苏教版高中数学必修3高考热点：概率与统计

高考热点：概率与统计

1.[2011.新课标全国文，19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标

值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两

种新配方(分别称为4分配方和5分配方)做试验，各生产了100件这种产品，

并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分

[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

组

频数82042228

3配方的频数分布表

指标值分

[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

组

频数412423210

(I)分别估计用A配方，3配方生产的产品的优质品率；

(II)已知用5配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值f的关

系式为

-2,/<94

y=2,94<r<102,估计用8配方生产的一件产品的利润大于。的概率，并求

4,/>102

用8配方生产的上述100件产品平均一件的利润..

【解析】iIi由试验结果知，用a配方生产的产品中优质品的频率为史上=0.3,所以用a

100

配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用5配方生产的产品中优质品

的频率为二上=0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.

100

(II)由条件知，用3配方生产的一件产品的利润大于。当且仅当质量指标值，294,由实

嗡结果知r>94,质量指标值的频率为0.96.所以用B配方生产的一件产品的利润大于0

的概率估计值为0.96.

用B配方生产的产品平均一件的利润为，-x[4x(-2)+54x2+42x4]=2.68

(元).

2.[2012.新课标全国文】（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格

出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量〃

（单位：枝，〃cN）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量n14151617181920

频数10201616151310

（i）假设花店在这100内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：

元）的平均数；

（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求

量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。

解析：（1）当日需求量片217时，利润j=85,当日需求量〃<17时，利润J=10,7-85

_10〃-85/?<17

所以y关于n的函数解析式为j（心二）

=185,«>17

（2）（I）这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为

75元，54天的日利润为85元，

所以这100天的日利润的平均数为^（55x10+65x20+75x16+85x54）=76.4

（II）利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率

为尸=0.16+0.16+0.15+0」3+0j=0.7

考点定位：本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法.求分段函数的解析式和平均利润，

以及概率.

【命题意图猜想】

1.纵观2011年和2010年的高考题对本热点的考查，可以发现概率和统计、统计

案例相结合是高考命题的热点，2011年概率和频数分布相结合，2010年考查了

独立性检验和抽样方法，而理科单纯的考查离散型随机事件的概率和期望在减

弱，文科单纯考查概率的计算也在减弱，这也体现了高考对新课标的新增内容的

要求，试题难度不大，但是要求同学们对相关的基础知识掌握必须准确.在2012

年高考中，结合实际问题将函数和概率问题巧妙结合在一起，新颖别致，但是题

目难度不大，这也体现了“新题不难”的命题特点.

2.从近几年的高考试题来看，分层抽样是高考的热点，题型既有选择题也有填空

题，分值占5分左右，属容易题.命题时多以现实生活为背景，主要考查基本概

念及简单计算.预测高考分层抽样仍是考查的重点，同时应加强对系统抽样的复

习.

3.从近几年的广东高考试题来看，频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差是高

考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题考查知识点较单一，

解答题考查得较为全面，常常和概率、平均数等知识结合在一起，考查学生应用

知识解决问题的能力.预测2013年高考，频率分布直方图、茎叶图、平均数、

方差仍然是考查的热点，同时应注意和概率、平均数等知识的结合.

4.从近几年的高考试题来看，高考对此部分内容考查有加强趋势，主要是以考查

独立性检验、回归分析为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的

统计思想，在高考中多为选择、填空题，也有解答题出现.预测高考，散点图与

相关关系仍是考查的重点，同时应注意线性回归方程、独立性检验在实际生活中

的应用.

【最新考纲解读】

1.随机抽样

(1)理解随机抽样的必要性和重要性.

(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.

2.总体估计

(1)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线

图、茎叶图，理解它们各自的特点.

(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.

(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释.

(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基

本数字特征；理解用样本估计总体的思想.

(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

3.变量的相关性

(1)会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.

(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归

方程.

