2021-2022学年山西省运城市九年级（上）期末数学试卷（学生版+解析版）

2021-2022学年山西省运城市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.（3分）方程x（x-2）=x的根是（）

A.x~~0B.x~~2C.xiX2==2D.x\~0,

2.（3分）将抛物线y=2?+l向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到的抛物线表达

式为（）

A.y=2(x-2)2+4B.y=2(x+2)2+4

C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2-2

3.(3分)在RtZvlBC中，ZC=90°,若sinA=则cosA的值为()

58212

A.—B.—C.D.

1213313

4.（3分）如图，AABC和△48'C是以点。为位似中心的位似图形，若04：04=1：2,

则△A8C与△48'C的周长比为（)

C.I：2D.1：9

5.（3分）某超市一月份的营业额为50万元，到三月底营业额累计为500万元.如果设平

均每月的增长率为x,依题意得，可列出方程为（）

A.50（l+x）2=500

B.50（l+x）3=500

C.50（l+x）2=450

D.50+50（l+x）+50（l+x）2=500

6.（3分）如图，直线/1〃/2〃/3,直线a,6与这三条直线分别交于点A,B,C和点E,F,

F,若A&BC=5：3,则所：。尸等于（）

b

C.3：5D.8：11

7.(3分)点A(-3,yi),B(1,”),C（3,*）在反比例函数），=三的图象上，则yi,

y2f”的大小关系是（）

A.y2>y3>y]B.y]>y3>y2C.y2>y2>y\D.y3>y\>y2

8.（3分）某三棱柱的三种视图如图所示，已知俯视图中tanB=4,S&ABC=7,下列结论中：

2

①主视图中，〃=3；②左视图矩形的面积为18；③俯视图NC的正切值为3其中正确的

个数为（）

左视图

A.C.1个D.0个

9.（3分）已知抛物线（a¥0）的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐标

为A（3,0）,其部分图象如图所示，下列结论中：①McVO；②庐-4ac>0；③抛物线

与x轴的另一个交点的坐标为（-1,0）；④方程a『+bx+c=l有两个不相等的实数根.其

中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.（3分）如图，在矩形ABC。中，AB=5,点E是BC上一点，将△ABE沿直线AE折叠,

点8落在矩形A8C。的内部点尸处，若tan/D4F=*,则BE的长为（）

B

、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

.（3分）若a是锐角且sina=亨，则a的度数是.

11.

12.（3分）一个盒子中装有标号为1,2,3,4的四个小球，这些球除标号外都相同，从中

随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为.

V5-1

13.（3分）我们把宽与长的比为黄金比（―^一）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形

ABCD^,AB<BC,BC=2,/ABC的平分线交边于点E,则OE的长为.

14.（3分）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长

篱笆围成，则矩形ABC。面积的最大值是.

B'---------------------'C

15.（3分）如图，在△A8C中，AB=14,AC=10,点。是BC上一点，点M是BA延长线

4

上一点，已知tanNC4M=w，ND4B=45°,则AO的长为.

MAB

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤）

16.（10分）（1）计算：V2sin45°+2cos30°+|1-tan60°|.

（2）解方程：（x+3）2=2X+6.

17.（8分）如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC的垂直平分线分别交A。，BC于点、E,

F,EF与AC相交于点。，连接AF,CE.

（1）求证：四边形AECF是菱形;

（2）已知sin/ACF=洛，CF=5,AB=6,请你直接写出sinB的值.

18.（8分）某”综合与实践”小组开展了测量运城北站关公铜像高度的实践活动，他们设

计了两个测量方案如下表.经过老师与小组利用课余时间实地考察放弃了方案一，采用

了方案二，他们在铜像底部所在的平地上选取两个不同的测点，分别测量了铜像顶端的

仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个

测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果填入表格，测量

数据如下表.

课题测量公关铜像的高度

成员组长：XXX,组员：XXX,XXX,XXX

工具侧倾器,皮尺等

设计方案说明：线段AB表示铜像，线段C。表

方案一示侧倾器，CD的高度为1.1米，点E

测量在48上，点A,B,C,D,E在同一

示平面内.需要测量的数据有8c的距

意图离,倾斜角BC的距离，倾斜角/4DE

的度数.

方案说明：线段AB表示铜像，线段CQ,

EG表示侧倾器，CD,PG的高度为

测量1.1米，点E在AB上，点4,B,C,

示D,E,F,G在同一平面内.需要测

意图量的数据有CF的距离，倾斜角N

ADE,NAGE的度数.

