青岛工学院《高等数学》2018-2019期末试卷

系年级系年级专业班姓名：学号：封装线(12-2)《高等数学B1》期末试卷（A）卷题号一二三四五六七八总分复核人分值25本人郑重承诺：本人已阅读并且透彻地理解《考场规则》，愿意在考试中自觉遵守这些规定，保证按规定的程序和要求参加考试，如有违反，自愿按《学生违纪处分规定》有关条款接受处理。座位号：承诺人签名：学号：班级：一、选择题（每小题4分，共20分）1.设A是m根n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充要条件是.（A）A的列向量组线性相关（B）A的列向量组线性无关（C）A的行向量组线性相关（D）A的行向量组线性无关s(s（A）都不是零向量（B）任意两个向量的分量不成比例（C）至少有一个向量不可由其余向量线性表示（D）每个向量均不可由其余向量线性表示EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(a),b)22（A）正定矩阵（B）负定矩阵（C）初等矩阵（D）正交矩阵4.A为n阶方阵，λi(i=1,2,…,n)是A的特征值，则必有.m2α2mαmn.（A）线性相关（B）线性无关（C）可能线性相关也可能线性无关（D）部分线性相关二、填空题（每小题4分，共20分）EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(4),3)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(3),1)((10-12)（2a-1234)（2a-1234)4．二次型f(x1,x2,x3)=3xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),1)-2x1x2-2x1x3+4x2x3的秩为，正惯性指数为，负惯性指数为.EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(1),1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(1),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(2),3)三、计算题（8+8+8+14+12分）三、计算题（8+8+8+14+12分）n2．确定下列方程组是否有解，若有解，求其通解.(x1-2x2+x3-x4+x5=1,3．解矩阵方程AX=B求X，其中(10-1)-3(10-1)-304|EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(1),1).-14．设矩阵A=k1-kEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up18(2),3)，问当k为何值时，存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ，其中Λ为对角矩阵？并求出可逆矩阵P和相应的对角矩阵Λ.β3=α3-α2.（1）求从基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵C；3在基β1,β2,β3下的坐标X；（3）求β=β1+2β2+β3在基α1,α2,α3下的坐标Y.四、证明题（5+5分）1.设n阶矩阵A满足A2=A，E为n阶单位矩阵，求证：R(A)+R(AE)=n.系年级专业班姓名：学号：封装线系年级专业班姓名：学号：封装线11-n1-n1121-n《高等数学B1》期末试卷（A）卷一、选择题（每小题4分，共20分）1.B2.D3.D4.D5.C二、填空题（每小题4分，共20分）1.-3；EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(0),4)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(21),22)三、计算题（8+8+8+14+12分）123…n011…1-n011…101-n1…1121…10…-n0-n…00n(n-1) 2.解：此方程组的增广矩阵为（2-51-221)（000000)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(2),3)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(-),-)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(1),1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(2),1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(-),-)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(3),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(2),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(0),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(1),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(0),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(5),8)（2-51-221)（000000)所以系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组有解.特解为η*=,,,0,0)T，对应的齐次线性方程组的基础解系为ξ1=(-,-,,1,0)T，,,-,0,1)T.所以通解为X=k1ξ1+k2ξ2+η*，(k1,k2=R).(2（(2（000(4-100)(10-12(10-12-31)(1004-100)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(0),1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(0),4)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(1),1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(0),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(1),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(0),1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(3),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(4),7)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(1),1)||3-λ2-242-3-λ所以X=A-1B=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(3),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(4||3-λ2-242-3-λ4.解：由A-λE=-k-1-λk=(1-λ)(1+λ)2=0，得λ1=1，λ2=λ3=-1.所以，A的特征值有重根，因此对于λ2=λ3=-1而言，当方程组(A+E)X=0有两个线性无关的解时，A可以对角化.(4 -k-2)k0)(4 -k-2)k0)200||r—喻-k0k（42-2)若k产0，则R(A+E)=2，方程组(A+E)X=0只有一个线性无关的解.(4EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(0),4)(422-2)2-2)r—喻所以对应于λ2=λ3=-1的线性无关特征向量为α1在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ.-1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(0),0)-1)(-1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(2),0)(-1)α2|(1)0另外，可求得对应于λ1|(1)0(-12(-10(-12(-100)020-10||EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(0),1),即为所求的可逆矩阵，且有P-1AP=Λ=取P=.01)5．解1）因为β1=α1，β2=α2-(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(0),0)-11000)-11)|(|(1)(1)-110（0|故从基α1,α2,α3到基β1,β2,β3-110（033.0).-11),β2,β3)（0-1100)-0)-1(1)2(1)2(4)|,β2,β3)|,3在基β1,β2,β3下的坐标X=(4,3,1)T.（3）β=β1+2β2+β3=(β1,β2,β3)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(2),1)β=β1+2β2T.四、证明题（5+5分）=A得A(A-E)=O，所以A-E的列向量为方程组AX=