【回归课本整合】

1.简单随机抽样

简单随机抽样是不放回抽样，被抽取样本的个体数有限，从总体中逐个地进行抽

取，使抽样便于在实践中操作.每次抽样时，每个个体等可能地被抽到，保证了

抽样的公平性.实施方法主要有抽签法和随机数法.

2.系统抽样

(1)定义：当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预

先制定的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做

系统抽样，也称作等距抽样.

(2)系统抽样的步骤：

①编号.采用随机的方式将总体中的个体编号.

②分段.先确定分段的间隔k当*N为总体中的个体数，n为样本容量)是整数时,

k=*当:不是整数时，通过从总体中随机剔除一些个体使剩下的总体中个体总

数M能被〃整除，这时％.③确定起始个体编号.在第1段用简单随机抽样确

定起始的个体编号S.

④按照事先确定的规则抽取样本.通常是将S加上间隔鼠得到第2个个体编号

S+k,再将(S+A)加上匕得到第3个个体编号S+2Z,这样继续下去，获得容量

为〃的样本.其样本编号依次是：S,S+k,S+2k,S+(n-l)k.

3.分层抽样

(1)定义：当总体由有明显差别的几部分组成时，按某种特征在抽样时将总体中

的各个个体分成互不交叉的层，然后按照各层在总体中所占的比例，从各层独立

地抽取一定数量的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫做分层抽样.

分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差

异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取.分层抽

样要求对总体的内容有一定的了解，明确分层的界限和数目，分层要恰当.

(2)分层抽样的步骤

①分层；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样(方法可以不同)；④汇

合成样本.

(3)分层抽样的优点

分层抽样充分利用了己知信息，充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致

性.使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同

的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着非常广泛的应用.

4.绘制频率分布直方图

把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等

于该组的频病率,这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组上的频率.这

些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，纵轴表示“频率/组距”，

数据落在各小组内的频率用小矩形的面积表示，各小矩形的面积总和等于1.

5.茎叶图

统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图.茎是指中间的一列数，叶是从

茎的旁边生长出来的数.在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎叶图

表示数据的效果较好，它较好的保留了原始数据信息，方便记录与表示，但当样

本数据较多时，茎叶图就不太方便.

6.平均数、中位数和众数

(1)平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数.

(2)中位数：如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，

处在最中间的一个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间两个

数的平均数，是这组数据的中位数.

(3)众数：出现次数最多的数(若有两个或几个数据出现得最多，且出现的次数一

样，这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多,

则认为这组数据没有众数).

(4)在频率分布直方图中，最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的

众数.而在频率分布直方图上的中位数左右两侧的直方图面积应该相等，因而可

以估计其近似值.平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以

小矩形底边中点的横坐标之和.

7.方差、标准差

(1)设样本数据为X”X2,…，X”样本平均数为1,则S2=%(汨一］)2+(无2—三)2

_1一

22

+...+(X"—X)2］+A：2+...+JCn2)—nX2］叫做这组数据的方差，用来衡量

这组数据的波动大小，一组数据方差越大，说明这组数据波动越大.把样本方差

的算术平方根叫做这组数据的样本标准差.

(2)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，其中极差反映了一组

数据变化的最大幅度.方差则反映一组数据围绕平均数波动的大小.

8.两个变量的线性相关

⑴散点图

将样本中〃个数据点(xi，yi)(i=l,2,〃)描在平面直角坐标系中，表示具有相

关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.利用散点图可以判断变量之间

有无相关关系.

⑵正相关、负相关

如果散点图中各点散布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小

变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关.

反之，如果两个变量的散点图中点散布的位置是从左上角到右下角的区域，即一

个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关.

9.回归分析

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：①

画散点图，②求回归直线方程，③用回归直线方程作预报.

(1)回归直线：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一

条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直

线.

(2)回归直线方程的求法——最小二乘法.

设具有线性相关关系的两个变量x、y的一组观察值为(r,y)(i=l,2,…，〃)，则

回归直线方程£=?+源的系数为：

n-----n

ZxiYL"xyZ(x-~x)(y—'y)

f=l/=!