实施方案ZADE的平均值ZAGE的平均值CF的平均值

方案二的28.5°45°10米

测量

数据

(1)“综合与实践”小组为什么放弃方案一，你认为原因可能是什么？(写出一条即可)

(2)请你根据他们的测量数据计算关公铜像的高度.

（参考数据：sin28.50*0.48,cos28.5°~0.88,tan28.5°（盘）

19.(8分)如图，一次函数yi=x+b与反比例函数"=歹交于点A(1,a),0(-4,1),

与y轴，x轴分别交于点8,C.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)作AE，)，轴于点E,连接。E,求△AQE的面积；

(3)根据图象请直接写出当时，x的取值范围.

y

20.（9分）某经销商经销一种封面为建党100周年的笔记本，每本进价为3元，按每本5

元出售，每天可售出30本.调查发现这种笔记本销售单价每提高1元，每天的销售量就

会减少3本.

（1）当销售单价定为多少元时，该经销商每天销售这笔记本的销售利润为105元？

（2）当销售单价定为多少元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大？

最大利润是多少元？

USB

度IR中■共产竟雇立100周年

TlwIttthAmMwewryvfJrwM*taf

Th*C*fwwtwilPertyChtaw

21.（8分）阅读与思考

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

学习了反比例函数的性质后，希望学习小组又进行了深入的探究，发现：如果在双曲线

上任取两点，过这两点分别向两坐标轴垂线（垂足不同时在x或y轴上），那么垂足的连

线和这两点的连线平行.如图1,点A,B是反比例函数y=[（ZW0）在第一象限图象上

的两点，作ACy轴于点。，BCLx轴于点C,连接CQ,则AB〃CQ；如图2,点A,

8是反比例函数），=1（AH0）在第一象限图象上的两点，作轴于点。，D,BCL

y轴于点C,连接8,则AB〃CD在老师指导下希望学习小组进行严格推理，证明这

一结论是正确的.

【结论应用】

任务：（1）如图2,若40与BC交于点E,CE：BE=\：2.

喘的值为―.

②若的面积为6,则四边形OCED的面积为.

（2）智慧学习小组利用上述结论又进行了新的探究，如图3,直线EF与反比例函数），=]

(20)的图象交于A,B两点，点A在点8的上方，与x,y轴分别交于点E,凡则得

到AE=BF这一结论.

下面是该结论的部分证明：

证明：作4D_Ly轴于点£>,8C_Lx轴于点C,连接CD,

则A8〃C£),BC//DE.

.\ZDEA=ZCBF,四边形EQCB是平行四边形.

仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你补充完整.

22.(12分)综合与实践

如图1,在综合实践课上，老师让学生用两个等腰直角三角形进行图形的旋转探究.在

RtZ\ABC中，NBAC=90°,AB=AC,在RtZWWN中，ZMAN=90°,AM=AN,点

M,N分别在AC,A8边行，直角顶点重合在一起，将Rtz^AMN绕点A逆时针旋转，设

旋转角/K4C=a,其中0°<a<90°.

(1)当点M落在BC上时，如图2：

①请直接写出NBA/N的度数为(用含a的式子表示)；

□

②若tana=甲AC—1,求AM的长；

(2)如图3,连接BN,CM,并延长CM交BN于点E,请判断CE与BN的位置关系,

并加以证明；

(3)如图4,当NBAC与NMAN是两个相等钝角时，其他条件不变，即在△ABC与4

AMN中，AB=AC,AM=AN,ZMAN=ZBAC=^,NMAC=a,则NCEN的度数为

(用含a或0的式子表示).

23.(12分)综合与探究

如图，直线y=—%+4与x轴，y轴分别交于8,C两点，抛物线y=o?+%+c经过8,

C两点，与x轴的另一个交点为A(点A在点2的左侧)，抛物线的顶点为点£>.抛物线

的对称轴与x轴交于点£

(1)求抛物线的表达式及顶点。的坐标；

(2)点例是线段BC上一动点，连接。M并延长交x轴交于点F,当FM：FD=1：4

时，求点M的坐标；

(3)点P是该抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m,试判断是否存在这样的点P,

使/%B+NBCO=90°,若存在，请直接写出，”的值；若不存在，请说明理由.

2021-2022学年山西省运城市九年级(上)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)

1.(3分)方程x(x-2)=x的根是()

A.x=0B.x=2C.xi=0,X2=2D.xi=0,12=3

【解答】解：x(x-2)=x,

x(x-2)-x=0,

x(x-3)=0,

x-3=0或x=0,

解得：xi=3,X2=O；

故选：D.

