高考数学二轮复习 02 函数与导数教学案 文

前M余蔚趣

考场传真

1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科】已知f(x)是奇函数，g(x)

是偶函数，且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B；

【解析】因为匚"D+g⑴=2,两式相加可得g(D=3.

2.[2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科)】定义在R上的函数/.(X)满足

f(x+l)=2f(x).若当OKxKl时./(x)=x(l-x),则当-IKxKO时，

/(x)=•

【答案】/")=一^^I

【解析】当一IWXMO,则OWx+lVl,故/(x+l)=(x+l)(l—x—l)=-x(x+l)

又/(x+l)=2/Q),所以y(x)=-硬H

2.

3.[2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科】设函数/(x)=，e'+x-a

(aeR,e为自然对数的底数).若存在be[0,1]使/(/S))=b成立，则”的取值范围是

()

(A)[l,e](B)[1,1+f](C)[e,\+e](D)[0,1]

【答案】A.

【解析】：/(x)=G"-a在定义域上单调递噌，二三3e[0,1],使得/C/。))=8成

立=m3©[0,1],使得/。)=8,即等价于方程〃x)=x在[0,1]有解，于是

a=e*+x-x2在[0,1]有解，所以a的取值范围就是函数g(x)=e*+x-x2,xe[0,l]的

值域，•.•以乃=/+1-23在[0,1]恒为正，，函数8。)在[0」]上单调递噌，所以

g(x)e[l,e],故a的取值范围是选A

4.【2013年全国高考统一考试天津数学(文)卷】设函数〃x)=d+x-2,g(x)=lnx+Y-3.

若实数a,6满足/(a)=0,g3)=0,则()

(A)g(a)<O<f(b)(B)f(b)<O<g(a)

(C)0<g(a)</S)(D)/®<g(a)<0

【答案】A

【解析】由题意知，实数a是函数了(x)的零点,即为函数y=/的图彖与直线1y=-x+2的

交点的横坐标；实数5是函数g(x)的零点，即为函数丁=lnx的图冢与抛物线丁=-犬+3

的交点的横坐标；画出图冢不难得出0<a<1,b>\,而/(1)=e-l>0,所以/9)>0,

g(a)=lna+a2-3<0,故选A.(

5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科】函数/(x)=lnx的图像与函数

g(x)=d-4x+4的图像的交点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图像，可知有两个交点.

6.【2013年高考新课标H数学(文)卷】若存在正数x使2”(x-a)<1成立，则a的取值

范围是()

(A)(-8,+CO)(B)(-2,+8)(C)(0,+8)(D)(-1,+8)

【答案】D

【解析】由题意知，存在正数x，使所以4>0-2%加，而函数y=x-，

在(0,+8)上是噌函数，所以y>1y(0)=-1,所以白>-1,故选D.

7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)文科】若曲线y=ox2—]nx在点(1,a)

处的切线平行于x轴，则。=

【答案吗

【解析】依题意/=2ax--，久』=2a-1=0,：.a=-

x2

8.[2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科)】已知函数

f(x)-x3+ax2+Zzx+c有两个极值点，若/(与)=%i<x:，则关于x的方程

3(/8]升可斜)任的不同实根个数为

(A)3(B)4

(05(D)6

【答案】A

【解析】尸(x)=3x?+2ax+b，是方程3x?+2ax+b=0的两根，

由3(/(x))2+2q/W+6=0,则又两个〃x)使密等式成立，X1=由砧，々>再=/(々)'

其函数图象如下：

二.高考研究

【考纲要求】

1.函数

(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)

表示函数.

(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).

(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.

(5)会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.

2.指数函数

(1)了解指数函数模型的实际背景.

(2)理解有理指数基的含义，了解实数指数基的意义，掌握累的运算.

(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,

3,10,1/2,1/3的指数函数的图像.

(4)体会指数函数是一类重要的函数模型.

3.对数函数

(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;

了解对数在简化运算中的作用.

(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10,

1/2的对数函数的图像.

(3)体会对数函数是•类重要的函数模型；

(4)了解指数函数丁=/与对数函数『=l0g.x(互为反函数.