6==

%，一"X?£(X,—T)2

i=li=l

aA=——y-bAx—

_1n_1n__

其中y=晶£加(光，y)称作样本点的中心.

2分表示由观察值用最小二乘法求得的。，。的估计值，叫回归系数.

【方法技巧提炼】

1.三种抽样方法的比较

类别共同点各自特点相互联系适用范围

简单随机从总体中逐个抽总体中的个

抽样取体数较少

将总体均匀分成在起始部分

几部分，按事先抽样时采用总体中的个

系统抽样抽样过程中每

确定的规则在各简单随机抽体数较多

个个体被抽取

部分抽取样

的机会均等

各层抽样时

将总体分成几总体由差异

采用简单随

分层抽样层，分层进行抽明显的几部

机抽样或系

取分组成

统抽样

2.样本频率直方图与样本的数字特征

在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积

乘以小矩形底边中点的横坐标之和；中位数的估计值，应使中位数左右两边的直

方图面积相等；最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数.

3.方差是刻画一组数据离散程度的量，方差越大，这组数据波动越大，越分散.讨

论产品质量、售价高低、技术高低、产量高低、成绩高低、寿命长短等等问题，

一般都是通过方差来体现.

5.判断两变量是否有相关关系很容易将相关关系与函数关系混淆.相关关系是一

种非确定性关系，即是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系是一种因

果关系。

6.求回归方程，关键在于正确求出系数a,b,由于a,b的计算量大，计算时

应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误.（注意回归直线方程中一次项

系数为b,常数项为a,这与一次函数的习惯表示不同）

7.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：（1）确定特定量之

间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；（2）根据一组观

察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；（3）求出回归直线方程.

【考场经验分享】

1.进行分层抽样时应注意以下几点：

（1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本

的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；

（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性应相同；

（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.

2.在作茎叶图时，容易出现茎两边的数字不是从小到大的顺序排列，从而导致结

论分析错误，在使用茎叶图整理数据时，要注意：一是数据不能遗漏，二是数据

最好按从小到大顺序排列，对三组以上的数据，也可使用茎叶图，但没有表示两

组记录那么直观、清晰.

3.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图

大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程

毫无意义.

4.根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值.

5.概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有

三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄

清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概

率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的.

6.相当一类概率应用题都是比如掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背

景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模

型，这就要根据涧题的具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题

本质的因素去除，抓住问题的本质.

【新题预测演练】

1.【2013年山东省日照高三一模模拟考试】（本小题满分12分）

海曲市教育系统为了贯彻党的教育方针，促进学生全面发展，积极组织开展了丰

富多样的社团活动，根据调查，某中学在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、

“剪纸”、“曲艺”三个社团，三个社团参加的人数如表所示：

为调查社团开展情况，学校社团管理部社团泥塑剪纸曲艺

采用分层抽样的方法从中抽取一个容量

人数320240200

为n的样本，已知从“剪纸”社团抽取的

同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人.

（I）求三个社团分别抽取了多少同学；

（II）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，己知

“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的

概率.

）解：（I）设抽样比为x,则由分层抽样可知，“泥塑”、“剪纸”、“曲艺”三个社

团抽取的人数分别为320x,240x,200x.

则由题意得320x-240x=2,解得x=—.

40

故•泥塑“、,剪纸”、，曲艺”三个社团抽取的人数分别为

320x—=8>240x=6,200x—=5.....................4分

404040

（H）由（I）知，从“剪纸”社团抽取的同学为6人，其中2位女生记为A,B,4位男

生记为C,D,E,F.

则从这6位同学中任选2人，不同的结果有

{A,B}>{A,C）,{A,D},{A,E}>[A,F},

{B,C}>D},{B,E},{B,F},

{C.D},{C.E},{C,F},

Q,E},Q,F},

{E，F}，

共15种........7分

其中含有1名女生的选法为

{A,C}»{A,D},{A,E）,{A,F}.