2.(3分)将抛物线y=2?+l向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到的抛物线表达

式为()

A.y=2(x-2)2+4B.y=2(x+2)2+4

C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2-2

【解答】解：抛物线)=廿+1向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到的抛物线表

达式为:y=2(x+2)2+3+1,即y=2(x+2)2+4.

故选:B.

3.(3分)在RtZ\ABC中，NC=90°,若sinA=/，则cosA的值为()

58212

A.—B.—C.—D.—

1213313

【解答】解：Vsin2A+cos2A=l,即(―)2+cos2A=l,

13

ACOS2A=襟,

...cosA=，或—黄(舍去)，

•,•COSA=Y1g2.

故选：D.

4.(3分)如图，△ABC和△AbC是以点。为位似中心的位似图形，若OA：OA'=\：2,

则△A8C与△A'B'C的周长比为()

A.I：4B.I：3C.I：2D.1：9

【解答】解：OA'=1：2,

：.AC：A'C=1：2,

.♦.△ABC与△4'B'C的相似比是1：2,

.,.△ABC与B1C'的周长比为1：2,

故选：C.

5.(3分)某超市一月份的营业额为50万元，到三月底营业额累计为500万元.如果设平

均每月的增长率为x,依题意得，可列出方程为()

A.50(1+x)2=500

B.50(1+x)3=500

C.50(1+x)2=450

D.50+50(1+x)+50(1+x)2=500

【解答】解：设平均每月的增长率为x,根据题意：二月份的月营业额为50义(1+x),

三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加X,

为50X(1+x)X(1+x),则列出的方程是：50+50(1+x)+50(1+x)2=500.

故选：D.

6.(3分)如图，直线/1〃/2〃/3,直线”，人与这三条直线分别交于点A,B,C和点E,F,

F,若A8：BC=5：3,贝IjEF：。尸等于()

A.3：8B.5：8C.3：5D.8：11

【解答】解：•・•直线/1〃/2〃/3,

#DEAB5

EF~BC~3

.EF3

••=一,

DF8

故选：A,

7.(3分)点4(-3,yi),8(1,»),C(3,*)在反比例函数)，=呈的图象上，则yi,

”，户的大小关系是()

A.y2>y3>y\B.y\>y3>y2C.y2>y2>y\D.y3>y\>y2

【解答】解：•反比例函数)，=呈中，a=-3<0,

,此函数图象在二、四象限，

：-3<0,

...点A(-3,yi)在第二象限，

V3>l>0,

(1,”)，C(3,*)两点在第四象限，

•RVy3Vo.

”，”的大小关系为

故选：B.

8.(3分)某三棱柱的三种视图如图所示，已知俯视图中tanB=*,S&ABC=1,下列结论中：

2

①主视图中，"=3；②左视图矩形的面积为18；③俯视图NC的正切值为3其中正确的

个数为()

左视图

BC

俯视图

A.3个B.2个C.1个D.0个

【解答】解：由简单几何体的三视图可知，这个几何体是三棱柱，高为6,BD=4,CD

=m,

iAD

VtanB=|=gg,BD=49

：.AD=2,

又・・・SAABC=7=yC・A£）,

1

A-（4+m）X2=7,

2

解得m=3,

因此①正确；

左视图长方形的长为2,宽为6,所以面积为12,

因此②不正确；

An9

在Rt"QC中，tanC=^=*

因此③正确；

综上所述，正确的结论有①③，共2个，

故选：B.

俯视图

9.（3分）已知抛物线>=以2+版+。"wo）的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐标

为A（3,0）,其部分图象如图所示，下列结论中：①HcVO；②*-4ac>0；③抛物线

与x轴的另一个交点的坐标为（-1,0）;④方程a/+bx+c=l有两个不相等的实数根.其

中正确的个数为（）

【解答】解：①•••开口向上与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：«>0,c<

0,一名>0，b<0,

'.abc>0,错误，不符合题意；

②图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知臣-4ac>0,正确，符合题意；

③•对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐标为A（3,0）,

.•.抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（-1,0）,正确，符合题意；

④由图象可知，抛物线y=o?+bx+c与直线y=l有两个交点，

...方程/+〃x+c=l有两个不相等的实数根，正确，符合题意；

故选：C.