4.累函数

(1)了解基函数的概念.

y=x,y=x2,y=x3,y=-1,y=/4

(2)结合函数x的图像，了解它们的变化情况.

5.函数与方程

结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根

的个数.

6.函数模型及其应用

(1)了解指数函数、对数函数、累函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数

增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.

(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、塞函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的

函数模型)的广泛应用.

7.导数及其应用

(1)导数概念及其几何意义

①了解导数概念的实际背最

②理解导数的几何意义.

(2)导数的运算

①能根据导数定义求函数y=C(C为常数)，y=x,y=x2,y=上的导数。

X

②能利用下面给出的基本初等函效的导数公式和异数的四则运算法则求简单函数的导数.

常见基本初等函数的导数公式：

(C)=0(C为常数)；(x〃)'=nx'i,neN.

(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx;

(ev)=ex;(av)=axIna(a>0,且aW1);

.1,1

(Inx)=—；(log”x)二一log”e(a>0,且aWl)

xx

.常用的导数运算法则：

法则1：[u(x)±v(x)]'=〃'(X)±3(X)

法则2：[u(x)v(x)J=u(x)v(x)+u(x)V(x)

法则三提：=但法詈㈣(出)WO)

(3):导数在研究函致中的应用

①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其

中多项式函数一般不超过三次).

②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中

多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不

超过三次)。

(4)生活中的优化问题

会利用导数解决某些实际问题

【命题规律】

函数是高中数学教学内容的知识主干，是高考考察数学思想、方法、能力和素质的主阵地，

而且函数的观点及其思想方法贯穿于整个数学教学的全过程，导数是研究函数的有力工具，

高考对函数的考察更多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究函数的性

质、证明不等式等，体现出高考的综合热点.

函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择、填空又有解答题，而且不同

难易程度的题目都有，低档难度题一般只涉及函数本身内容，中、高档难度的题多为综合程

度较高的题，或者与其他知识的结合，或者是多种思想方法的渗透，近年来高考强化了函数

与其他知识(函数、方程、不等式、数列等)的渗透，加大了以函数为载体的多方法、多能

力的综合程度，解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论思想的应用.

--基础知识整合

1.函数的奇偶性:

(D定义：一般地，如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有/(-x)=/(x),那么

函数/(X)叫做偶函数；如果都有/(-乃=二/@),那么函数/(X)叫做奇函数，函数具有奇

偶性，则定义域关于原点对称.

♦

(2)图象特征：函数/(%)是偶函数U图像关于y轴对称；函数/(x)是奇函数U图

像关于原点对称.

(3)奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且如果在x=()处有定

义，有/(0)=0,即其图像过原点(0,0)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间

上的单调性相反，且/(—x)=/(x)=/(国)，这样就可以把研究整个函数具有的性质问题转

化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的途径，切记！

2.函数的单调性判断方法：

(1)定义法：对于定义域内某一个区间D内任意的%,%，且％<赴，若/(司)</(々)

Uf(x)在D上单调递增；若f(x)在D上单调递减.

(2)导数法：若函数在某个区间D可导，如果f(x)>0,那么函数f(x)在区间D内单调递

增；如果f'(x)<0,那么函数f(x)在区间D内单调递减.

(3)图像法：先作出函数的图像，再根据图像的上升或下降，从而确定单调区间.

(4)/(x)=/(x)+g(x),若f(x),g(x)都是增函数，则/(x)在其公共定义域内是增函

数；若/(x),g(x)都是减函数，则尸(x)在其公共定义域内是减函数.

尸(x)=/(x)_g(x),若/(x)是增函数，g(x)是减函数，则b(x)在其公共定义域内是增函

数；若/(x)是减函数，g(x)是增函数，则尸(x)在其公共定义域内是减函数.

同时要充分利用函数的奇偶性、函数的周期性、函数图象的直观性分析转化，函数的单调性

往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用.

3.函数的图像：

(1)描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接

而成.

(2)图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.