{B>C}.{B,D},{B.E）,{B.F},

"H~g；

A有2与女生的选法只有闷B}1种........10分

故至少有1名女同学被选中的概率为3=2=].....................12分

15155

2.【山东省潍坊市2013届高三3月第一次模拟考试】（本小题满分12分）

为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三

个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长

委员会分别有54人、18人、36人.

⑴求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；

（H）若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比，求这2人中至少有一

解：（I）家长委员会人员总数为54+19+36=108.峰本容量舄总体中的个体数的比为旦=上，

10818

故从三个年级的家长委员会中分别抽取的人数为3,1,2乂..........................

4分

（U）设为从高一抽得的3个家长，二人从高二抽得的1个家长，c”c：为从

高三抽得的2个家长....................................................5分

则抽取的全部结果有：（4，4）（4⑷，（44），（4G），（4G），

（4，耳）,（46），（&G），（Qi）,（/©）,（4£）,（5,cj,（4C）,（eg）

共15种，

人是高三学生家长的慨率.

…8分

令丫="至少有一人是高三学生家长”，结果有（/「），（4c），（（4c），

（4G、（4C），（玛,cj,；（「」.；共9种................io分

所以这2人中至少有1人是高三学经•5概率是PC・尸摄=±..............12分

135

3.【唐山市2012—2013学年度高三年级第一次模拟考试】

某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调杏上、下班乘车所用时间，

得下表.所用时间（分钟）|[0,20）|[20,40）|[40,60）|[60,80）|[80,100）|

|人数I—25|―50-~~T

公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y（元）与乘市

时间t（分钟）的关系是y=200+40f工],其中[工]表示不超过[工]的最大整数.

202020

以样本频率为概率：

（I）求公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率；

（H）估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元）.

解:

（I）当0WfV60时，y£300.

记事件“公司1人每月用于险途补贴不超过兀”为A.-2分

贝IJp（4）=二+$+立=09.…6分

（II）依题意，公司一名巴工每月的平匕3途补贴为

_200X25+240X50+280X”/人5+360X「，一、八

--------------------------------------------------------=246（兀）…10分

x=1UV

该公司每月用于路途补贴的现用总额约为246X8000=1968000（元）.—12分

4【2013年石家庄韦高中正山班复习教季比星检现、二浦

某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试,

随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分

布直方图.

（I）估计全市学生综合素质成绩的平均值；

（II）若综合素质成绩排名前5名中，其中1人为某校的学

生会主席，从这5人中推荐3人参加自主招生考试，试求

这3人中含该学生会主席的概率。

（I）

依题意可知：

55x0.12+65x0.18+75x0.40+85x0.22+95x0.08,

=74.6.................3分

所以综合素质成绩的的平均值为74.6....................6分

（H）设这5名同学分别为a,匕-d,e,其中设某校的学生会主席为a

从5人中选出3人，所有的可能的结果为

(a,6,c),(atb,b,e),(a,c,d),{a,c,e>,,e),Qc0.(6ce),(b&e),(ud㈤共10

种，..........9分

其中含有学生会主席的有（aac%（a也d）.•、〃也e）,（a.j吟,（ac）（d：e）6种

e,a;

含学生会主席的概率为@=2..............12分

105

5.【2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）3月】

沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙

糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量

（单位:kg）,获得的所有数据按照区间（40,45],（45,50],（50,55],（55,60]进

行分组，得到频率分布直方图如图3.已知样本中产量在区间（45,50]上的果树株

数是产量在区间（50,60]上的果树株数的3倍.

（1）求a,b的值；

（2）从样本中产量在区间（50,60］上的果树随

机抽取两株，求产量在区间（55,60］上的果树至

少有一株被抽中的概率.

