高中数学第二章平面向量及其应用测评课后习题含解析

第二章测评

(时间:120分钟满分:150分)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分，共40分)

1.已知在。ABCC中，而=(2,8),通=(-3,4),则前=)

C.(l,-12)D.(l,12)

醒画因为四边形ABC。是平行四边形，所以前=而+而=(-1,12).

彝B

2.如果a,b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是()

A.a=bB.ab=l

C.a=-bD.|a|=|b|

隆而|两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A,C不正确;由于两个单位向量的夹角不确定,

则ab=l不成立，所以选项B不正确;|a|=|b|=l,则选项D正确.

奉D

3.如图,a-b等于()

A.2ei-4e2B.-4ei-2e2

C.ei-3e2D.3ei-e2

解析a-b=ei-3e2.

C

4.如图，正方形ABC。中，点分别是0cBe的中点，那么前=()

A.2-AB2+-AD

B.--AB--AD

22

C.-2-A2B+-AD

D.-AB--AD

22

|解析［前==^(AB-AD).

gSD

5.已知4船在灯塔C北偏东70°方向2km处,8船在灯塔C北偏西50°方向3km处，则A,B两船的

距离为()

A.-719km

B.V7km

C.(V6+l)km

D.(V6-1)km

据题意，在平面直角坐标系中作示意图，如图所示，

易知在△ABC中,BC=3,AC=2,NBC4=120°,故由余弦定理可得482=Ac2+BC2-2ACBC•cosN

BCA,

解得A82=19,则AB=g.故选A.

量A

6.已知a,b,c是共起点的向量,a,b不共线，且存在使c=〃?a+"b成立，若a,b,c的终点共线，则必

有（）

A.zn+n=O

C.m+n=\D.m+n=-\

|解析|设瓦?=a,05=b,OC=c,

因为a、b、c的终点共线，

所以设彳？=2荏，即0?-OA=X(OB-0A1

所以小=(11)次+2赤，即c=(l-2)a+Nb.

又c=ma+〃b,所以—m,

U=n,

所以tn+n=\.

gg]c

7.在100m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30。和60°,则塔高是（）

A400「400V3

A.——mB.-----m

33

c200V3c200

C.----mD.——m

33

画如

E_D

卫

图所示，山高为AB=100m,塔高为CD,

根据题意可知NBC4=60°,

NCBD=30：

在RtMBC中，

ccAB100200V3

f-tf—_____________—______

sinZ-BCA-逅-3'

2

在4BCD中,NCBD=NBCD=3Q°,ZBDC=120°,

1200V3

由正弦定理得一咚=BCC£）=F^=竺9.故选D.

sin30°sinl200在3

2

^a]p

8.已知|万?|=|砺1=1瓦|=1,。为BC的中点，且|就|=百,则而•瓦的最大值为（）

B.-C.V3D.2

2

为|初|=|而|=|反|=1,所以A,8,C在以O为圆心半径为1的圆上.

以。为原点,0。所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

因为|瓦匚百丽匚1,0为BC的中点，所以|。。|三，

则"冬。C（日』,£>（0』,设4（不历,则而=（.,-"尻=（百,0）,所以荷•近=-岳,因为-

IWXWI,当A与E重合，即x=-l时，亚•前的最大值为百.故选C.

ggc

二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分）

9.已知A48C的面积为|,且Z?=2,c=g,则A=（）

A.30°B.60°C.150°D.1200

|解析|因为S=”csirt4=|,

所以Lx2xV^sinA=2,

22

所以疝偌=今因为0°<A<180",

所以A=60°或120°.

故选BD.

答案|BD

10.下列命题中，正确的是（）

A.对于任意向量a,b方|a+b|W|a|+|b|

B.若a・b=O,则a=0或b=0

C.对于任意向量a,b,有|a・b|W|a||b|

D.若a,b共线，则a-b=±|a||b|

|解析|由向量加法的三角形法则可知A正确；

当a±b时,a-b=O,故B错误；

因为|a・b|=|a||b||cos。区|a||b|,故C正确；

当a,b共线同向时,ab=|a||b|cosO°=|a||b|,

当a,b共线反向时声,b=|a||b|cosl800二-|a||b|,故D正确.故选ACD.

藜］ACD

11.(2020福建宁化第一中学高一月考)在△A3C中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是()

A.Z?=7,c=3,C=-

6

B.Z?=5,c=6,C=-

4

C.a=6,h=3y/3,B=^

D.a=20,b=\5,B=-

______6

解析A选项，因为为锐角，。=3〈加inC=：,所以三角形无解；

B选项，因为C#为锐角,c=6>b=5,所以三角形有一解；

4

C选项，因为3=三,为锐角力=3g=nsinB=3V5,所以三南形有一解；

D选项，因为B=：为锐角力=15>asinB=10,所以三角形有两解.故选BC.

