教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷1（共194题）

教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷1（共8套）（共194题）教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷第1套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、已知直线l与平面α，两者之间的关系可能为()．A、直线l在平面α上B、直线l与平面α相交C、直线l与平面α平行D、以上情况都可能标准答案：D知识点解析：直线与平面有三种位置关系：直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行．2、已知P是平面α外的一点，则下列说法中正确的是()．A、过点P有且只有一条直线与α平行B、过点P有无数条直线与α垂直C、过点P有且只有一个平面与α平行D、过点P有且只有一个平面与α垂直标准答案：C知识点解析：过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，所以A项错误；过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，所以B项错误；过平面外一点，有无数个平面与该平面垂直，所以D项错误；C项说法正确．3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以下有()对直线间的夹角为90°．①A1B和C1D②AD1和A1C1③BC和DD1④BC1和A1B1⑤AD和BC1A、2B、3C、4D、5标准答案：B知识点解析：夹角为直角的是①③④；AD1和A1C1的夹角为60°；AD和BC1夹角为45°．4、在三棱柱ABC一A1B1C1，底面ABC是边长为2的正三角形，A1在底面的投影为BC边的中点O，∠A1AB=45°，则侧棱长为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：如图所示，因为O是A1在底面的投影，所以cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB．又因为∠A1AB=45°，∠OAB=30°，所以5、如图所示，已知面PCD与面ABCD的二面角为90°，ABCD为矩形，AB=2BC=PC=PD=2，0为CD的中点，则S△PAB’S△OAB=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：因为△PAB与△QAB同底，所以面积的比即为高的比．如图所示，N为AB边中点，连接ON、PN、PO，又因为面PCD⊥面ABCD，ABCD为矩形，PC=PD=2，所以AB=CD=2，O即为P在底面的投影，OP⊥面ABCD，所以△PON为直角三角形，又ON=1，所以因此S△PAB：S△OAB=PN：ON=2：1．6、在四棱锥P—ABCD中，底面为正方形，M为PA的中点，则PC、BM的位置关系为()．A、平行B、相交C、异面D、以上情况都可能标准答案：C知识点解析：因为底面为正方形，且M为PA的中点，取PD中点O，BC中点N，连接ON、OM，所以OM//AD//BC，因为所以四边形MBNO为平行四边形，ON//BM．ON交面PDC于O点，因为PC面PDC，N面PDC，所以ON与PC为异面直线，即BM与PC为异面直线．7、已知AC1是长方体ABCD—A1B1C1D1内的体对角线，长度为底面是边长为2的正方形，则异面直线BB1与AC1的距离为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：如图所示，取BB1中点P，AC1中点O，O在面ABB1A1上的投影为O’，所以OO’⊥面ABB1A1，连接AP、C1P、OP、O’P，因为底面是边长为2的正方形，所以又因为O’P⊥BB1，OO’⊥BB1，所以BB1⊥面POO’，又OP面POO’，所以OP⊥BB1．在△APC1中，AP=C1P，O为AC1中点，所以OP⊥AC1，线段OP的长度即为异面直线BB1与AC1的距离，求得8、如图所示，BD1为正方体的体对角线，长度为cm，M、N分别为线段AA1、BD1上的动点．t=0s时，M与点A重合，N与点B重合；经过5s后，M与点A1重合，N与点D1重合．则下列图像中能表示MN长度s与时间t的关系的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据N点到底面的距离等于M点到底面的距离，即MN一直在平行于底面的平面内，如图，过M点作面MEFG//底面ABCD，N点运动的轨迹的投影在EG上，即EG与BD1的交点为N，连接MN，t∈[0,5].在时，取最小值t=0s或5s时取最大值2cm，且时的图像关于对称，排除C项；s与t非线性关系，排除A项；求MN的导数可得所以答案选D．9、已知正六棱锥的底面边长为2，侧面与底面的夹角的余弦值为则该六棱锥的高h=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：顶点在底面的投影P’到正六棱锥的底面边的距离因为侧面与底面的夹角的余弦值为所以正切值为二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、如图，圆锥的地面半径为5cm，侧面积为65πcm1，若圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：因为圆锥的侧面积=底面半径×母线长×π，故该圆锥母线长为则11、如图，在正三棱柱ADE一BCF中，底面边长为4，ME=3MF，AB=4，则S△ACM=__________．