)+e*12,

22

令a(x—l)+e2W0,得xWl一肾，即xWl一7时，F(x)<0,

即F(x)存在零点)

综上所述，所求实数a的取值范围是(一e^O).

[思想点评]分类讨论思想在导数研究函数的应用中运用普遍常见的分类讨论点有:

(l»(x)=0是否有根.

(2)若/(x)=0有根，根是否在定义域内.

(3)若/(幻=0有两根，两根大小比较问题.

IGENZONGJIANCE

时»