概率论与数理统计（慕课版第2版） 教案 张天德 第1、2章 随机事件与概率、随机变量及其分布

概率论与数理统计教学教案第1章随机事件与概率授课序号01教学基本指标教学课题第1章第1节随机事件课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点样本空间、随机事件、事件的关系与运算教学难点事件的关系与运算参考教材作业布置课后习题大纲要求了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。教学基本内容一．随机试验与样本空间1随机试验:（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果将会出现.在概率论中，把具有以上三个特点的试验称为随机试验，简称试验，记为E.2样本空间:对于随机试验，虽然在试验前不能确定哪一个结果将会出现，但能事先明确试验的所有可能结果，我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S.样本空间的元素,即试验E的每一个结果，称为样本点.二．随机事件1．随机事件：在一次试验中可能出现也可能不出现的结果，统称随机事件，简称事件，记作.2．随机事件的类型：（1）必然事件.每次试验中都发生的事件称为必然事件，必然事件可以用样本空间S表示；（2）不可能事件.在每次试验中都不发生的事件称为不可能事件，不可能事件可以用空集表示；（3）基本事件.每次试验中出现的基本结果（样本点）称为基本事件，基本事件可以用一个样本点表示；（4）复合事件.含有两个及两个以上样本点的事件称为复合事件.3．两点说明：（1）在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生;（2）严格来讲必然事件与不可能事件反映了确定性现象，可以说它们不是随机事件，但为了研究问题的方便，我们把它们作为特殊的随机事件.三．随机事件的关系与运算1．事件的关系（1）若，则称事件A是事件的子事件，表示事件发生必然导致事件发生.（2）若,且，则称事件与事件相等.（3）事件称为事件与事件B的和事件，表示A，B中至少一个发生.（4）称的和事件，（5）事件称为事件与事件的积事件，表示A，B同时发生，一般简写为.（6）称为个事件的积事件，称为可列个事件的积事件（7）事件称为事件与事件的差事件，表示发生且不发生.（8）若称为事件与事件是互不相容或互斥的，表示事件与事件B不能同时发生.（8）若且，称事件与事件互为逆事件，或称事件与事件互为对立事件，即事件,中必有一个发生，且仅有一个发生，A的对立事件记作，即.2．事件间的运算律：设为事件，则有（1）交换律:,.（2）结合律:,.（3）分配律:(4)德.摩根律:.例1.设A，B，C分别表示第1，2，3个产品为次品，用A，B，C的运算可表示下列各事件：（1）至少有一个次品;（2）没有次品;（3）恰有一个次品;（4）至少有两个次品;（5）至多有两个次品（考虑其对立事件）.

授课序号02教学基本指标教学课题第1章第2节概率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点概率的概念，概率的基本性质，古典型概率，概率的加法公式教学难点古典型概率，概率的加法公式参考教材作业布置课后习题大纲要求理解概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率，掌握概率的加法公式。教学基本内容一．频率与概率1．频率：在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数，比值称为事件发生的频率，记作.2.频率的性质：设A是随机试验E的任一事件，则频率具有性质：（1）（2）;（3）若是两两互不相容的事件，则事件发生的频率大小表示其发生的频繁程度.频率大,事件发生就越频繁,这表示事件在一次试验中发生的可能性就越大，反之亦然.3．频率的稳定性由于频率是依赖于试验结果的，而试验结果的出现具有一定的随机性，因而频率具有随机波动性,即使对于同样的n,所得的频率不一定相同;另一方面大量试验证实,当重复试验的次数n逐渐增大时,频率逐渐稳定于某个常数.4.概率的统计定义：随机事件A在大量重复试验（观测）中，即n→∞时，其频率稳定在某一常数上，这一常数称为随机事件A的概率，记作P(A).二．古典概率与几何概率1.古典概率（1）（概率的古典定义）设试验的样本空间S包含n个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，若事件A包含k个样本点，则事件A的概率为.2.排列与组合有关公式（1）加法原理：设完成一件事有m种方式，其中第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，……,第m种方式有种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事的方法总数为.