FORMTEXT标准答案：10知识点解析：方法一：取BC、AD中点G、H并连接，与AC交于P，M在面ABCD上的投影N在GH上．过N点作NO⊥AC，根据三垂线定理得，MO⊥AC，PN=1．因为△PON∽△PGC，所以所以S△ACM=10．方法二：因为EF⊥AE，AB⊥BC，EF⊥CF，即△AEM、△MFC、△ABC为直角三角形，因为△BCF为边长为4的正三角形，ME=3MF，AB=4，所以BC=CF=AE=4，EF=AB=4，12、一实心圆柱体的底面半径为1，高为如图，在圆柱体表面移动，自A点到B点的最短距离为_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：将侧面展开，A到B的距离为沿A—C—B的距离为l2=2+≈3.414.l1＞l2，所以从A移动到B的最短距离为13、如图为一圆台的俯视图，小圆半径为r，大圆半径为R，小圆的面积是大圆面积的一半，且母线与底面的夹角为60°，则该圆台的侧面积为__________(用r表示)．FORMTEXT标准答案：2πr2知识点解析：由已知得正视图如图所示，因为母线与底面的夹角为60°，所以圆台侧面积公式为S侧=π(R+r)l，代入数据得14、在棱长为2的正四面体内，对棱间的距离为_______，正四面体的高为______，体积为________，表面积为________。FORMTEXT标准答案：知识点解析：可以将棱长为2的正四面体放在边长为的正方体内，如图所示D—ABC，六条棱为六个面的对角线，对棱间的距离为正方体的边长体对角线因为VE－ACD=VA－CDE，所以三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)15、如图所示，已知α//β，λ∩α=α，λ∩β=b．证明：a//b．标准答案：因为α//β，aα，所以α//β，又因为以aγ，且γ∩β=b，所以a//b．知识点解析：暂无解析16、已知直三棱柱的六个顶点都在直径为4的球面上，△ABC为等边三角形．当AB的长度为多少时，三棱柱AlBC—A11C1的体积最大，并求出最大值．标准答案：M为AA1中点，D为BC中点，O为直三棱柱外接球的圆心，O’为底面的中心，连接OO’．根据直三棱柱外接球的性质得：直三棱柱的外接球的圆心到顶面和底面的距离相等，令g(x)=x3+4x2，则g’(x)=－x2+8x=0，解得x=0或8．因为a2<12，所以x∈(0，12)．在x=8时取最大值Vmax=8，此时所以当时，三棱柱ABC—A1B1C1的体积最大，最大值为8．知识点解析：暂无解析如图所示一不规则的多面体零件，底面是正三角形，AD⊥面ABC，DF//AC，17、证明：AD、BE、CF的延长线交于一点；标准答案：如图取AC中点P，连接FP．假设三线不重合，AD延长线与CF延长线交于M点，AD延长线与BE延长线交于N点．因为AM=AN且M、N在AD的延长线上，所以M点与N点重合，即AD、BE、CF的延长线交于一点．知识点解析：暂无解析18、求面ABC与面DEF的二面角的值．标准答案：如图过E作EM⊥AB，在EM取一点F’，使EF’=AD，连接AF’，CF’．因为AD⊥AB，所以EF’//AD．F’M=EM—EF’=1．过M作MN⊥AC，连接F’N，则∠F’NM即为所求角，知识点解析：暂无解析19、已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠BAC=90°，BC=AB=2，AA1=2．M、N分别为BB1、CC1上的点，且3BM=MB1，3CN=NC1，求MN到面A1BC的距离．标准答案：取BC中点D，B1C1中点E，连接A1D、DE、A1E．AD，DE交MN于O点，因为3BM=MB1，3CN=NC1，所以MN//BC．又因为所以MN//面A1BC.O为MN上的点，点O到面A1BC的距离即为MN到面A1BC的距离．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1//DE，因为AA1⊥面ABC，所以DE⊥面ABC．又因为∠BAC=90°，所以AB=AC，BC⊥ED，BC⊥AD，所以BC⊥面ADEA1．又因为BC面A1BC，所以面A1BC⊥面ADEA1，所以O在面A1BC的投影O’在A1D上．在△DOO’和△DA1E中，因为∠ODO’=∠A1DE，∠OO’D=∠A1ED=90°，所以△DOO’∽△DA1E，因为A1E=AD，OD=BM，所以A1E=AD=cos45°·AB=1，所以即MN到面A1BC的距离为知识点解析：暂无解析20、已知AB是与平面α相交于B点的线段，点A在平面α内的投影为O，C是平面上的点，且证明：cos∠ABC=cos∠ABO·cos∠CBO．标准答案：如图所示建立坐标系，设A(0，0，a)，B(b，0，0)，C(x，y，0)，O(0，0，0)，所以cos∠ABC=cos∠ABO·cos∠CBO．知识点解析：暂无解析如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、BD、BB1的中点，AA1=2．21、求异面直线MN、D1P的距离；标准答案：如图建立直角坐标系，则D1(0，0，2)，P(2，2，1)，M(0，2，1)，N(1，1，0)，设公垂线方向的法向量，n=(x，y，z)，取y=1，则n=(－3，1，－4)．又因为所以MN、D1P的距离为知识点解析：暂无解析22、求二面角N—D1P—M的余弦值．标准答案：M在面BB1D1D的射影M’为矩形BB1D1D的中心，连接MM’，过M’作M’Q⊥D1P，连接MQ，则∠MQM’即为所求二面角．在△D1B1P和∠PQM’中，已知D1P=3，又M’为矩形BB1D1D的中心，P为B1B的中点，则M’P//D1B1，所以∠M’PQ=∠PD1B1，所以△D1B1p∽△PQM’，知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷第2套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、已知P是平面α外的一点，则下列说法中正确的是()．