/(•V)分0响左平移的■单位)>/(.¥+67)

4<0(向右平移k忙单位)

/(-V)上>0®］上平移k个单位)>/(.¥)+/<

尢<0(向下平移卜怜单位)

,@>1(图像上所有点的纵坐标不会，描坐凝短为原来的上)八

/(X)-----------------'--------------•—>/(6lZX)(6l)>0,W=1)

(图像上所有点碰坐标不会，横坐标f怅为原来的与

03

上通处所有点的崔巳柝不会,纵他标仲长为原来的M_

/(X)》

像上所有启的搂电标不会,袁坐林缩所为原来的A：Af(x)(2>0,Zh1)

/(IN)的图像的画法：先画X20时y=/(x),再将其关于y对称，得y轴左侧的图像.

，(x)|的图像画法：先画y=/(x)的图象，然后位于x轴上方的图象不变，位于无轴下方的

图象关于x轴翻折上去.

f(a+x)^f(a-x)D>=/(%)的图象关于x=对称；

/(-M)*-(Py=/(x)的图象关于(a,0)点对称.

y=/(x)的图象关于x轴对称的函数图象解析式为y=-/(x)；关于>轴对称的函数解析式

为y=/(-x)；关于原点对称的函数解析式为y=-/(“).

(3)熟记基本初等函数的图象，以及形如y=x+工的图象

4.周期性：

(1)定义：对于函数y=/(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当了取定义域内的每一

个值时，/(x+T)=/(x)都成立，那么就把函数y=/(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫

做这个函数的周期.

(2)若f(x+a)=-f(x)(aw0),则函数f(x)是周期函数，且T=2a；若f(x+a)=:L，

f(x)

1

则函数f(x)是周期函数，且T=2a；若f(x+a)=-则函数f(x)是周期函数，且T=2a

f(x)

(3)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一.

例：f(x)是奇函数，且最小正周期是函则f(x+2)=f(x)=-f(-x),所以f(x)关于(1,0)

对称.

f(x)是偶函数,且图象关于x=l对称，则f(2+x)=f(-x)=f(x),所以f(x)周期是2.

5.指数函数、对数函数、基函数的性质:

对数近颜『=10刎。>。，

指数瓯颜注1)

函数aWl)

0<df<la>l0<a<la>\

44A

图家

敬域R(0,+8)

点(0,1)(1.0)

在R上单调在R上单调在(0,+00)在(0,+8)

单调性

递增上单调递减上单调递增

基函数y=图象永远过(1,1),且当a>0时，在xe(0,+oo)时，单调递增；当a<0时，

在xe(0,+oo)时，单调递减.

6.函数与方程

(1)方程/(x)=0有实根U函数y=/*)的图象与x轴有交点U函数y=/(x)有零

点.

(2)如果函数y=f(x)在区间［。,切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

/3>/(份<0那么，函数y=/(x)在区间(a向内有零点，即存在cc(a,b),使得f(c)

=0,这个c也就是方程f(x)=0的根

(3)若函数1y=/(x)在区间(a,8)上有y(a)._/(8)>0,若能找到一个自变量cC(a,b)>

且<0^/(c)/(Z>)<0.则函数1y=_/(x)在区间(a,5)上有零点.

(4)函数v=/(x)的零点就是_/。)=0的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转

化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.

(5)函数的零点就是函数y=/(x)的图象与％轴有交点的横坐标，所以往往利用导数结合极

值和单调性画出函数大致图像，并结合零点存在定理判断零点所在的区间.

7.导数的几何意义

(1)函数y=/(x)在点事处的导数就是曲线y=/(x)在点P(Xo，/(x。))处的切线的斜率，

则左=f(x°)

(2)函数y=/(x)在点尸(玉)J(x。))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).

(3)在关于函数图象的切线问题中，如果涉及确定参数值的问题，首先设切点，然后注意

三个条件的使用，其一切点在切线上，其二切点在曲线上，其三切线斜率Z=/(Xo)・

8.导数与单调性的关系

(1)若函数在某个区间D可导，f'(x)>0Df(x)在区间D内单调递增；f'(x)<ODf(x)

在区间D内单调递减.

(2)若函数在某个区间D可导，f(x)在区间D内单调递增D/(x)>0；f(x)在区间D内

单调递减D/(x)<0.