（2）乘法原理：设完成一件事有m个步骤,其中第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，……，第m个步骤有种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为.（3）排列公式：从n个不同元素中任取k个元素的不同排列总数为.（4）组合公式：从n个不同元素中任取k个元素的不同组合总数为.3．几何概率：设样本空间是平面上某个区域,它的面积记为，点落入内任何部分区域A的可能性只与区域A的面积成比例,而与区域A的位置和形状无关，该点落在区域A的事件仍记为A，则事件A的概率为.三．概率的定义与性质1概率的公理化定义：设是随机试验，是它的样本空间，对于的每一事件赋予一个实数，记为，如果满足以下条件：;有，则称为事件的概率.2．概率的运算性质（1）（2）是两两互不相容事件,则有P(A1（3）对于任意两个事件，有，特别地，若，则有，因而有.（4）对于任意两个事件，（5）设为任意三个事件，则有.（6）对于任意事件A，.四．例题讲解例1.箱中放有个外形一样的手机充电器（不含充电线），其中a个充电器具有快充功能，其余b个没有快充功能，个人依次在箱中取一个充电器，(1)作放回抽样（每次抽取后记录结果，然后放回）;(2)作不放回抽样（抽取后不再放回）；求第人取到具有快充功能的充电器（记为事件A）的概率.例2.设有件产品，其中有M件次品，今从中任取n件，问其中恰有件次品的概率是多少？例3.货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自甲产地，3件来自乙产地.现从货架上随机抽取两件，求这两件商品来自同一产地的概率.例4.某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的?例5.某福利彩票游戏规则：购买者从01-35共35个号码中选取7个号码作为一注进行投注，7个号码中6个为基本号码另外1个号码为特别号码，每注彩票2元，每期销售彩票总金额的50%用来作为奖金.奖项设置为一等奖：选7中6+1（不考虑基本号码的顺序）；二等奖：选7中6；三等奖：选7中5+1；四等奖：选7中5；五等奖：选7中4+1；六等奖：选7中4；七等奖：选7中3+1.试计算单注中奖概率.例1.10假设每个人的生日随机分布在365天中的某一天，在有n（n<365）个人的班级里，生日各不相同（记为事件A）的概率为多少？存在至少两人生日在同一天（记为事件B）的概率为多少？例6.某人午觉醒来，发觉表停了,他打开收音机，想听电台报时,设电台每正点时报时一次,求他等待时间短于10分钟的概率.例7.（会面问题)某销人员和客户相约7点到8点之间在某地会面,先到者等候另一人半个小时,过时就离开.如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达,试计算二人能够会面的概率.例8.对某高校学生移动支付使用情况进行调查，使用支付宝的用户占45%，使用微信支付的用户占35%，同时使用两种移动支付的占10%.求至少使用一种移动支付的概率和只使用一种移动支付的概率.例9．A，B是两个事件，已知，，求.

授课序号03教学基本指标教学课题第1章第3节条件概率课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式教学难点条件概率，乘法公式、全概率公式，贝叶斯公式参考教材作业布置课后习题大纲要求理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯公式。教学基本内容一．条件概率与乘法公式1．条件概率（1）设A，B是两个事件，称为事件发生的条件下事件发生的条件概率.（2）称为事件发生的条件下事件发生的条件概率.2．条件概率的性质：（1）非负性:对于每一事件，有；（2）规范性:对于必然事件，有；（3）可列可加性:设是两两互不相容事件，则有；（4）；；.两点说明：计算条件概率的方法:（1）在缩减的样本空间A中求事件B的概率，就得到；（2）在样本空间S中，先求事件和，再按定义计算.3．乘法公式：，.推广：（）个事件，且则有.二．全概率公式与贝叶斯公式1.样本空间的划分：设为试验的样本空间，为的一组事件，若则称为样本空间的一个划分，或完备事件组.2．全概率公式定理：设试验的样本空间为，为的事件，为样本空间的一个划分，且，，则.全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果.3．贝叶斯公式定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，为样本空间的一个划分，且,，则三．例题讲解例1．某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人和40人，从中任选一名职工，计算（1）该职工技术优秀的概率；（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率.例2．在全部产品中有4%是废品，有72%为一等品.