A、过点P有且只有一条直线与α平行B、过点P有无数条直线与α垂直C、过点P有且只有一个平面与α平行D、过点P有且只有一个平面与α垂直标准答案：C知识点解析：过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，所以A项错误；过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，所以B项错误；过平面外一点，有无数个平面与该平面垂直，所以D项错误；C项说法正确．2、如图所示，已知面PCD与面ABCD的二面角为90°，ABCD为矩形，AB=2BC=PC=PD=2，O为CD的中点，则S△PAB：S△OAB=()．A、2：1B、C、D、标准答案：A知识点解析：因为△PAB与△OAB同底，所以面积的比即为高的比．如图所示，N为AB边中点，连接ON、PN、PO，又因为面PCD⊥面ABCD，ABCD为矩形，PC=PD=2，所以AB=CD=2，O即为P在底面的投影，OP⊥面ABCD，所以△PON为直角三角形，又OP=，ON=1，所以PN==2，因此S△PAB：S△OAB=PN：ON=2：13、如图所示，BD1为正方体的体对角线，长度为cm，M、N分别为线段AA1、BD1上的动点．t=0s时，M与点A重合，N与点B重合；经过5s后，M与点A1重合，N与点D1重合．则下列图像中能表示．MN长度s与时间t的关系的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据BD1=cm，可知AA1=2cm，vM=cm／s，vN=cm／s，N点到底面的距离等于M点到底面的距离，即MN一直在平行于底面的平面内，如图，过M点作面MEFG∥底面ABCD，N点运动的轨迹的投影在EG上，即EG与BD1的交点为N，连接MN，EN=，MN=，t∈[0，5]．在t=s时，取最小值cm，t=0s或5s时取最大值2cm，且t∈与t∈时的图像关于t=对称，排除C项；s与t非线性关系，排除A项；求MN的导数可得；所以答案选D．4、已知α∥β，，则a与b的位置关系是()．A、平行B、异面C、平行或异面D、无法判断标准答案：C知识点解析：借助长方体模型(如图所示)可知，a与b有两种情况，一种是平行，一种是异面，所以答案选C．5、如图所示，在棱长为1的正方体内，M为AB的中点，P为D1M上的动点，当P点到CC1的距离最小时，P点距D1点的距离是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：取A1B1中点N，连接MN、D1N，过P点作PP′∥MN，P点至CC1，的距离即转化为P′点到C1的距离．P点在面A1B1C1D1射影的轨迹为D1N，当C1P′⊥D1N时，P′距C1最短．因为Rt△C1P′D1∽Rt△D1A1N，所以D1P′=，又因为Rt△D1P′P∽Rt△D1NM，所以D1P=.6、如图所示，多面体为正方体ABCD—A1B1C1D1沿面对角线B1C、CD1、B1D1切割后得到的部分，则它的左视图为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：三视图为正视图、左视图和俯视图．B项为正视图或左视图，C项为俯视图．7、如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则两平面的关系为()．A、平行B、相交C、异面D、无法判断标准答案：D知识点解析：一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则两个平面既可能相交，也可能平行．面与面的位置关系只有平行和相交，没有异面．所以本题选D．8、某零件如图所示，则它的俯视图为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于零件上突出部分的棱可以看到，故排除B、C；根据零件各部分的面积比例排除A．故本题选D项．9、一个带盖的长方体容器，底面是边长为10cm的正方形，高为11cm，最多可放入()个半径为1cm的圆球．(要求盖子正好盖住容器，厚度忽略不计)A、107B、123C、125D、132标准答案：D知识点解析：根据题意要尽可能多地往容器中放球，有两种摆放方式，一种如图a所示，一层可以放，恰好能盖住盖子，这时可放入125个；一种如图b所示，第一层有25个，第二层有(5—1)×(5—1)=16个，第三层有25个，第四层有16个……以此类推，O1O2O3为边长为2cm的等边三角形，高为cm，两层球时的高度为cm，三层时高度为cm，四层时高度为≈7．196cm，五层时高度为≈8．928cm，六层时高度为≈10．660cm，七层时高度为≈12．392＞11cm，所以只放能六层，此时若第六层放25个球，总高度为≈10．928＜11cm，故这时可放入25+16+25+16+25+25=132个．所以第二种情况放入的球多，最多能放入132个．10、在三棱柱ABC—A1B1C1中，D、E、F分别是A1C1、BB1、CC1的中点，则与面ABB1A1平行且在面DEF内的直线有()．A、0条B、1条C、2条D、无数条标准答案：D知识点解析：作距面ABB1A1距离为d的平行面α，因为面ABB1A1与面DEF相交，所以α与面DEF相交，交线为l，又因为α∥面ABB1A1，，所以l∥面ABB1A1且．α有无数种可能，所以在面DEF中，有无数条直线与l平行，所以答案选D．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、如图，在正三棱柱ADE—BCF中，底面边长为4，ME=3MF，AB=4，则S△ACM=__________．