(3)若求单调区间，只需在函数y=/(x)的定义域内解不等式f(x)>0或f(x)<0,或者

可以画导函数/'(X)的图像，通过判断了(x)的符号确定单调区间(尤其对于含参数的函数

单调性问题可以简化解题过程).

(4)若已知单调性确定参数的范围，一种方法是结合基本函数图像或熟悉的函数的图象求

解；另一种方法是转化为了(幻20或/'(幻〈0恒成立.

9.导数和函数极值、最值的关系

(1)求极值的步骤：

①先求/'(幻=0的根不(定义域内的或者定义域端点的根舍去)；

②分析/两侧导数/(尤)的符号：若左侧导数负右侧导数正，则%为极小值点；若左

侧导数正右侧导数负，则小为极大值点.

(2)对于可导函数，导数为。是点为极值点的必要而不充分条件.

(3)设函数y=/(x)在［(2,句上连续，在(a,3)内可导，则丁=_/(x)在［a,句上必有最大值和最

小值且在极值点或端点取得，所以只需比较极值点和端点函数值即得到函数的最值

(4)求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点,

而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值，大前提是要

考虑函数的定义域.

二.高频考点突破

考点1函数及其表示

【例1】【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试(文)】已知函数

〃、log2(l-%)+l,x<l

/(幻=〈_2，右/(。)=3，则“=___________•

X,X>1

【分析】知道函数值求自变量，需确定分段函数的解析式，故分段讨论.

【解析】令log?(l)+1=3,得a=一3,令以"=3,得以(舍去)，所以《=-3.

[例2][2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)文科】函数八为二lg("+D的

x-1

定义域是()

A.(—1,+8)B.[—1,4-oo)C.(—1,1)(1,4-00)D.[—1,1)(1,+oo)

【分析】求使得函数每部分都有意义的自变壁的取值范围.

【解析座使函数有意义，则｛；【；；)〉闻"函数的定义域为(TDUQ3

【例3】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科】

2X3,X<0,/ZX\

已知函数仆)="羽0"二财"卜------------.

I2

【分析】知道自变量求函数值，需考虑代入分段函数的哪个解析式.

[解析]/(^)=-tan^=-l,/(-l)=2EX-l)3=-2

【规律方法】1、若已知解析式求函数定义域，只需列出使解析式有意义的不等式(组)

即可.

2、对于复合函数求定义域问题，若已知/(x)的定义域句，则复合函数/(g(x))的定

义域由不等式a«g(x)<人得到.

3、对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件

准确找出利用哪一段求解.

【举一反三X浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】已知/*)=1,2*”>0，

"(x+1),x<0.

则/(-§的值等于

4

t答案】

3

【解析】由题意知/=2x-=-

33

考

点2函数的图象

3\(%<1),

【例1】【山西省山大附中2014届高三9月月考数学文】已知函数f(x)=]0g%(x>l),则

,3

y=f(l-X)的大致图象是()

【分析】先求的解析式，再考虑其图象，或者直接根据丁=/(X)的图象和

了=7(1-X)的关系得到，在分析过程里，尤其要注意函数性质的运用.

(3,(x<l),

【解析】因为，/(X)=jlogjx(X>1)，所以，

付，(r>0),&)T,(r>0),

"/(一)加OF6<叫。%g],=0)故选c・

[例2][2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)】函数y=xcosx+sinx的图象

大致为

【分析】识图时应从函数性质方面(定义域、值城、单调性、奇偶性、周期性)，函数的极

直或者特殊点考虑.

1解析】函数y=xcosx+sinx在x=7F时为负，排除A：由奇函数的性质可排除3,再比

交CQ,不难发现在x取接近于0的正值时y>0,排除C.

【例3】【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题(文科)】方程

(%—2•一女=0W三个不相等的实根，则k的取值范围是()

A.(—L。)B.(。/)C.(—l,4~oo)D.(—8,1)

【分析】转化为研究y=（X-2）|x|和y=发有三个不同交点问题.

