【人教B版高中数学选择性必修第二册】组合与组合数（2）-课件

组合与组合数（2）

高二年级数学排列组合定义从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定顺序排成一列.从n个不同对象中，取出m（m≤n）个对象，并成一组.相同点从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象不同点与对象的顺序有关（先选后排）与对象的顺序无关（只选不排）【复习回顾】【复习回顾】组合数的公式和性质公式：性质1：（对称性）；性质2：（合二为一）.主要用于化简变换，和简化计算.例1.计算：.灵活运用组合数的性质，可以达到化简算式，简化计算的效果例2.辨析下列问题是排列问题，还是组合问题.你能否对题目稍作改动，将问题的类型改变？（1）a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？4支球队中有2支球队，一个是冠军，另一个是亚军.

（对2支球队有顺序要求）问题等同于“从4个对象中任取2个按先后顺序排成一列”，是“排列”问题，有种结果.（如何改编？）改编：a，b，c，d四支足球队进行单循环比赛，共需赛多少场？单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛.

与选取的顺序无关等同于“从4个不同对象中任取2个并成一组”

变成了“组合”问题，需打场.（2）北京地铁四号线是南北走向的双向地铁，线路南起公益西桥站，北至安河桥北站，全线共设24座车站，若某人在“公益西桥站开往安河桥北站”方向的列车上，从一个站上车，另一个站下车，求有多少种不同的上下车的可能？公益西桥……安河桥北确定了地铁的行驶方向，是“组合”问题，共有种方法.(如何改编?)改编：北京地铁四号线是南北走向的双向地铁，线路南起公益西桥站，北至安河桥北站，全线共设24座车站，若某人从一个站上车，从另一个站下车，求有多少种不同的上下车的可能？公益西桥……安河桥北地铁四号线是双向行驶，需确定两站之间上下车的顺序，变成了“排列”问题，共有种方法.在研究排列组合问题时：（1）通常先将具体问题抽象转化为相应的数学模型，（2）注意辨析是“排列问题”还是“组合问题”.既：看取出对象后是否考虑顺序.例3.现有30件分别标有不同编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件.（1）一共有多少种不同的取法？只是取出3件，它们之间无需考虑顺序等同于“从30个不同对象中任取3个并成一组”，是“组合”问题.共种取法.（2）若3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种？第一步，取出1件次品，有种取法；

（注意，虽已满足限制要求，但事件还没有完成）第二步，取出2件合格品，无需考虑顺序，有种取法.根据分步乘法计数原理，共有种.3件产品中：1件次品，2件合格品取出两类不同对象，可分成两步完成：（3）若3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种？3件产品中：有1件次品，2件合格品；或者：有2件次品，1件合格品；所以，可以按照取出次品的件数分成两类计算.法1.按取出次品的件数分成两类进行：第一类，取出3件产品中有1件次品，有种取法；第二类，取出3件产品中有2件次品：第一步，取出2件次品，无顺序要求，有种取法；第二步，再取出1件合格品，有种取法.由分步乘法计数原理，有种取法.由分类加法计数原理，共有种.（3）若3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种？法2.排除法，反面：没有次品.即：3件全是合格品.“任取3件”-“3件都是合格品”=“3件中至少有1件次品”

即：种取法.显然用排除法解决这个问题，分类情况更少，研究更简便.可能会出现的解法：取出的3件产品中至少要有1件次品，所以分成两步完成：第一步，先取出1件次品，有种方法；第二步，再从剩余29件产品中随意取出2件，有种方法.由分步乘法计数原理，有种取法.思考：到底是哪里出现了问题？不妨设2件次品为和，28件合格品为、、…、.若3件产品中，有2件次品和1件合格品，可能会出现下面的情况：建议：研究有关“至多”或“至少”这样的计数问题时，要么直接分类研究，或运用“排除法”计数.在分析时，可以先对比两种方法，看看哪种方法分类的情况较少，计算更为简便，再选择恰当的方法解决.先后和先后，选取产品应是无序.这里选2个次品时考虑了先后顺序.应将有序取出2件次品产生的重复次数去掉.例4.要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学：（1）如果甲得4本，乙得3本，丙得2本，则共有多少种不同的分法？（注：每本书是不同的，每人分配到多少本是确定的）“定向分配问题”，可以分成三步完成：第一步，先选4本书给甲，无顺序要求，有种方法；第二步，再选3本书给乙，有种方法；第三步，最后2本书都给丙，有种方法.由分步乘法计数原理，共有：种方法.边选书，边分配：分步分配（2）如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共