6

答案|BC

12.在AABC中，下列结论正确的是()

A.AB-AC=BC

C.若(布+配).(施-元)=0,则"BC为等腰三角形

D.若前•而>0,则"BC为锐角三角形

逊质-AC=而，故A错误；

设。为向量而与后？的夹角，因为希•证=|希卜|近|・cos仇而cosdcl,故亚•前<|荏H阮I,故B

正确；

(AB+AC)-(AB-AC)-AB2-AC2=0,it\AB\=\AC\,

所以4ABC为等腰三角形，故C正确；

取A=8=*C=4，

满足前-AB=\AC\\AB|cosA>0,但△ABC为钝角三角形，故D错误.故选BC.

答案|BC

三、填空题(本题共4小题,每小题5分，共20分)

13.己知向量2=(2,-1)用=(-1,a)<=(-1,2),若但+1))〃<:,则m=,|b+c|=.

|解析|因为a=(2,-l),b=(-l,w),

所以a+b=(l,An-l).

因为(a+b)//c,c=(-l,2),

所以2-(-1)-(772-1)=0.

所以机=-1.则b+c=(-2,l),

则|b+c|=J(-2)2+I2=V5.

国嵬-1V5

14.在“8C中，若B=60°,2b="+c,则"8C的形状是.

|解析|根据余弦定理得h2=a2+c2-2accosB.

因为8=60°,2b=a+c,

2

所以(等)=a2+c2-2«ccos60°,

整理得(a-c)2=0,故a=c.

又8=60°，所以A4BC是等边三角形.

餐嵬等边三角形

15.(2019北京牛栏山一中高三期中)如图是以C为圆心的一个圆,其中弦AB的长为2,则前•

而=.

©

廨前如图，作C£)J_AB交48于点D,

则尼=AD+DC=^AB+DC,

则对屉(逆+方).荏

W丽2=2.

g32

16.在“8C中,A=30°,AB=2b,4WBC2W12,则“8C面积的范围是.

|解析[因为在AABC中,A=30°工8=2百,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos300=12+AC2-

6AC,

又因为4<BC2wi2,4W12+AC2_6ACWl2,

解得0cAeW2,或4WACW6,

而S“8c=lBAC.sin30°=yAC,

所以(XSAABCW遍或26WSAABCW3V5,

故AABC面积的范围是(0,b]U[2V3.3V3].

gg(0,V3]U[2V3,3V3]

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知a=(l,0),b=(2,l).

⑴当上为何值时,Aa-b与a+2b共线？

(2)若而=2a+3b,^=a+mb且A,B,C三点共线，求m的值.

解⑴布・b=欧1,0)・(2,1)=&2,-1),

a+2b=(l,0)+2(2,l)=(5,2).

因为ka-b与a+2b共线，

所以2(h2)-(-l)x5=0,解得A=-1.

(2)因为4,8,C三点共线,a与b不共线，

所以存在实数尢使得南=2而QWR),

即2a+3b=A(a4-mb),

整理得(8,3)=(2+2成，加I),

所以2照=8,解/

(mA=3,2

18.(12分)已知O,A,B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C,满足2元+荏=0,

⑴用而，而表示而；

(2)若点。是08的中点，证明四边形OCAO是梯形.

⑴解因为2前+而=0,

所以2(OC-OA)+(OB-元)=0,

2OC-2OA+OF-OC=0,

所以沆=26？一砺.

(2临明如图,

04=DO+OA=--~OB+0A

2

=|(2O4-OB).

故a=3瓶即DA//OC,JLDA^OC.

故四边形OCAD为梯形.

19.(12分)(2020山东高一月考)已知长方形AOCD中,OA=3,OC=2,E为OC中点,P为AO上一点，利用

向量知识判断当点P在什么位置时,NPE£)=45°.

网如图，建立平面直角坐标系，则0(0,0),C(2,0),Q(2,3),E(1,0).

设P(0,y),则前=(1,3),丽=(-l,y),

所以|前|="U,|而|=Jy2+1,前•屏=3y-1

代入_EDEP

cos45°~\ED\\EP\'

解得y=2(y=1舍去).

所以当点P在靠近点A的AB的三等分处时，/尸£»=45°.

20.(12分)在AABC中,AB=3,AC=l,N4=60°.

⑴求sinZACB;

(2)若。为BC的中点，求A。的长度.

网(1)因为在中,AB=34C=l,/A=60°.

所以由余弦定理可得

BC=AB2+AC2-2ABAC-cosA

=j32+l2-2x3xlx|=V7,

所以由正弦定理缶=急，可得

/ABsinA3X3VH

sinZACB=———T

V714

⑵因为。为BC的中点，所以CD=[BC=].

AC2+BC2-4B21+7-9_V7

又因为cosC=

2ACBC2xlxV7-14’

所以在△ACO中，由余弦定理可得

AD=J>1C2+CD2-2ACCDcosC

4+Z.2X1X^X(^)=^

21.(12分)为了测量两山顶MN之间的距离，飞机沿水平方向在A8两点进行测量AB,在同一个

铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和48间的距离，请设计一个方案,包括:◎旨出需

要测量的数据(用字母表示，并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.

B

网方要测量的数据有:A点到M,N点的俯角内,小;8点到M,W点的俯角ct2/2；A,B间的距离点如图

所示）.

②第一步:计算AM

dsina

由正弦定理得AM=2

sin(ai+a2)

第二步:计算AM