（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力

和应用意识，以及或然与必然的数学思想）

（1）解:样本中产量在区间（45,50］上的果树有ax5x20=100a（株），........1分

样本中产量在区间［50,60］上的果树有16-0.02|x5x20=100（b-0.02|（株）,

.........2分

依题意，有100a=xlOOih+0.021,即a=^|d+0.02j.①.......3分

33

根据频率分布直方图可知02+卜「0.06,a）x5=1,②.......4分

解①②得：a=0.08,b=S.04..........6分

（2）解：样本中产量在区间（50,51；上的舆％有0.3八5x20=4株，分别记为

4,4,义，4,...........7分

产量在区间（55,60］上的果树；..02x5x20-2株，分别记为尾，层.…8分

从这6株果树中随机抽取力保共有1「•:T情况：|（44）

（44）,（4,■）,（&g卜（4,勺卜（4,4/‘（&3：）,（&4

（&-），（4,B）,&5,）,（03J.......io分

其中产量在（55,60］上的果树至少有一株共有9种情况：（4%，（与与），

B

（4,%,（4,纤）,（&4），（4,2），（4,4），（4,-1（4—）♦......11分

记“从样本中产量在区间（50,60］上的果树随机抽取两株，产量在区间（55,60］上的

果树至少有一株被抽中”为事件Jf,则尸口，）=19=；3..........12分

6.【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考］（本题满分13分）

某市有M,MS三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36,24,12,现

采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习活动现状”的调

查.

(I)求应从这三所高校中分别抽取的“干事”人数;

(II)若从抽取的6名干事中随机再选2名，求选出的2名干事来自同一所高校

的概率.

胜：\1)Jfflf+tGzy-----------=—............27T

36+24+1212

故应从这三所高校抽即：J“干事'•人数分别为3,2,1............4分

(II)在抽取到的6名干事中，先自高校一了的3名《别记为1、2、3；

来自高校N的2名分别记为a、b；来自高校S的1名记为c.....5分

则选出2名干事的所有可能结弋内：

{1,2}>{1>3},,{1>a},{1>4},{1>c}；3}>{2,a},

{2,b}>{2,c}；{3,a},i3,b},Ir.'；{a,b},{a,c}5{b,c}»…8分

共15种............9分

设A={所选2名干事来自同一艺校}，

事件A的所有可能结果为{1,2},{1,3},{2,3},{a,b}............10分

共4种，............U分

P(A^=—........................13分

【北京市房山区2013届高三上学期期末考试】(本小题满分13分)某校从参加

高三年级期中考试的学生中随机选取40名学生，并统计了他们的政治成绩，这

40名学生的政治成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段:

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，据此绘制了如图所示的频率分

布直方图.

(1)求成绩在［80,90)的学生人数；

(II)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩

在［90,100］的概率.

(I)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间［80：90)的频率为

1-(0.005x2+0.015+0.020+0.045)x10=0.1,.............3分

所以，40名学生中成绩在区间［80：90)的学生人数为40x0.1=4(人).

.............5分

(II)设a表示事件”在成绩大于等于so分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成

绩在区间［9Q100］内”，

由已知和(I)的结果可知或5在区间上590)亡H学生有4人，

记这四个人分别为a：b：c：d,

成绩在区间［90：100］内的学生有2人，..............7分

记这两个人分别为e：/,

则选取学生的所有可能结果为：

(a,b),(ac),(ad),(ae),(aP,(b,c\(b.d),(b,e),(b/)：(c：d)：(c：e),(cJ)，

基本事件数为15,.............9分

事件“至少一人成绩在区间［9Q100］之间”的可能结果为：

3坎(0/)0方(也/),/垃Gn&垃3,八口/),

基本事件数为9,.............11分

93

firQZ.............13分

155

8.【山东省威海市2013届高三上学期期末考试】(本小题满分12分)

某普通高中共有教师360人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女

教师人数如下表所示：

第一批次第:批次第三批次

女教师86Xy

男教师9466Z

已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是0.15、

0.1.

（I）求x,y,z的值；

（H）为了调查研修效果，现从三个批次中按1:6（）的比例抽取教师进行问卷调

查，三个批次被选取的人数分别是多少？

（III）若从（H）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的

两名教师“分别来自两个批次”的概率.