FORMTEXT标准答案：10知识点解析：取BC、AD中点G、H并连接，与AC交于P，M在面ABCD上的投影N在GH上．过N点作NO⊥AC，根据三垂线定理得，MO⊥AC，MN=，PN=1．因为△PON∽△PGC，所以NO=，所以OM=。S△ACM=10．12、在棱长为2的正四面体内，对棱间的距离为________，正四面体的高为________，体积为________，表面积为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：可以将棱长为2的正四面体放在边长为的正方体内，如图所示D—ABC，六条棱为六个面的对角线，对棱间的距离为正方体的边长；体对角线BE=hE—ACD+hB—ACD=，因为VE—ACD=VA—CDE，所以hE—ACD=，hB—ACD=；VA—BCD=V正方形—4×VE—ACD=；表面积SA—BCD=4×S△ABC=．13、在一个边长为a的正方体内，能切除的最大球体的体积为_________，球体的表面积为_________．FORMTEXT标准答案：πa3πa2知识点解析：正方体切除的球体的最大直径为a，则体积为V=，表面积为S=4πr2=πa2．14、如图所示的多面体ABCDEF，△ADE是等边三角形，ME∥底面．F为EM延长线上的动点，ME=2，底面四边形ABCD是长为4，宽为2的矩形，面ADE⊥面ABCD，当面BCF与底面ABCD的夹角为_________时，VM—ABCD=VF—BCM+VE—ADM，此时ME：MF=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：因为VE—ADM=，VM—ABCD=，所以VF—BCM=；以面CFM为底，B点到面CFM的距离即为A点到面CDEF的距离，C点到FM的距离为2，则，求得MF=6，所以ME：MF=1：3；当MF=6时，F点在底面的射影F′到BC的距离为F′N=6+2—4=4，FF′=，所以tan∠FNF′=，则面BCF与底面ABCD的夹角为∠FNF′的余角，所以夹角为π—．15、分别以Rt△ABC的两条直角边为轴，旋转360°后，得到两种圆锥，体积比为4：1，则它们的侧面积比为________．FORMTEXT标准答案：4：1知识点解析：设Rt△ABC的两直角边长分别为a、b，根据题意旋转后得到的圆锥体积分别为，两圆锥体母线长均为l=，因为=4：1，则a：b=4：1．两圆锥的侧面积S侧1=πal，S侧2=πbl．所以侧面积的比为a：b=4：1．三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)如图所示一不规则的多面体零件，底面是正三角形，AD⊥面ABC，=AD=DF=2，DF∥AC，，∠EBA=．16、证明：AD、BE、CF的延长线交于一点.标准答案：如图取AC中点P，连接FP．假设三线不重合，AD延长线与CF延长线交于M点，AD延长线与BE延长线交于N点．根据题意可知，因为AD⊥面ABC，，所以AD⊥AC，AD⊥AB．因为=AD=DF=2，AB=AC,即=AP，又DF∥AC，所以AD∥FP，且AD=FP=2，FP⊥AC，CP=FP=2，∠PCF=．在Rt△ACM中，∠PCF=，∠MAC=，AC=4，所以AM=4．在Rt△ABN中，∠EBA=，∠NAB=，AB=4，所以AN=4．因为AM=AN且M、N在AD的延长线上，所以M点与N点重合，即AD、BE、CF的延长线交于一点．知识点解析：暂无解析17、求面ABC与面DEF的二面角的值．标准答案：如图过E作EM⊥AB，在EM取一点F′，使EF′=AD，连接AF′，CF′．因为AD⊥AB，所以EF′∥AD．又因为EF′=AD，因为所以面DEF∥面AF′C，面ABC与面DEF的二面角即为面ABC与面AF′C的二面角．又因为AD⊥面ABC，，所以面ABC⊥面ABED，F′在面ABC投射影即为M．可求出CF=，=BM=3，F′M=EM—EF′=1．过M作MN⊥AC，连接F′N，则∠F′NM即为所求角，MN=AMsin60°=，因此tan∠F′NM=,所以面ABC与面DEF的二面角为。知识点解析：暂无解析如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、BD、BB1的中点，AA1=2．18、求异面直线MN、D1P的距离.标准答案：如图建立直角坐标系，则D1(0，0，2)，P(2，2，1)，M(0，2，1)，N(1，1，0)，=(2，2，—1)，=(1，—1，—1)．设公垂线方向的法向量n=(x，y，z)，则取y=1，则n=(—3，1，—4)．又因为=(1，1，1)，所以MN、D1P的距离为d=。知识点解析：暂无解析19、求二面角N—D1P—M的余弦值．标准答案：M在面BB1D1D的射影M′为矩形BB1D1D的中心，连接MM′，过M′作M′Q⊥D1P，连接MQ，则∠MQM′即为所求二面角．在△D1B1P和△PQM′中，已知B1D1=，M′P=，D1P=3，又M′为矩形BB1D1D的中心，P为B1B的中点，则M′P∥D1B1，所以∠M′PQ=∠PD1B1，所以△D1B1P∽△PQM′，M′Q=，又因为MM′=，所以tan∠MQM′==3，求得cos∠MQM′=。知识点解析：暂无解析20、已知直线a、b及它们在面α的投影a′、b′．某同学认为，a′∥b′是a∥b的充要条件．判断该同学的观点是否正确，并说明理由．标准答案：该同学观点错误．如图(1)所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，假设A1D为a，BC1为b，异面直线a与b在底面ABCD的投影分别为AD与BC，即a′与b′，因为AD∥BC即a′∥b′，而a与b异面，所以由a′∥b′不能推出a∥b．如图(2)所示，已知a∥b，过a作平面α，a在面α投影a′即为a，过b作平面β⊥平面α，则交线即为b在面α的投影b′，且．