现从其中任取一件，发现是合格品，求它是一等品的概率.例3．某杂志包含三个栏目“艺术”（记为事件A）、“图书”（记为事件B）、“电影”（记为事件C），调查读者的阅读习惯有如下结果:，试求：.例4．为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统(Ⅰ)和(Ⅱ)，每种系统单独使用时，系统(Ⅰ)和系统(Ⅱ)的有效概率分别为0.92和0.93，在系统(Ⅰ)失灵的情况下，系统(Ⅱ)仍有效的概率为0.85，求两个报警系统至少有一个有效的概率.例5．（传染病模型）设袋中装有只红球，只白球，每次自袋中任取一只球,观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.例6．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占20%，二厂生产的占70%，三厂生产的占10%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,3%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?例7．设某人有三个不同的电子邮件账户，有70%的邮件进入账户1,另有20%的邮件进入账户2，其余10%的邮件进入账户3.根据以往经验，三个账户垃圾邮件的比例分别为1%，2%,5%,问某天随机收到的一封邮件为垃圾邮件的概率.例8．对以往数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%.已知某日早上第一件产品是合格品时,试求机器调整良好的概率.例9.某机器由A、B、C三类元件构成，其所占比例分别为0.1，0.4，0.5，且其发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2.现机器发生了故障，问应从哪类元件开始检查？

授课序号04教学基本指标教学课题第1章第4节事件的独立性课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点事件的独立性的概念、用事件独立性进行概率计算、独立重复试验的概念教学难点用事件独立性进行概率计算参考教材作业布置课后习题大纲要求理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。教学基本内容一.事件的独立性1．两个事件的独立性：设是两事件，如果满足等式，则称事件相互独立，简称独立.注：事件与事件相互独立，是指事件发生的概率与事件发生的概率互不影响；反之，若事件发生的概率与事件发生的概率互不影响，则事件与事件相互独立.2.事件独立性的性质性质1.设，是两事件，且，相互独立，则.性质2.若事件与事件相互独立，则也相互独立.3.有限个事件的独立性：设是个事件，如果对于其中任意，任意的，具有等式则称是相互独立事件.4.三个事件相互独立：设，，是三个事件，如果满足，，，，则称事件,,相互独立.注：（1）个事件相互独立，则其中任意两个事件相互独立，即两两独立，反之不成立.（2）若事件相互独立，则其中任意个事件也相互独立.（3）若个事件相互独立，则将任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的个事件也相互独立.5．若事件相互独立，则有6．独立性在系统可靠性中的应用对于一个元件，它能正常工作的概率称为元件的可靠性.对于一个系统，它能正常工作的概率称为系统的可靠性.二．独立重复试验1.重伯努利（Bernoulli）试验：（1）在相同的条件下进行次重复试验，且各次试验结果发生的可能性不受其他各次试验结果的影响，也即这次试验相互独立；（2）每次试验都仅考虑两个可能结果：事件和事件，且在每次试验中都有，．2.定理：设在一次试验中事件A发生的概率为，则在重伯努利试验中，事件恰好发生了次的概率为，，.三．例题讲解例1.设互不相容，若，问是否相互独立？例2.设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立,,若,求.例3.甲、乙、丙三人独立破译一份密码，设甲的成功率为0.4，乙的成功率为0.3，丙的成功率为0.2，求密码被破译的概率.例1.26加工某一零件共需经过7道工序,每道工序的次品率都是5%，假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.例4.来看四个独立工作的元件组成的系统的可靠性，设每个元件的可靠性均为p，分别按图1.4的两种方式组成系统（分别记为S1和S2），求两种组合方式的可靠性.图1.4系统S1（左图）和系统S2（右图）例5.某店内有4名售货员，根据经验每名售货员平均在1小时内用秤15分钟．问该店配置几台秤较为合理．概率论与数理统计教学教案第2章随机变量及其分布授课序号01教学基本指标教学课题第2章第1节随机变量与分布函数课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点随机变量及其概率分布的概念、分布函数的概念及性质与计算。