第08讲 认识一元二次方程（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（9年级北师大版）

第08讲认识一元二次方程1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；2．会把一元二次方程化为一般形式．一、一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.二、一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.三、一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.考点1：一元二次方程的概念例1．下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2．下列叙述正确的是（

）A．形如的方程叫一元二次方程B．方程不含有常数项C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0D．是关于y的一元二次方程例3．下列方程中，是一元二次方程的有（

）个①；②；③；④；⑤．A． B． C． D．例4．下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是A．1 B．2 C．3 D．4例5．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（

）A． B． C． D．例6．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．2，5，4 B．2，﹣5，4 C．﹣2，﹣5，4 D．2，﹣5，﹣4例7．把化成一般形式为__________，二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________．例8．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（

）A． B． C． D．考点3：根据一元二次方程的概念确定参数例9．已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝________．例10．当___________时，方程是一元二次方程．例11．关于x的方程是一元二次方程，则________．例12．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值是________．例13．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（

）A．3 B． C． D．0或例14．要使方程是关于x的一元二次方程，则（

）A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0例15．关于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足______时，方程为一元二次方程，当m满足______时，方程为一元一次方程．例16．关于x的一元二次方程，常数项为0，求m的值．下面是小莉和小轩的解题过程：小莉：由题意，得，所以．小轩：由题意，得，且，所以．其中解题过程正确的是（

）A．两人都正确 B．小轩正确，小莉不正确C．小莉正确，小轩不正确 D．两人都不正确考点4：一元二次方程的解例17．若关于的一元二次方程有一个解为，则的值是（

）A．1 B．3 C．－3 D．4例18．若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．例19．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为（）A．2﹣ B．2+ C．1 D．﹣1考点5：根据一元二次方程的解整体代换及相关变形例20．若m是方程的一个根，则的值为_____．例21．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（

）A．2022 B．2020 C．2019 D．2021例22．已知a是方程的一个根，则的值为（

）．A． B．2022 C．2021 D．无法计算例23．关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为______．考点6：试根法和利用整体未知数求解方程的解法例24．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（

）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定例25．关于的方程必有一个根为（）A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2例26．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022例27．如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有(

)A．2个 B．3个 C．6个 D．8个例28．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（

）A．2020 B． C．-2020 D．考点7：复杂的一元二次方程的解的求值及其他问题例29．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是___．例30．若是关于方程的两个实数根，则实数的大小关系是（）A． B． C． D．例31．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则的值为（）A．2 B．0 C．-2 D．-1考点8：一元二次方程的解的估算例32．根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值．x1.631.641.651.66…x2+2x5.91695.96966.02256.0756…根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是______（精确到0．01）一、单选题1．（2022·青海·统考中考真题）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（）A．4 B． C．3 D．2．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（

）A．0 B．1 C．−3 D．−13．（2022·四川遂宁·统考中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（

）A． B．0 C．2022 D．4044二、填空题4．（2019·四川资阳·统考中考真题）a是方程的一个根，则代数式的值是_______．5．（2018·湖北荆门·统考中考真题）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____．一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，3．下列方程中是一元二次方程的是（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③4．一元二次方程成立的条件是（

）A． B． C．为任意实数 D．无法确定5．已知方程的一个根是，则的值是（

）A． B． C． D．6．已知是方程的一个根，则式子的值等于（

）A． B． C． D．7．若是一元二次方程，则m的值为（

）A．2 B． C． D．8．已知关于方程的两个实数根是，，则方程的两个实数根是（

）A．， B．，C．， D．；9．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（）A． B．1 C．1或 D．或010．根据下表的对应值，试判断一元二次方程的一个解的取值范围是（）x140.060.02A． B．C． D．二、填空题11．若方程的二次项系数是4，则方程的一次项系数是______，常数项是_______．12．方程是一元二次方程，则的值是________．13．一元二次方程的一般形式是_____________．14．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为______．15．若关于的一元二次方程（）的一个解是，则______．16．若关于x的方程的一个根是3，则b的值为______．17．若是一元二次方程的一个根，则的值是________________．18．若m是关于x的方程的根，则的值为______．三、解答题19．判断下列各式哪些是一元二次方程．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．20．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)；(2)21．填表：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项22．已知一元二次方程，(1)如果方程有一个根是，那么，，之间有什么关系？(2)如果方程有一个根是，那么，，之间有什么关系？(3)如果方程有一个根是，那么未知项的系数或常数项有什么特征？23．判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根．(1)（，，）．(2)．(3)．(4)．24．当k取何值时，关于x的方程（k﹣5）x2＋（k＋2）x＋5＝0(1)是一元一次方程？(2)是一元二次方程？25．已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写