解：（I）x=360x0.15=54,1=360x0.1=36

7=360-86-54-36-94-66=24--------------3分

（II）由题意知，三个批次的人数分别是180/20,60,所以被选取的人数分别为工21.

-----------------5分

（III）第一批次选取的三个教师设为勾名，第二批次的教师为用方:，第三批次的教师

设为C，则从这6名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空间为

Q=一本《4C&&,型13VHe丛鸟,A.BZ,A,C;,BXC;BZC}

共15个-----------8分

“来自两个批次”的事件包括

Qi=4cBic}共11个，—10分

所以“来自两个批次”的概率p=装.——12分

9.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】（本题满

分12分）为了解在校学生的安全知识普及情况，命制了一份有10道题的问卷到

各学校做问卷调查.某中学48两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A

班5名学生得分为：5,8,9,9,9；3班5名学生得分为：6,7,8,9,

10.

（I）请你用所学知识，估计48两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些;

(II)如果把8班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽

取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概

率.

解：3)丫4班的5名学生的平均得分为(5+8+9+9+9)+5=8,.....1分

方差=%(5-8尸+(8-8)，+(9-8尸+(9-8尸+(9-8)，]=2.%……2分

8班的5名学生的平均得分为(6+7+8+9+10)+5=8,...............3分

方差=—[(6—8)*+(—-8)~+(8-8)~+(9—8)~+(10—8)*]—2....4分

5

:.Sf>S£,

8班的安全知识的问卷得分要稳定一些............6分

(H)从5班5名同学中任选2名同学的方法共有10种，.............8分

其中样本6和7,6和8,8和10,9和10的平均数满足条件，............10分

故所求概率为产=_1=L...............12分

105

10.【2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一)】(本小题满分12分)

某班B两组各有8名学生，他们期中考试的美术成绩如下：

A组：6668727476788284

B组：5862677377838892

(I)补全下列茎叶图：

___________________A组,B-__________________

___________________5jg_____________________

_86胃a7

8642727

—>•,*^^^-«*»^*«***^^―G******^**^^**"****[*13.

______________42；8[2g__________________

r9-2

(n)分别计算这两组学生美术成绩的平均数、标准，并对它们的含义进行解释。

解：(I)

A组B组

58

866

8642737

42S38

0A

.....6分

(II)X/=75,sA=V35,XB=75»Sg=J131.5,.........10分

从平均数来看，AE两组的学生平均成绩相同；从标准差看，由于5/<“庆组学生的成绩比

B组学生较集中..........12分

11.【宁夏回族自治区石嘴山市2013届高三第一次模拟】

从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分甲乙

别为:8776

甲：7.77.88.18.69.39.5618025

乙：7.68.08.28.59.29.553925

(1)根据以上的茎叶图，对甲、乙运

动员的成绩作比较，写出两个结论;

(2)从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、乙运动员的成

绩至少有一个高于8.5分的概率；(3)经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计,

发现甲运动员成绩均匀分布在［7.5,9.5］之间，乙运动员成绩均匀分布在［7.0,10］

之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分的概率。(本小

题满分12分)

(Ij①由样本数据得y壬=8.5,xj=8.5,可知甲、乙运动员平均水平相同

②由样本数据得端=0:9：5丁=0.44,乙运动员比甲运动员发挥更稳定;

③甲运动员训练成绩的中位数为&1，乙运动员训练成绩的中位数为8.2

④甲运动员训练成绩的极差为1.9.乙运动员训练成绩的极差为1.8,乙运动员比甲运动

员发挥更稳定......(4分)

Qx42

(IH设甲乙成绩至少有一个高于8.5分为事件A，则P(J)=1-—=-.......(8分)

6x63

(HI)设甲运动员成绩为x,则xe卜59.5]乙运动员成绩为y,ye[7,10]

7.5<x<9,5

«7<y<10...(10分j

|x-v|<0.5

设甲乙运动员成绩之差的绝对值小于0.5的事件为B，则

尸⑸=1-言=:...(12分)