【解析】/（x）=X~2x，z~0，g（x）=h在直角坐标系内做图象

"+2x,x<0

【规律方法】1.正确的作图必须做到：①熟练掌握常见的一次函数、二次函数、反比例函数、

指数函数、对数函数、黑函数及形如y=ax+2（a>0/>0）的函数图象；②掌握图象变换的

x

方法来简化作图过程.

2.正确的识图是解题的关键，在观察和分析图象时，要注意图象的分布和变化趋势，要结合

函数的性质，或者特殊点，以及函数值的正负来判断.

【举一反三】

【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考（文）】函数y=巴士的图像大

【分析】识图时应从函数性质方面（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性），函数的极

值或者特殊点考虑.

【解析】函数1y=比定义域为（0,地），令y=0,得x=l,所以函数歹=叱只有一个零

XX

点.当0<x<l时，lnx<0,所以当五>1时，Inx>0,所以y=^^>0.

xx

结合图中四个选项，可知选A.

考点3函数的性质

[例1]【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学(文)】已知函数

—%—3a,x<0

f(x)=\,(。〉0且是R上的减函数，则。的取值范围是()

ax-2,x>0

21

A.(o,y]B.(0,-1C.(0,1)D.(0,2]

【分析】只需函数在(-00,0)和[0,也)分别递激，并且比较每段在X=0时函数值的大小.

0<a<11

【解析】由/(x)是(-8,也)上的减函数，可得，化简得03

./(0)=a-2，-343

【例2】【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学文】已知函数/(x)是定义在

(-oo,+o。)上的奇函数，若对于任意的实数xNO,都有/(x+2)=/(x),且当xe[0,2)时，

/(x)=log2(x+l),则/(一201D+/(201?的值为()

A.-1B.-2C.2D.1

【答案】由已知得函数是周期为2的周期函数，然后利用周期性将自变量变回[0,21内，代

入解析式中求值.

【解析】由已知/(x)为我上奇函数且周期为二对于任意的实数x20,都有

〃x+2)=/(x),

/(-2011)+/(2012)=-/(2011)+/(2012)=-/(2xlOOi+l)+/(2xl006+0)=-f(1)+/(0)

=­log?2+log21=—1.

【例3】【江西省2014届高三新课程适应性考试文科数学】函数/(X)的定义域为

{xe»1],对定义域中任意的X,都有/(2-x)=f(x),且当x<l时，f(x)-2x2-x,

那么当x>l时，/(x)的递减区间是()

5577

A.匕,+8)B.(1,-JC.[-,+«))D.(1,-)

4444

【分析】根据图像关于X=1对称，故在关于直线对称的区间内单调性相反，故只需求X<1

时的递减区间即可.

【解析】由y（2-x）=/（x）,得函数图像关于直线x=l对称，当X<1时，递减区间是

（-00.1],由对称性得，选C.

4

【规律方法】重视对函数概念和基本性质的理解，包括定义域、值域（最值）、对应法则、对

称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、图像变换、基本初等函数（载体），研究函数的性质

要注意分析函数解析式的特征，同时要注意图象（形）的作用，善于从形的角度研究函数的

性质.

【举一反三】

1

—X+X<一,

【吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班摸底测试文】设函数/（x）=<

log2x,x>-

的最小值为-1,则实数。的取值范围是（）

A.[—g,+0°）B.（―g,+8）C.（一°0,-g）D.[—l,+oo）

【分析】分段函数是一个函数，逐段研究其最小值，再取其中的最小值.

【解析】由题意，当xN；时，函数」（x）有最小值为了（卞=log2（g）=T，则当时；

f（―）----Fa之一1,即—.

222考

点4指数函数、对数函数、基函数

【例1】.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学文】

a=log0_22,b=bgo.23,c=2°2,d=0.22,则这四个数的大小关系是（）

A.a<b<c<dB.d<c<a<bC.b<a<c<dD.b<a<d<c

【分析】指数值和对数值比较大小，尽可能地出现同底，以便利用单调性比较大小，如果底

数不同，可考虑找中间数.

【解析】•;,=log,1>是（0,+8）上的减函数，[5<a<0，又

c=2°3>2°=1,0<d=0.22<1,b<a<d<c.