有多少种不同的分法？注意这个问题与上一问的区别：“不定向分配问题”，如何解决？相比问题（1），可以先分组，后分配，分两步完成：第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组：第二步，将三组书分配给3个人，即三组书全排列：由分步乘法计数原理，共种方法.（3）如果每个人都得3本，则共有多少种不同的分法？每人都得3本，等同于“甲3本，乙3本，丙3本”.每个人分配到多少本书是确定的，属于“定向分配问题”，可以通过“分步分配”完成：第一步，先选3本书给甲，有种方法；第二步，再选3本书给乙，有种方法；第三步，最后3本书都给丙，有种方法.共有：种方法.（无需3组书全排列）关于“分配”的问题：也是计数问题中的一个重要模型.

像问题1和问题3，每个人分配到多少本书是确定的：

“定向分配”问题，可以通过“分步分配”完成.像问题2，每个人分配到多少本书是不确定的：

“不定向分配”问题，可以“先分组，再分配”将研究的问题进行调整：如果要把9本不同的课外书分成三组：（1）如果一组4本，一组3本，一组2本，有多少不同的分法？（2）如果每组都是3本，有多少不同的分法？

这里只是把不同的对象分成了若干组，没有了分配环节.这种问题在计数过程中，与之前的“分配”问题有什么区别呢？这个问题作为思考题，留给同学们课后探究.例5.现要从A,B,C,D,E,F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？限制条件：A不能安排在甲岗位上特殊元素特殊位置排除法法1.从特殊元素“A”入手，注意“可选人数”多于“岗位数”，可按照4个岗位中是否含A，分成两类：甲乙丙丁第一类，4个岗位中含A，分成两步完成：A的位置：由分步乘法计数原理，含A的方法共有.再确定其他岗位人选，共种方法.第二类，4个岗位中不含A：

从剩余5人中选4人排到4个岗位中，有种方法.综上，根据分类加法计数原理，共有种方法.甲乙丙丁法2.从特殊位置“甲”入手，分成两步完成：甲乙丙丁非A：根据分步乘法计数原理，共有：种方法.可以看到，由于岗位数少于人数，因此甲岗位上必须有人，无需分类.所以相比从特殊元素“A”入手，从特殊位置“甲”入手更为简单.法3：排除法先忽略题目中的限制要求：先“从6人中任意选4人安排到这4个岗位”，再从中去掉“A在甲岗位上”，剩余的就是“A不在甲岗位上”.

共：种方法.不难看出，这个问题从反面思考，分类情况也很少，因此用排除法解决也非常方便.解决“含限制条件”的问题时，之前的3种方法都是常用的解题策略.但是对于不同的具体问题，3种方法在运用过程中的复杂程度并不一致，建议同学们学会具体问题具体分析，养成良好的思维习惯，先动脑再动手，选择恰当的方法解决问题.【课堂小结】本节课我们综合运用了排列与组合的知识解决了一些具体问题：

1.在含限制条件的计数问题中，如果是关于“至少”或“至多”的问题，建议同学们先分析对比“直接分类法”和“排除法”，选择分类更少、计算更简便的方法.【课堂小结】2.“分配问题”的研究方法：课上所讲的是将不同的对象进行分配的问题：（1）定向分配：分步分配；（2）不定向分配：先分组，后分配.事实上，还有“相同对象的分配问题”，有兴趣的同学可以学习B版教材，选择性必修第二册，P21-P22的“拓展阅读”，体会二者之间的区别.【课堂小结】3.综合计数问题通过前面课程的学习，我们接触了很多典型的计数模型以及研究计数问题的方法.在处理具体问题时，注意要辨析：是否为排列组合问题；对于综合问题一般会采用“先分类，后分步”的解题策略，注意结合具体问题背景，选择合适的方法研究，不断提升优化解题的能力.【作业】B