10.（3分）如图，在矩形ABC。中，AB=5,点E是BC上一点，将AABE沿直线AE折叠，

点8落在矩形4BC。的内部点尸处，若tan/D4FT，则BE的长为（）

【解答】解：过尸作GH〃AB交4。于G,交BC于H,如图:

;四边形4BC。是矩形，GH//AB,

二四边形ABHG是矩形，

；.NAGF=NEHF=90°,GH=AB=5,

•・・/\ABE沿直线AE折叠，点B落在矩形ABCD的内部点F处，

：.AF=AB=5,ZAFE=90°,BE=EF,

3

VtanZDAF=7q，

.GF3

AG4

设G尸=3x,则AG=4x,

222

在RtZkAbG中，AG+GF=AFf

（4x）2+（3x）2=52,

解得x=l或尤=-1（舍去），

・"G=4,GF=3,

:・FH=GH-GF=2,

VZAFE=90°,

AZAFG=90°-ZEFH=ZFEH,ZAGF=ZEHF=90°,

・•・XAGFsXFHE,

EFFHEF2

・•・一=—,即一=

AFAG54

：.EF=I，

：.BE=I，

故选:A.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）若a是锐角且sina=?则a的度数是60。.

【解答】解：Ya是锐角且sina=亨，

.\Za=60o.

故答案为：60°.

12.（3分）一个盒子中装有标号为1,2,3,4的四个小球，这些球除标号外都相同，从中

随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为1.

【解答】解：根据题意画图如下:

开始

1134

小木z\/1\

234134124123

和345356457567

共有12种等可能的情况数,其中摸出的小球标号之和大于5的有4种,

41

则摸出的小球标号之和大于5的概率为二；=

123

故答案为：

V5-1

13.（3分）我们把宽与长的比为黄金比（《一）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形

ABCD中，AB<BC,BC=2,ZABC的平分线交AD边于点E,则DE的长为3一遮.

【解答】解：...四边形ABCC是黄金矩形，AB<BC,BC=2,

，行一

：.AD=BC=2,AB=N4=NABC=90°,

平分NA8C,

AZABE=45°,

.••△ABE是等腰直角三角形,

：.AE=AB=V5-},

：.DE=AD-AE=2-（V5-I）=3-遍,

故答案为：3—yT^.

14.（3分）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长

篱笆围成，则矩形面积的最大值是32〃尸.

AD

B'------------------'C

【解答】解：设矩形的宽为笛*,面积为夕户,

根据题意得：S=x（16-2x）

=-2J?+16X

=-2（x-4）2+32,

...x=4〃?时，菜园面积最大，最大面积是32%2.

故答案为：32w2.

15.（3分）如图，在△ABC中，AB=14,AC=10,点。是BC上一点，点例是BA延长线

上一点，已知tan/CAM=&ND48=45°，则AD的长为4企.

3-------

MAB

【解答】解：过点C、。作CM_L8M,DNLBM.

VtanZCAA/=暂=

:.CM=4k,AM=3k(攵为不等于0的常数).

在RtZ\4CM中，

9：AC=V/1M24-CM2,

・・・J(4k)2+(3k)2=10.

解得k=2.

，CM=8,AM=6.

・・・8M=A8+AM=20,

在Rt/XAON中，

VZDAB=45°，

：.AN=DN.

CM_DN

VtanB=BM=~BN9

8DNDN

20-BN-14-DN

：.DN=AN=4.

・・・AZ)=4A②

故答案为：4V2.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤）

16.(10分)(1)计算：V2sin45°+2cos30°+|1-tan60°|.

(2)解方程：(x+3)2=〃+6.

【解答】解：(1)V2sin45°+2cos30°+|1-tan60°|

=&x岑+2x亨+V5-1

=1+V3+V3-1

—28；

(2)•/(x+3)2=2X+6,

(x+3)2=2(x+3),

(x+3)2-2(x+3)=0,

则(x+3)(x+3-2)=0,

.,.x+3=0或x+l=0.

••X\=~3,X2=~1.

17.(8分)如图，在平行四边形ABC。中，对角线4c的垂直平分线分别交AD,BC于点、E,

F,EF与AC相交于点。，连接AF,CE.

(1)求证：四边形AEC尸是菱形;

(2)已知sin/ACF=W，CF=5,AB=6,请你直接写出sinB的值.