[例2][2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】己知函数

f(x)=ax2+bx+c,若/(0)=/(4)>/(I),则()

A^a>0,4〃+b=0B、。<0,4。+6=0

C、。>0,2。+人=0D、a<0,2a^b=0

【分析】由〃0)HF(4)知，对称轴为x=2,得关系式，又根据/(4)>/(1)及与对称

轴距福的远近，可判断开口向上

【解析】此题利用二次量嫡像即可求解，体现数形结合思想的应用.

如图3所示由/(o)=/(4)知，函数的对称轴是工=__L=2-b+4a=01由

2a

/(0)>fQ)知函数在对称轴的左边通遍，所以开口向上.所以选A.

|log3x|,0<x<3

/W=il210

-x-----x+8,x23

【例3】【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】已知函数133

若存在实数a、b、c、d,满足/'(a)=/伍)"(c)=/("),其中d>c>b>a>0,

则abed的取值范围是.

【分析】在坐标系中作出1y=/(x)的图象，从图中找到a,瓦c,d的关系，进而求aBed的取

值范围.

t解析】如下图所示，由图形易知0<a<l,1<3<3,则/⑷=|log3al=Tog30，

/彻=|1%3可

=log3b,,//1(2।=/16i.-log3a=log3Z>,：,ab=\,令g，-£x+8=0,即

x2-10x4-24=0,

知，3<c<59

d>5,点icJic।和点।dJid”均在二次函数y=；+8的图象上，故有

c+d.

------=□,

d=10-c,由于/I3I=；X3‘-£X3+8=1,当1VxV3时,/ixi=|log3x|=log3x>

0<log3x<19vl<Z><3>0</(6)<Lv/(A)=f(c)90</1ci<1,由于

函数/ixi在13,5i上单调递诚，且，I3I=1,/I4I=0,3<c<4,

..abed=Ixcd=cd10-ci=-c+10c

二一i匕一5/+25,u:3<c<4..21<-ic-5i24-25<24,BP21<abcd<24.

【规律方法】1、对数函数的定义域为{x|x>0},指数函数的值域{y|y〉O}.

2、熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性

质，当底数的范围不确定时要分类讨论.

3.注意利用指数函数、对数函数、幕函数的图像灵活运用数形结合思想解题.

【举一反三】

【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】函数/(x)=4,的图象与

x-4x+3,尤〉1

函数g(x)=In(x-1)的图象的公共点个数是个

【答案】2.

2x-2,x<1

【解析】做出函数册xi+3,m和山)5E的图象如图,显然有2个

公共点.以

考

点5函数的零点

【例1】【江西省2014届高三新课程适应性考试文科数学】已知函数,=/(X)是周期为2的

周期函数，且当xe[—1,1]时，,f(x)=2因一1,则函数/(x)=/(x)-|lgx的零点个数是

()

A.9B.10C.11D.12

【分析】利用周期性画出y=/(x)的图象，观察其与y=|lg图象交点的个数即可.

【解析】尸(X)=/(x)-|lgx|的库点个数即函数1y=_/(x)与函数1y=|lgx|图像交点的个

数.

2

【例2】【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试(文)】函数/(x)=2、-'”的

一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是.

【分析】考虑到函数7=/(x)在区间11,2.述噌，则/①<0且/(2)>0,列不等式求a的

取值范围.

【解析】由于—函数/x=2*-W2-口在il,2i上单—调递增，且函数人力=2"-£2—a的一

xx

个零点在区间11,21内，则有1yli।=-a<0且/121=3—a>0,解得0<a<3.

【例3】【吉林省臼山市第一中学2014届高三8月摸底考试文】已知定义在公上的偶函数f(x)

满足：VxG"恒有/,(A+2)=ra)-/'(l).且当xG[2,3]时，/'(X)=-2(X—3)2.若函数尸/U)

一log”(广1)在(0,+8)上至少有三个零点，则实数a的取值范围为()

A.(0,空)B.(0,坐)C.(1,V2)D.(1,百)

【分析】由已知判断函数丁=/(x)是周期为二的周期函数，再结合对称性画出y=/(x)函

数图象，并画出y=logjx+h的图象，观察两个函数图象，求其有至少三个不同交点时a

的取值范围.