2x33

12.【河北省邯郸市2013年高三第一次模拟考试】

(本小题满分12分)某大学体育学院在2012年新招-频率/级距

的大一学生中，随机抽取了007---------------——]们的身高(J

0.06

建该校篮球队的“预备生”.0.05

0.04

0.03

(I)求第四组的频率，并补全0.02

0.01

195200^^

该频率分布直方图；175180

(II)在抽取的40名学生中，用分层抽样的方法从“预备生”和“非预备生”中选出5人，再

从这5人中随机选2人，那么至少有1人是“预备生”的概率是多少？

解：(I)其它组的频率和为

(O.Ol-K>.O7-K).06-H).02)X5=0.8,

所以第四组的频率为0.2.......4分

(II)解法一：依题意“预备生”与“非预备生”的人数比为3：2,所以采用分层抽样的

方法抽取的3名“预备生”记为a、b、c,2名“非预备生”为m、n.则基本事件是

(a,b),(a,c),(a,m),(a,n),(b,c),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(叫n)共10个.其中满足至少

9

有1人是“预备生”的基本事件有9个，故所求的概率为P=-.12分

10

解法二：依题意“预备生”与“非预备生”的人数比为3：2,所以采用分层抽样的方法

抽取的3名“预备生”记为a、b、c,2名“非预备生”为m、n.则基本事件是

(a,b),(a,c),(a,n)j(a,n),(b,c),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(m,n)共10个.其中2名都是

..19

“非预备生”的基本事件有i个，故所求的概率为P=I-A=匕.---12分

1010

13.【山东省淄博市2013届高三3月第一次模拟考试】(文科)(本小题满分12分)

某校举行环保知识竞赛，为了了解

组号分组频数频率

本次竞赛成绩情况，从得分不低于

第1组[50,60)50.05

50分的试卷中随机抽取100名学

生的成绩(得分均为整数，满分100第2组[60,70)a0.35

分)，进行统计，请根据频率分布

第3组[70,80)30b

表中所提供的数据，解答下列问

[80,90)

题：第4组200.20

(I)求。、人的值；第5组[90,100)100.10

(H)若从成绩较好的第3、4、合计1001.00

5组中按分层抽样的方法

抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1

人是第四组的概率.

解：(I)a=35*=0.30........................................12分

(ID因为黄3、4、5组共有60名学生.所以利月分层油样在60名学生中油段6名

学生.每组分别为：

第3组：—x30=3A-

60

第4组：?x20=2人，

60

第5组：9x10=1人，

60

所以第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人.......6分

设第3组的3位同学为鸟、斗、&,第4组的2位同学为及、Bz,第5组的1位同学

为G，则从六位同学中通两位同学有15种可能如下：

(44),(44)，—(4H).(4G)，(4.4).(4㈤,(4闯,

(4C),(&4),(&%),(4G)，­(&G),(%c).....io分

93

所以其中第4组芯2位同学至少有一位同学入选的柢率为一=—.......12分

155

14.【2013年安徽省马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测】某校高三(1)班

的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见

部分如下，据此解答下列问题：

(I)求全班人数及分数在［80,90)之间的频数；

(II)不看茎叶图中的具体分数，仅据频率分布

直方图估计该班的平均分数；

(III)若要从分数在［80,100］之间的试卷中任取两

份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求

至少有一份分数在［90,100］之间的概率.

第19题图

【命题意图】概率求法、统计.茎叶图、频率分布直方图的认识与应用.

O.OOSxlOL

4.....4分

（II）平均分数估计值

x=55x0.08+65x0.28+75x0.4+85x0.16+95x0.08=73.8...........8分

（III）记这6份试卷代号分别为1,2,3,4,5,6.其中5,6是［9。100］之间的两份,

则所有可能的抽取情况有：1:2.13L41:51:6

..2,32,42,52,6

-3,43,53,6

4,54,6

5,6..................10分

其中含有5或6的有.9个，故尸=白唉........................................13分

15.【山东省济南市2013届高3、高为模拟考试文科数学试题word版（2013济

南一模）】（本小题满分12