【解答】(1)证明：四边形A8CZ)是平行四边形,

：.AD//BC,

：.ZEAO=ZFCO,

又：EF垂直平分4C,

：.OA=OC.EA=EC,

在△人(?£和△CO尸中，

ZEA0=/FCO

OA=0C

Z.AOE=Z.COF

:.△AOEQlXCOFCASA),

：.OE=OF,

...四边形AECF是平行四边形,

'JEA^EC

，平行四边形AECf■是菱形；

(2)解：过A作4W_LBC于M,如图所示:

"JEFYAC,

：.ZCOF=90°,

：sinNACF=*=黑，CF=5,

：.OF=V5,

：.0C=>JCF2-OF2=J52-（V5）2=2遍,

：.AC=2OC=4^5,

由（1）得：四边形AEC尸是菱形，

：.AF=CF=5,

'：AMYBC,

：.ZAMB=ZAMC=90a,

：.AM2=AF2-FM2=Ad-CM2,

即52-F〃2=（475）2_（尸M+5）2,

解得：FM=3,

；.AM=y/AF2-FM2=V52-32=4,

4M_4_2

sinB=AB=6=T

18.(8分)某“综合与实践”小组开展了测量运城北站关公铜像高度的实践活动，他们设

计了两个测量方案如下表.经过老师与小组利用课余时间实地考察放弃了方案一，采用

了方案二，他们在铜像底部所在的平地上选取两个不同的测点，分别测量了铜像顶端的

仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个

测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果填入表格，测量

数据如下表.

课题测量公关铜像的高度

成员组长：XXX,组员：XXX,XXX,XXX

工具侧倾器,皮尺等

设计方案说明：线段A8表示铜像，线段CQ表

方案一示侧倾器，CD的高度为1.1米，点E

测量在AB上，点A,B,C,D,E在同一

示平面内.需要测量的数据有8C的距

意图离，倾斜角BC的距离，倾斜角NAQE

的度数.

方案说明：线段AB表示铜像，线段CQ,

EG表示侧倾器，CD,FG的高度为

测量1.1米，点E在AB上，点A,B,C,

示D,E,F,G在同一平面内.需要测

意图量的数据有CF的距离，倾斜角/

ADE,/AGE的度数.

实施方案ZADE的平均值ZAGE的平均值CF的平均值

方案二的28.5°45°10米

测量

数据

（1）“综合与实践”小组为什么放弃方案一，你认为原因可能是什么?（写出一条即可）

（2）请你根据他们的测量数据计算关公铜像的高度.

6、

（参考数据:sin28.5°-.48,cos28.5°*0.88,tan28.5°F

【解答】解：（1）答案不唯一，如：方案一适合底部可直接到达；底部不可到达；方案

二适合测量底部不可直接到达的物体的高度；在地面上可以无障碍地直接测得测点与被

测物体的底部之间的距离；

（2）解：由题意可得：四边形COGF,四边形CDE8是矩形，

：.DG=CF=\OfBE=CD=lAf

设AE=x.

在RtZVLEG中，ZAEG=90°,ZAGE=45Q,

^tanZAGE=

，tan45°=良

•'•EG---=%,

tan450

在RlZ\AEO中，ZAED=90°,NAOE=28.5°,

Ap

9：tanZADE=

：.tan28.50=注

Y

'DE=也九28.5。'

•:DG=DE-EG,

x

10=-g—x,

IT

•»x=12,

AAB=AE+BE=12+1.1=13.1（米），

答：关公铜像AB的高度为13.1米.

A

E

BFC

19.(8分)如图，一■次函数yi=x+b与反比例函数”=［交于点A(1,a),D(-4,1),

与_y轴，x轴分别交于点B,C.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)作轴于点E,连接。E,求△AOE的面积；

(3)根据图象请直接写出当yi>”时，x的取值范围.

【解答】解：(1)；点。(-4,-1)在反比例函数y=［的图象上,

：.k=-4X(-1)=4.

...反比例函数的表达式为y=+

(2)...点4(1,a)在在反比例函数y=9的图象上，

♦・〃=4.

.•.点A的坐标为(1,4),

轴，

：.AE=\,OE=4,

作。交AE的延长线于点M,交x轴于点M

则MN=0E=4,ND=T.

：.MD=5,

115

，SAADE=］XAEXDM=3X1x5=亍

(3)当yi>”时，x的取值范围-4<x<0或x>l.

20.（9分）某经销商经销一种封面为建党100周年的笔记本，每本进价为3元，按每本5

元出售，每天可售出30本.调查发现这种笔记本销售单价每提高1元，每天的销售量就

会减少3本.