假设a′与b′相交于O点，则a∩面β=O，所以a与面β内的所有直线的位置关系只有相交和异面两种情况，与a∥b矛盾，即a′与b′相交的假设不成立，所以a∥b，则a′∥b′．综上所述，a′∥b′是a∥b必要不充分条件，所以该同学观点错误．知识点解析：暂无解析21、已知四棱锥P—ABCD底面为梯形，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD⊥AB，AB=2PD=2CD=AD=2．求二面角P—BC—D的正切值．标准答案：延长BC，过D作DE垂直于BC并交于E点，∠PED即为所求二面角．取AB中点F，连接CF．因为AF∥CD且AF=CD=1，所以AD∥CF且AD=CF=2．又因为AD⊥AB，所以CF⊥AB，由此求得CB=．在△DEC和△CFB中，因为∠DEC=∠CFB=90°，∠DCE+∠CDE=∠DCE+∠BCF=90°所以∠CDE=∠BCF，所以△DEC∽△CFB．，求得DE=，所以tan∠PED=，即二面角P—BC—D的正切值为.知识点解析：暂无解析在直角梯形中(图a)，AD=AB==1，沿对角线BD将梯形ABCD折叠成如图(b)所示的四面体．当△ABD的面积是△CBD在底面投影面积的2倍时，求：22、二面角A—BD—C的余弦值.标准答案：如图所示，C点在底面的投影为O，E、F为AB、AD的中点，过O作OM⊥BD，连接CM，则∠CMO即为所求二面角，△OBD即是△CBD在底面的投影，△ABD与△CBD同底．因为S△ABD=2S△OBD，所以O在EF的延长线上，则OM=．又因为S△BCD=，所以CM=，所以cos∠CMO=，即二面角A—BD—C的余弦值为．知识点解析：暂无解析23、AC的长度．标准答案：因为OC⊥底面ABC，△COA为直角三角形，根据(1)可知OC2=CM2—OM2=，过A作AP⊥BD交EF于Q，AQ=.又因为BP=，所以PM==OQ，则OA2=AQ2+OQ2=，则AC=.知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷第3套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、已知直线l与平面α，两者之间的关系可能为()．A、直线l在平面α上B、直线l与平面α相交C、直线l与平面α平行D、以上情况都可能标准答案：D知识点解析：直线与平面有三种位置关系：直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行．2、在三棱柱ABC—A1B1C1，底面ABC是边长为2的正三角形，A1在底面的投影为BC边的中点O，∠A1AB=45°，则侧棱长为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：如图所示，因为O是A1在底面的投影，所以cos∠A1AB=cos∠A1AO.cos∠OAB．又因为∠A1AB=45°，∠OAB=30°，所以cos∠A1AO=，AO=cos30°.AB=，A1A=．3、已知AC1是长方体ABCD—A1B1C1D1内的体对角线，长度为，底面是边长为2的正方形，则异面直线BB1与AC1的距离为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：如图所示，取BB1中点P，AC1中点O，O在面ABB1A1上的投影为O′，所以OO′⊥面ABB1A1，连接AP、C1P、OP、O′P，因为底面是边长为2的正方形，AC1=，所以BB1=，AP=C1P=．又因为O′P⊥BB1，OO′⊥BB1，所以BB1⊥面POO′，又，所以OP⊥BB1．在△APC1中，AP=C1P，O为AC1中点，所以OP⊥AC1，线段OP的长度即为异面直线BB1与AC1的距离，求得OP=．4、下列叙述正确的是()．A、直线l在平面α内B、a∩b=A点A既在平面a上，又在平面b上C、α∩β=A平面α与平面β相交于A点D、l∥α平面外的直线l平行于平面α标准答案：A知识点解析：规定“点”用大写字母表示，如A、B、C；“平面”用小写的希腊字母表示，如α、β；“直线”用两个大写的英文字母如AB，或一个小写的英文字母表示，如a、b．a∩b=A应该是直线a与直线b交于A点，所以B项说法错误．α∩β=A表示A点在平面α与平面β的交线上，所以C项说法错误．l∥α有两种情况，一种是平面外的直线l平行于平面α；一种是直线l在平面α上，所以D项错误．5、有两个圆柱形的木块A、B，底面直径的比为1：2，高的比为2：1，则木块A、B的体积比为()．A、1：1B、1：2C、1：4D、2：1标准答案：B知识点解析：圆柱体的体积公式为S=S底×h=πr2h=，所以，故A、B的体积比为1：2．6、已知三个半径为2的球两两相切，球心分别为O1、O2、O3，以三球球心为底面顶点的正三棱锥P—O1O2O3的表面积为．则，分别与球O1、O2、O3相切，且以P为球心的球的半径为()．A、2B、C、4D、标准答案：A知识点解析：根据三棱锥P—O1O2O3的表面积为，可以求出该正三棱锥为正四面体，则PO1=PO2=PO3=4，又因为相切球的球心距离等于两球的半径之和，所以所求球体的半径为r=4—2=2．7、如图所示，一只蚂蚁在底面半径为1cm，高为cm的圆锥侧面运动，自A点出发运动一圈后又回到A点的最短距离为()．A、2πB、2C、D、3标准答案：C知识点解析：沿PA将圆锥展开，如图所示，A点到A′点的最短距离为AA′．半径为1cm，高为cm，则母线长为3cm，∠APA′=，所以AA′=.8、P—ABC为正三棱锥，其高是底面边长的倍，则底面面积与△PMC面积的比值为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：设底面边长为a，M为AB中点，根据正三角形性质可知，CM=，因为高OP是底面边长的倍，即OP=．