【解析】令L3,则见1曰-3)：月1)：因为/(X)是偶函数，所以F⑴=0,即贝x-2)啖0,

故函数.心)是以2为周期的周期性函数，做出函数.f(x)的图象，如图12题所示，要使

_f0<£?<1

尸Rx)-10gl(x-1)在(0,-x)上至少有二个零点，则<»解得Ose——.

[log/2+l)>-23

【规律方法】1、确定函数/(幻的零点所在的区间：第一种方法是解方程/(x)=0的根：第

二种方法是如果方程容易解出，可转化为两个函数交点横坐标问题，通过检验交点左侧和右

侧函数值的大小关系，进而得出两点所在的区间；第三种方法是利用零点存在定理.

2.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合

导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.

3、方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处

理.

【举一反三】

【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】设函数/(x)=《一\函数

log2x(x>0)

y=的零点个数为

【答案】2

XX<1

【解析】/[/«]=<一，令A,得x=l或x=4故函数

log2(log2x)X>1/[/«]=1

的零点个数为2个.

J=/[/(x)]-l

考点6函数模型及其应用

【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文】

甲厂以X千米/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求14x410),每小时可获得的利

润是100(5%+1-』)元.

X

13

(1)求证：生产。千克该产品所获得的利润为1004(5+——7);

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求

此最大利润.

【解析】(1)根据题意，200(5X+1-3)A3000=5X-14-3N0

XX

Xl<x<10,可解得3XxX10

(2)设利润为yjt，SliJ=—100(5x+1--)=9x104[-3(---)2+—]

xxx612

故x=6时，为耽=457500元.

[例2]【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整

个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度U(单位：千米/小时)是车流密度X(单

位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0

千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当

204xW200时，车流速度u是车流密度尤的一次函数.

(I)当0WXW200时，求函数v(x)的表达式；

(II)当车流密度尤为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/

小时）/（X）=X"（X）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）

【解析】（I）由题意：当0WxS20时，v'xi=60；当20VxW200时，设丫次|=ax+S,

1

a=——

200a+8=0./e_cM，故函数

显然”xi=ax+3在［20,200］是减函数，由已知得<>解得<

20a+3=60,200

b=---

3

60,(0<x<20)

Mx।的表达式为*Xi=<；•200-x।(20<x<200.)

60x(0<x<20)

（H）依题意并由3）可得人*1=<1，当04x420时，力£

^xi200-xi(20<x<200.)

为增函数，故当x=20时，其最大值为60x20=1200；当20WxV200时,

/•：xi=lxi200-xi<-［-+'200"x'1=12222,当且仅当X=2OO-X,即x=100时,

3312」3

等号成立.所以，当x=100时，人力在区间［20,200］上取得最大值丝号.

综上，当“=100时，/犷在区间［0,200］上取得最大值用四合3333,

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.

【规律方法】解与函数有关的应用题一般程序为：审题D建模D求解D反馈,

审题就是理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相

应的数学问题；关键一步是设定变量，寻找其内在的等量关系或者不等关系，然后准确建立

相关的函数解析式（标明定义域），再应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解

决.

【举一反三】

【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】有两个投资项目A、B,根据市场调查与

预测，4项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，8项目的利润与投资的算术平方根成正比,

其关系如图乙.（注：利润与投资单位：万元）

(1)分别将4、8两个投资项目的利润表示为投资*(万元)的函数关系式；

(2)现将x(04x<10)万元投资4项目，10-x万元投资8项目.力(x)表示投资4项目所得利

润与投资8项目所得利润之和.求A(x)的最大值,并指出x为何值时，力(x)取得最大值.

【解析】(1)投资为x万元，A项目的利润为y(x)万元，3项目的利润为g(x)万元.

由题设/0)=幻r,g(x)=k2Jx,由图知/(I)=1故&=)

44

又g(4)=g所以治=1"

从而/(x)=1x(xA0),g(x)=-74(x>0)

44

(2)/(x)=/(x)+g(10-x)=lx+-V10-x(0<x<10)