（1）当销售单价定为多少元时，该经销商每天销售这笔记本的销售利润为105元？

（2）当销售单价定为多少元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大？

最大利润是多少元？

庆国中m箕产竟周年

Th*C*fwwtwilPertyChtaw

【解答】解：（1）设每本销售单价是x元时，每天获利105元，

由题意得：（x-3）[30-3（%-5）]=105,

整理得：18x+80=0,

解得：xi=10,X2=8,

销售单价定为10元或8元，每天获利105元；

（2）设利润为w元，

则卬=（%-3）[30-3（x-5）]

=-37+54x-135

=-3（x-9）2+108,

V-3<0,

...当x=9时，w有最大值,最大值为108,

答：销售单价定为9元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大，最大

利润108元.

21.（8分）阅读与思考

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务:

学习了反比例函数的性质后，希望学习小组又进行了深入的探究，发现：如果在双曲线

上任取两点，过这两点分别向两坐标轴垂线(垂足不同时在x或y轴上)，那么垂足的连

线和这两点的连线平行.如图1,点A,8是反比例函数(ZWO)在第一象限图象上

的两点，作AOLy轴于点Q,BCLx轴于点C,连接C。，则AB〃C£>；如图2,点A,

8是反比例函数(AW0)在第一象限图象上的两点，作ACx轴于点。，D,BCL

y轴于点C,连接8,则A8〃CD在老师指导下希望学习小组进行严格推理，证明这

一结论是正确的.

【结论应用】

任务：(1)如图2,若与BC交于点E,CE：BE=1：2.

①的值为~.

AB-2-

②若△ABE的面积为6,则四边形OCEZ)的面积为3.

(2)智慧学习小组利用上述结论又进行了新的探究，如图3,直线EF与反比例函数)二［

(kWO)的图象交于A,B两点，点A在点8的上方，与x,>轴分别交于点E,F,则得

到4E=B尸这一结论.

下面是该结论的部分证明：

证明：作ACy轴于点£>,BCLx轴于点C,连接C£>,

则AB〃CD,BC//DE.

：./DEA=NCBF,四边形EDCB是平行四边形.

仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你补充完整.

图1图2图3

【解答】解：(1)®'：CD//AB,

：.△ABEs

.CDCE

•.—,

ABBE

VCE：BE=1：2,

..CO1

•——，

AB2

故答案为：

®VC£：BE=\：2,

.S&CDE_1

S&ABE4

AABE的面积为6,

3

2-

,?NCOD=NOCE=NODE=90°,

四边形OOEC是矩形，

S四边彩ODEC=2sKDE=3,

故答案为：3；

(2)如图，作轴于点D,BCJ_x轴于点C,连接CD,

贝ljA8〃C£),BC//DE.

四边形EDCB是平行四边形，

:.BE=CD,

同理，四边形4OCF是平行四边形，

：.AF=CD,

：.BE=AF,

J.AE^BF.

22.(12分)综合与实践

如图1,在综合实践课上，老师让学生用两个等腰直角三角形进行图形的旋转探究.在

为△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,在RtZXAMN中，NM4N=90°,AM=AN,点

M,N分别在AC,A3边行，直角顶点重合在一起，将RtZ\AMN绕点A逆时针旋转，设

旋转角NAMC=a,其中0°<a<90°.

(1)当点例落在8c上时，如图2：

①请直接写出N8MN的度数为a(用含a的式子表示)；

□

②若tana=甲AC=7,求AM的长;

(2)如图3,连接BN,CM,并延长CM交BN于点E,请判断CE与BN的位置关系，

并加以证明；

(3)如图4,当N8AC与NMAN是两个相等钝角时，其他条件不变，即在△ABC与4

AMN中，AB=AC,AM=AN,ZMAN=ZBAC=^,ZMAC=a,则NCEN的度数为180°

-B(用含a或0的式子表示).

【解答】解：（1）①•••将Rt^AMN绕点A逆时针旋转，设旋转角NM4C=a,

:.NMAC=NBAN=a,

VZBAC=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

VZMAN=90°,AM=AN,

：.ZAMN^ZANM=45°,

N4MW=NABC=45°,

...点A,点M,点B,点N四点共圆，

:.NBAN=/BMN=a,

故答案为：a；

②如图2,作MO_LAC于点。，

图2

设MD=3x,

'：ZBAC=90°,AB=AC,

.•.NC=45°,

.•.NOMC=/C=45°,

:.CD=DM=3x,

在RtZXAOM中，ZADM=90°,

***tCLTiAD=40=4,

：.AD=4xf

：