所以S△ABC=，S△PMC=，S△ABC：S△PMC=.9、如图所示的四面体A—BCD，AD⊥面BCD，BD⊥CD，BD=1，CD=2，AD=2，则该四面体的内切球的半径为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：四面体内切球半径r即内切球的圆心O到面的距离，利用体积法得VA—BCD=VO—ABC+VO—ACD+VO—ABD+VO—BCD，根据已知得AB=．S△ABD=1，S△BCD=1，S△ACD=2，S△ABC=，故2=+2r+r+r，解得r=.二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)10、如图，圆锥的地面半径为5cm，侧面积为65πcm2，若圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：因为圆锥的侧面积=底面半径×母线长×π,故该圆锥母线长为=13cm，则sinθ=．11、如图为一圆台的俯视图，小圆半径为r，大圆半径为R，小圆的面积是大圆面积的一半，且母线与底面的夹角为60°，则该圆台的侧面积为________(用r表示)．FORMTEXT标准答案：2πr2知识点解析：由已知得．正视图如图所示，因为母线与底面的夹角为60°，所以l=．圆台侧面积公式为S侧=π(R+r)l，代入数据得S侧==2πr2．12、已知有三条直线a、b、l，且a⊥l，b⊥l，则a与b可能的位置关系为：_________．FORMTEXT标准答案：平行、异面、相交知识点解析：在空间范围内，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系有三种可能：平行，异面，相交．13、已知三棱锥A—PBC，AP=3，PB=PC=4，且AP⊥底面PBC，cos∠BPC=，则二面角A—BC—P的正弦值为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：如图所示，三棱锥A—PBC，M为BC中点，连接PM，AM，根据余弦定理cos∠BPC=，计算得BC=6，因为AP⊥底面PBC，PM⊥BC，所以AP⊥BC，BC⊥AM，∠AMP即为所求二面角，AM==4，sin∠AMP=.14、如图所示，A、B两点在面α上，且AB∥l，已知A点到l的距离为2，AB=2．现以l为轴，将A点旋转120°后得到A′点，则A′B=________.FORMTEXT标准答案：4知识点解析：根据要求作图，过A点作AO⊥l，连接A′O、BO、A′B，∠AOA′=120°，A′O=AO=2，A′O⊥l，所以l⊥面AOA′．又因为AB∥l，所以AB⊥面AOA′，所以AB⊥AA′．AA′2=OA2+OA′2—2×OA×OA′cos120°=12，A′B==4．15、如图所示的直三棱柱，AB⊥BC，MA=MA1=AB=BC=1，则面MBC1与底面ABC的夹角的正切值为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：延长C1M与CA，交于N点，连接BN，则BN即为面MBC1与底面ABC的交线．过A点作AD⊥DN，连接MD，因为三棱柱为直三棱柱，所以MA⊥面ABC，又，所以MA⊥BN，又MA∩AD=A，所以BN⊥面MDA，即BN⊥MD，所以∠MDA即面ABC与面MBC1的二面角，根据余弦定理求得．BN=．因为MA=CC1，MA∥CC1，所以NA=AC=，因为AB=BC=1，BC⊥AB，所以∠NAB=，在S△ABN=，即，求得AD=，所以两平面夹角的正切值tan∠ADM=.三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)16、已知直三棱柱的六个顶点都在直径为4的球面上，△ABC为等边三角形．当AB的长度为多少时，三棱柱ABC—A1B1C1的体积最大，并求出最大值．标准答案：M为AA1中点，D为BC中点，O为直三棱柱外接球的圆心，O′为底面的中心，连接OO′．根据直三棱柱外接球的性质得：直三棱柱的外接球的圆心到顶面和底面的距离相等，AO=2，OO′=AA1=AM，AM∥OO′OM=AO′且OM∥AO′．设AB=a，a∈(0，4)，则，AM=，V=×AD×AA1代入数据化简得V=，设a2=x，则上式可以化简为V=，令g(x)=+4x2，则g′(x)=—x2+8x=0，解得x=0或8．因为a2＜12，所以x∈(0，12)．在x=8时取最大值Vmax=8，此时a=．所以当AB=时，三棱柱ABC—A1B1C1的体积最大，最大值为8．知识点解析：暂无解析17、已知AB是与平面α相交于B点的线段，点A在平面α内的投影为O，C是平面上的点，且．证明：cos∠ABC=cos∠ABO.cos∠CBO．标准答案：如图所示建立坐标系，设A(0，0，a)，B(b，0，0)，C(x，y，0)，O(0，0，0)，所以cos∠ABC=cos∠ABO.cos∠CBO．知识点解析：暂无解析已知正四面体的外接球的体积为．求：18、正四面体的体积；标准答案：在正四棱锥P—ABC中，M是AB中点，N是底面中心，O是外接球球心．设正四面体的边长为a，根据正四面体和等边三角形性质可知，N为P点在底面的投影．CM=PM=，CN=2MN=.在Rt△PNC中，PN=.因为O为外接球的球心，所以OC=OP，则(PN—OP)2+CN2=OP2．由此解得OP=．因为外接球的体积V=，所以由a=2，r=.VP—ABC=.知识点解析：暂无解析19、相邻两个面夹角的余弦值．标准答案：∠PMC即为相邻两个面夹角，cos∠PMC=.知识点解析：暂无解析已知正三棱柱ABC—A1B1C1，底面边长为1，A1A=2AB，M、N分别为CC1、AB的中点。20、求异面直线A1B1与MN的距离标准答案：如图，取A1B1中点P，连接PN，过P作PQ⊥MN交于Q点，因为AA1⊥面A1B1C1，PN∥AA1，所以PN⊥面A1B1C1，所以PN⊥A1B1．在等边三角形A1B1C1中，P为A1B1中点，所以C1P⊥A1B1．