2020新人教A版高中数学必修第二册同步练习

》应用案，@©®@

强化•培优•通关.

IA基础达标J

1.已知力BC。中ND48=30°,则Q)与心的夹角为()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析：选D.如图，元）与心的夹角为N4BC=150°.

AB

2.己知单位向量a,b,则（2a+沙（2a—»的值为（）

A邛B邛

C.3D.5

解析：选C.由题意得（2。+办（2。一仍=4序一"=4-1=3.

3.（2019•北京市H--中学检测）已知平面向量a,b满足a-（a+b）=3且同=2,|例=1,则

向量a与b的夹角为（）

JIJI

A.L6B.T3

2n5

C.亍D—

解析：选C.因为“•(〃+6)=层+〃.方=4+2cos〈%b〉=3,所以cos〈a,b)=一1,又

因为〈。，b>e[0,n],所以〈a,b)=孚.

4.若向量。与〃的夹角为60°,回=4,(a+2b>(a—3。)=—72,则⑷=()

A.2B.4

C.6D.12

解析：选C.因为(a+2b)•(a—3b)=a1—ab—6b2

=|a|2—|a|-|ft|cos60°—6|6|2

=|a|2-2|a|-96=-72.

所以|aF—21al—24=0.

解得⑷=6或⑷=一4(舍去).故选C.

5.(2019♦广东佛山质检)如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且48=1,则

AB・波等于（）

A

120°

B

A.一坐B,坐

C.-|D.|

解析:选C.因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB=1,所以8。=小，所以油诙

3

=1X-73Xcos150°=-].

6.若向量〃的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且⑷=步|=1,则(一

3砂(0+5)=.

解析：设。与方的夹角为a则9=120°,所以(一3。＞(q+〃)=一3|0|2—306=-3一

13

3XX⑵O=-

XIcoS2-2

3

答案-

2

JTr-、

7.已知向量。与〃的夹角是w，且|a|=l,|例=2,若(小则实数2=.

解析:根据题意得。♦力=|4|,|)|cos_y=1,因为(小。+2b)_La,所以(小〃+劝)•4=小居+%.5

=小+2=0,所以2=一小.

答案：一小

8.已知在△ABC中，AB=AC=4,初•启=8,则△ABC的形状是.

解析：因为赢•元=|痼就IcosNBAC,即8=4X4cosN84C,于是cosN84c4所以

NA4C=60°.又AB=AC,故△ABC是等边三角形.

答案：等边三角形

9.已知非零向量a,b,满足|a|=l,(a—b).(a+b)=,且〃.力=；.

(1)求向量a,b的夹角；

(2)求|0一例.

解：⑴因为(〃一b).(a+))=；,

所以/一62=/即⑷2—创2=今

又⑷=1,所以协|=号.设向量。，》的夹角为仇

因为0b所以⑷.|b|cos8=)

历

所以cos0=29因为。°W8W180。,所以9=45°,所以向量。，〜的夹角为45°.

(2)因为|a—肝=(4一》)2=|32—2。》+|肝=3，

历

所以|a—臼=2-

10.已知⑷=2|b|=2,e是与方方向相同的单位向量，且向量。在向量b方向上的投影向

量为一e.

⑴求。与b的夹角e；

(2)求(a—2b)6；

(3)当2为何值时，向量曲+力与向量a—3力互相垂直？

解：(1)由题意知⑷=2,|〃|=1.

又a在方方向上的投影向量为|a|cos0e=-e,

12n

所以cos0=-所以

(2)易知a-b=\a\-\b\cos8=-1,则(a—2b)b=ab—2b2=—1-2=-3.

(3)因为〃+力与a—3b互相垂直，

所以(2。+8)(。一3〃)=//—3筋6+。〃一3〃2

=4/1+3/1-1-3=72-4=0,

4

所以

[B能力提升]

11.在△A3C中，若油2=荏•启+函•辰:+以•无，则△4861是()

A.等边三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.直角三角形

解析：选D.因为赢"AC+BA-BC+CA-CB,所以初2一泰-AC=BA-BC+CA-CB,

所以矗•(AB-AO=BC•(BA-CA),

所以B•CB=BC2,所以胫•(iC+Afi)=0,

所以反'•&?=(),

所以ACJ_8C,所以△4BC是直角三角形.

12.若|a+臼=|a一例=2同，则向量@一b与6的夹角为()

JI兀

ATBT

2冗5n

C.亍D—

解析:选D.由|a+回=＞一例可得a"=0,由|a一回=2间可彳导3a2=%所以回=小间，设

（。一））b一|））3⑷2V3

向量a—b与。的夹角为。，则cos0\a-b\\b\一2同•小⑷―一2小同2一一2,又问0,

5n

n］,所以。

13.在△A8C中，ZBAC=120°,AB=2,AC=1,。是边BC上一点，皮=2册，则Q)•反'

解析：由庆'=2而，所以访=£亥?，BC=AC-AB,

故病•BC=(AB+B1))BC

=[AB+|-(AC-AB)]•[AC-AB)

=(|初+同•(AC-AB)

=1AB,AC+|AC2—

=||AB||AC|COS120°+||AC|2-||AB|2=|X2X1X(~£)+|x1-|x22=-|.

答案：一g

14.设向量e”也满足回|=2,|e2|=l,ei,e2的夹角为60°,若向量2®+7e2与向量肉

的夹角为钝角，求实数，的取值范围.

解：由向量2®+7e2与。］+海2的夹角为钝角，

八，（2fei+7e2）•（ei+le?）

心|2/ei+7e2|•|。1+［阂＜'

即（2阳+702＞（61+小2）＜0,

化简即得2P+15/+7＜0,

画出y=23+15f+7的图象，如图.

若2尸+5+7＜0,

则y（一7,一，.

当夹角为“时，也有（2®+7e2＞（ei+fe2）＜0,

但此时夹角不是钝角，

设2®+7e2=2(ej+re2),4<0,可得

2/=人，A=—\/14,

7=》，=<_V14

A<0lt=~2-

所以所求实数t的取值范围是

口-咽4乎T)

[C拓展探究]

15.在四边形4BCD中，已知4B=9,BC=6,CP^lPD.

(1)若四边形ABCD是矩形，求乔•崩的值；

(2)若四边形ABC。是平行四边形，且崩•而=6,求赢与俞夹角的余弦值.

解：(1)因为