教学难点分布函数的求法参考教材作业布置课后习题大纲要求理解随机变量及其概率分布的概念。理解分布函数的概念及性质。会计算与随机变量有关的事件的概率。教学基本内容一．随机变量1.随机变量：设E是随机试验，样本空间为S，如果对随机试验的每一个结果，都有一个实数与之对应，那么把这个定义在S上的单值实值函数称为随机变量．随机变量一般用大写字母,…表示．2.随机变量的两种常见类型:离散型随机变量和连续型随机变量.二．分布函数1.分布函数：设X是一个随机变量，是任意实数，称函数为随机变量X的分布函数，显然，是一个定义在实数域R上，取值于[0,1]的函数．2．几何意义：在数轴上，将X看成随机点的坐标，则分布函数表示随机点X落在阴影部分（即）内的概率，如下图．3．对任意的实数，都有：,.4．分布函数的性质：（1）单调性：分布函数是单调不减的，即若，则；（2）有界性：，且，（3）右连续性：．说明：分布函数一定具有这三个基本性质；反过来，任意一个满足这三个基本性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数．因此，这三个基本性质成为判别一个函数是否能成为分布函数的充要条件.三．例题讲解例1.通过某公交站牌的汽车每10分钟一辆，随机变量X为乘客的候车时间，其分布函数为：求：（1）；（2）；（3）.例2．设随机变量X的分布函数为求常数a，b，c的值？例3．在半径为R，球心为O的球内任取一点P，令X为OP的长度，求X的分布函数．

授课序号02教学基本指标教学课题第2章第2节离散型随机变量课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点离散型随机变量及其概率分布的概念，０－１分布、二项分布、超几何分布、泊松分布及其应用。教学难点０－１分布、二项分布、超几何分布、泊松分布及其应用。参考教材作业布置课后习题大纲要求理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握０－１分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用。教学基本内容一．离散型随机变量及其概率分布1．离散型随机变量：若随机变量X所有可能的取值为有限个或者可列个，则称这样的随机变量为离散型随机变量．2．随机变量的概率分布：设X为离散型随机变量，X所有可能的取值为，称为随机变量X的概率分布，也称为分布律或分布列．概率分布也可以用表格的形式表示：…………或者记为：3．离散型随机变量概率分布的性质：（1）非负性：（2）正则性：4．离散型随机变量的分布函数：若离散型随机变量X的分布律为，则X的分布函数为即分布函数是分布律在一定范围内的累积．二．常用的离散型随机变量1.（0-1）分布（1）（0-1）分布：若随机变量X只有两个可能的取值0和1，其分布律为，则称X服从以p为参数的（0-1）分布或两点分布.（2）（0-1）分布的分布律也可以记为X01P1-pp或.2．二项分布（1）二项分布：若随机变量X表示n重伯努利试验中事件A出现的次数,则有.则称随机变量X服从二项分布，记为，其中n和p是二项分布的参数，上式就是二项分布的分布律.（2）二项分布的特例：在二项分布中,若令n=1,则，其分布律为，即X服从（0-1）分布.因此（0-1）分布是二项分布的特例，简记.3.泊松分布（1）泊松分布：若随机变量X的分布律为，其中为大于0的参数，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为．（2）泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中出现的概率为（与试验总数n有关），如果当时，，则有.（3）说明：泊松定理表明，泊松分布为二项分布的极限分布，即在试验次数n很大，而不太大时，二项分布可以用参数为的泊松分布来近似．4.几何分布（1）若随机变量X的分布律为，其中为参数，则称X服从几何分布，记为．（2）说明：几何分布描述的是试验首次成功的次数X所服从的分布，也可以解释为：在n重伯努利试验中，试验到第k次才取得第一次成功，前k-1次皆失败．5.超几何分布（1）超几何分布：若随机变量X的分布律为其中，且均为正整数，则称随机变量X服从超几何分布，记为．（2）有限总体N中的不放回抽样服从超几何分布，例如有N件产品，其中M件不合格，从产品中不放回的抽取n件，则抽取的产品中不合格品的件数X服从超几何分布．（3）超几何分布与二项分布之间的区别：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，因此，二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不独立.两个分布之间也有联系，当总体的容量N非常大时，超几何分布近似于二项分布.三．例题讲解例1.已知盒中有10件产品，其中8件正品，2件次品.