因为所以A1B1⊥面CC1PN，又因为，所以A1B1⊥PQ，又因为PQ⊥MN，所以PQ是异面直线A1B1、MN的公垂线，即为两直线间的距离．在△PQN和△NCM中，∠PNQ+∠MNC=∠PNQ+∠NPQ=90°，所以∠MNC=∠NPQ，又因为∠PQN=∠NCM=90°，所以△PQN∽△NCM，所以PQ=.因为PN=A1A=2AB=2，CN=，求得MN=，所以PQ=，即异面直线A1B1、MN的距离为.知识点解析：暂无解析21、求MN与底面所成的角．标准答案：因为M在底面的投影为C点，MN在底面的投影为CN，所以∠MNC即为MN与底面的夹角，tan∠MNC=，所以MN与底面所成的角为.知识点解析：暂无解析如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，侧面是面积为的等边三角形，E为PC中点，F在PB上，G在PD上，且．22、证明：点A、E、F、G在同一平面标准答案：连接AC、BD、AE、FG，AC∩BD=O，以O为原点，AC为x轴，BD为y轴，OP为x轴，建立空间直角坐标系，设AE∩OP=M，FG∩OP=N．在正四棱锥P—ABCD中，因为侧面是面积为的等边三角形，设边长为a，即，解得a=4，所以AC=BD=，OP=，则各点的坐标为：，又因为，，则FG∥BD所以，N坐标为，因为，所以M的坐标为，即点M和点N重合，所以AE与GF交于一点．又因为经过两条相交直线有且只有一个平面，所以AE与GF在平面AFEG内，即点A、E、F、G在同一平面．知识点解析：暂无解析23、求平面AFEG与底面夹角的余弦值．标准答案：AE∩GF=M，平面AFEG与底面的交线为l，因为，所以FG∥l∥BD．在正四棱锥P—ABCD中，因为所以OP⊥AC，又因为，所以BD⊥面PAC，推出BD⊥AE，则AE⊥l，AC⊥l，AE∩AC=A，因此∠EAC即为所求二面角，tan∠EAC=tan∠MAO=，解得cos∠MAO=，即平面AFEG与底面夹角的余弦值为.知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，以下有()对直线间的夹角为90°．①A1B和C1D②AD1和A1C1③BC和DD1④BC1和A1B1⑤AD和BC1A、2B、3C、4D、5标准答案：B知识点解析：夹角为直角的是①③④；AD1和A1C1的夹角为60°；AD和BC1夹角为45°．2、在四棱锥P—ABCD中，底面为正方形，M为PA的中点，则PC、BM的位置关系为()．A、平行B、相交C、异面D、以上情况都可能标准答案：C知识点解析：因为底面为正方形，且M为PA的中点，取PD中点O，BC中点N，连接ON、OM，所以OM∥AD∥BC，因为OM==BN，所以四边形MBNO为平行四边形，ON∥BM，ON交面PDC于O点，因为，所以ON与PC为异面直线，即BM与PC为异面直线．3、已知正六棱锥的底面边长为2，侧面与底面的夹角的余弦值为，则该六棱锥的高h=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：顶点在底面的投影P′到正六棱锥的底面边的距离s=，因为侧面与底面的夹角的余弦值为，所以正切值为．4、设直线l平面α，过平面α外一点A与l、α都成30°角的直线有且只有()．A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：B知识点解析：如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC、AB都满足条件．故选B．5、在正三棱锥P—ABC中，已知底面边长a=1，高h=2，则该正三棱锥的体积为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：正三棱锥的体积公式为V=S底×h，所以VP—ABC=.6、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，相互平行的直线有()．A、6对B、12对C、18对D、24对标准答案：C知识点解析：取正方体中的一条棱，与该棱相互平行的直线有3条，正方体中一共有12条棱，又因为每条棱重复了两次，所以相互平行的直线有=18对．7、在棱长为2的正方体内，E、F、G、M、N、O是各棱的中点，截去三棱锥C1—EFG和A—MNO剩下的多面体的体积为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：正方体的体积为2×2×2=8，切去的两个三棱锥的体积V=VC1—EFG+VA—MNO=2×，剩下的体积为.8、同底的三棱锥和三棱柱的体积比为2：1，则它们的高之比为()．A、1：3B、2：3C、6：1D、2：1标准答案：C知识点解析：V锥=S底h锥，V柱=S底h柱，已知V锥：V柱=2：1，S底相等，因此h锥：h柱=6：1．9、下列叙述正确的是()．A、任何一个三棱锥都有外接球B、任何一个三棱锥都有内切球C、任何一个三棱柱都有外接球D、任何一个三棱柱都有内切球标准答案：A知识点解析：外接球要求几何体的所有顶点都在该球面上，内切球要求几何体的所有面都与球面相切．B项中，直三棱锥有内切球，但斜三棱锥不一定，C、D选项同理．在三棱锥内，以一个面为底，求出底面三角形的外接圆的圆心，过该圆心作直线与底面垂直，则该直线上总有一个点到第四个顶点的距离与到底面三点的距离相等，所以选项A正确．10、在长方体ABCD—A1B1C1D1内，点P是面ABB1A1上的动点，且点P到直线BC的距离等于点P到直线AA1的距离．已知AA1=BC=2，AB=3，则P点在面ABB1A1上的轨迹为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，因为BC⊥面ABB1A1，所以点P到BC的距离即为点P到点B的距离，动点到定点与定直线的距离相等，符合抛物线的性质，以AB的中点为原点，AB为x轴，如图所示，，P点的轨迹在y2=6x(y≥0)上，当y=2时，x=，所以轨迹应为B项．