需要从中取出2件正品，每次取1件，直到取出两件正品为止，做不放回抽样.设X为取件的次数，则：（1）求X的分布律；（2）求X的分布函数；（3）求概率.例2.金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的.现在当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作的概率有多大？例3.有2500个相同年龄阶段、相同社会层次的人参加某保险公司的意外伤害保险，根据以往统计资料，在1年里每个人出现意外伤害的概率是0.0001，每个参加保险的人1年付给保险公司120元保费，而在出现意外时家属从保险公司领取2万元.请计算（1）保险公司亏本的概率；（2）保险公司一年获利不少于10万元的概率.例4.一家商店在每个月的月底要制定出下个月的商品进货计划，为了不使商品的流动资金积压，进货量不宜过多，但为了获得足够的利润，进货量又不易过少．由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售可以用参数为的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？例5.某公司订购了一种型号的加工机床，机床的故障率为1%，各台机床之间是否出现故障是相互独立的，求在100台此类机床中，故障的台数不超过三台的概率.例6.某流水线生产一批产品，其不合格率为p，有放回地对产品进行检验，直到检验出不合格品为止.设随机变量X为首次检验出不合格品所需要的检验次数，求X的概率分布.授课序号03教学基本指标教学课题第2章第3节连续型随机变量课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点连续性随机变量及其概率密度的概念，概率密度与分布函数之间的关系，正态分布、均匀分布、指数分布及其应用。教学难点概率密度与分布函数之间的关系，正态分布、均匀分布、指数分布及其应用。参考教材作业布置课后习题大纲要求理解连续性随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系，掌握正态分布、均匀分布、指数分布及其应用。教学基本内容一．连续型随机变量及其概率密度1．连续型随机变量：设X是随机变量，如果存在函数，对任意的常数，有则称X为连续型随机变量，同时称为X的概率密度函数，或简称为概率密度．2．概率密度函数的性质：（1）非负性：≥0；（2）正则性：．3．概率密度的几何意义：随机变量落入区间内的概率等于曲线在区间上形成的曲边梯形的面积，而正则性表明，曲线与x轴之间的部分面积为1．4．连续型随机变量的分布函数：,则在的连续点处，.5．两点说明：（1）连续型随机变量在某一个点c处的概率为0,即（2）连续型随机变量落在某个区间内的概率,不受区间端点处取值的影响,即.二．常用的连续型随机变量1.均匀分布（1）均匀分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为其中a，b(a<b)为任意实数，则称随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布，记为．（2）均匀分布的分布函数：（3）应用：若X在(a,b)上服从均匀分布，对(a,b)内的任一个子区间(c,d)，有.2.指数分布（1）指数分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为其中参数，则称随机变量X服从参数为的指数分布，记为．（2）指数分布的分布函数：（3）定理：（指数分布的无记忆性）设随机变量，则对于任意的正数s和t有3.正态分布（1）正态分布：设X为连续型随机变量，若概率密度为其中为参数，则称随机变量X服从参数为的正态分布，也叫高斯分布，记为．（2）正态分布的分布函数：（3）几点说明：（i）概率密度的图形关于对称，是轴对称图形，在处取到最大值，并且对于同样长度的区间，若区间离越远，则X落在这个区间内的概率越小.（ii）的图形以轴为渐近线，随着的取值往两侧无限延伸，图形与轴无限接近，但又不会相交．（iii）当参数固定时，的值越大，的图形就越平缓；的值越小，的图形就越尖狭，由此可见参数的变化能改变图形的形状，称为形状参数．（iv）当参数固定时，随着值的变化，图形的形状不改变，位置发生左右平移，由此可见参数的变化能改变图形的位置，称为位置参数．（4）标准正态分布（i）概率密度（ii）分布函数（iii）根据概率密度的对称性，有（5）定理：（标准化定理）若，则（6）标准化定理的应用：设为任意实数，则6.“”法则：设，则即正态分布的随机变量以99.7%的概率落在以为中心、为半径的区间内，落在区间以外的概率非常小，可以忽略不计，这就是“”法则.三．例题讲解例1．车流中的“时间间隔”是指一辆车通过一个固定地点与下一辆车开始通过该点之间的时间长度.设X表示在大流量期间，高速公路上相邻两辆车的时间间隔，X的概率密度描述了高速公路上的交通流量规律，其表达式为：概率密度的图形如下图，求时间间隔不大于5秒的概率.例2．设随机变