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)11、一实心圆柱体的底面半径为1，高为，如图，在圆柱体表面移动，自A点到B点的最短距离为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：将侧面展开，A到B的距离为l1=≈3．445；沿A—C—B的距离为l2=2+≈3．414．l1＞l2，所以从A移动到B的最短距离为．12、已知平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线，且a∥β，b∥α，则平面α与平面β的关系是________．FORMTEXT标准答案：α∥β知识点解析：面与面的关系只有两种：相交和平行．假设平面α与平面β相交，交线为l，又因为a∥β，根据线面平行的性质定理得a∥l，同理，b∥l，进而推出a∥b，与a、b为异面直线相矛盾，所以α∥β．13、下列观点正确的是_______．①若直线a平行于平面α，则直线a平行于平面α内的所有直线；②a是平面α外的一条直线，若a平行于平面α内的直线b，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若平面α内有两条直线分别平行于平面β，则α∥β；⑤直线a、b分别垂直于平面α，则a∥b．FORMTEXT标准答案：②⑤知识点解析：直线a与平面α平行，α内存在无数的直线与a平行，但不是全部，①错；平行于同一平面的两条直线位置关系有三种情况——平行、异面、相交，③错；如果平面α内的两条直线a、b相互平行且平行于平面β，则α、β有可能相交，④错．14、某正八棱柱的三视图如图所示，则它的体积为________．FORMTEXT标准答案：cm3知识点解析：该正八棱柱可以看成长方体切去四个直三棱柱．根据题意可知，底边正八边形的边长为1cm，正八棱柱的高为2cm，则可求得底面正方形的边长为cm，体积为cm3，一个直三棱柱的体积为cm3，则正八棱柱的体积为cm3．三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)15、如图所示，已知α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b．证明：a∥b．标准答案：因为α∥β，，所以α∥β，又因为，且γ∩β=b，所以a∥b．知识点解析：暂无解析16、已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠BAC=90°，BC==2，AA1=2．M、N分别为BB1、CC1上的点，且3BM=MB1，3CN=NC1，求MN到面A1BC的距离．标准答案：取BC中点D，B1C1中点E，连接A1D、DE、A1E．AD，DE交MN于O点，因为3BM=MB1，3CN=NC1，，所以MN∥BC．又因为，所以MN∥面A1BC．O为MN上的点，点O到面A1BC的距离即为MN到面A1BC的距离．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1∥DE，因为AA1⊥面ABC，所以DE⊥面ABC．又因为，D为BC中点，BC==2，∠BAC=90°，所以AB=AC，BC⊥ED，BC⊥AD，所以BC⊥面ADEA1．又因为，所以面A1BC⊥面ADEA1，所以O在面A1BC的投影O′在A1D上．在△DOO′和△DA1E中，因为∠ODO′=∠A1DE，∠OO′D=∠A1ED=90°，所以△DOO′∽△DA1E，因为A1E=AD，OD=BM，BD=，所以A1E=AD=cos45°.AB=1，OD=BM=，A1D=，所以OO′=，即MN到面A1BC的距离为。知识点解析：暂无解析17、在正四棱锥P—ABC中，AB=2，点M、N分别是AB、BC的中点，求异面直线CM与PN所成的角．标准答案：如图，取BM中点D，连接PD、DN．因为DN∥CM，所以∠PND即为异面直线CM与PN所成的角．在正四棱锥P—ABC中，AB=2，所以CM=PN=PM=，．在△DNP中，根据余弦定理得，cos∠PND=，所以∠PND=，即异面直线CM与PN所成的角为.知识点解析：暂无解析18、已知三棱柱ABC—A1B1C1，底面ABC为边长为2的正三角形，A1在底面的投影为BC边的中点O．证明：四边形BCC1B1为矩形．标准答案：根据三棱柱的性质可知，三个侧面均为平行四边形，如图，M为B1C1的中点，连接OM、A1M．因为MB1∥OB且MB1=OB，所以OM∥BB1∥AA1且OM=BB1=AA1．因为△ABC为正三角形，AO⊥BC，根据三垂线定理可知，AA1⊥BCOM⊥BCBB1⊥BC即∠B1BC=90°，所以平行四边形BCC1B1为矩形．知识点解析：暂无解析已知半径为R的圆球，放在一直径为，高为R的空心无盖圆柱形容器上．(容器的厚度忽略不计)．求：19、球的顶端到容器底面的距离L.标准答案：如图所示，沿圆柱的轴作切面，AB=BC=．则在Rt△OBA中，OB=，所以球的顶端到容器底面的距离L=R+R+OB=.知识点解析：暂无解析20、向容器内注水，当水面刚好与球面相切时，水的体积．标准答案：水面与球面相切时的高度为H，则H=R—(R—OB)=，V水=，因此水面刚好与球面相切时，水的体积为πR3．知识点解析：暂无解析21、判断表面积相同的正方体和长方体的体积大小关系，并证明．标准答案：当正方体和长方体的表面积相同时，正方体的体积大于长方体的体积．设长方体的三边分别为a、b、c，正方体的边长为l，因为表面积相同，所以2ab+2ac+2bc=6l2，即ab+ac+bc=3l2．根据均值定理可知ab+ac+bc≥，当且仅当a=b=c时取等号，即3l2≥，又因为V正=l3，V长=abc，所以l3≥abc，即V正≥V长，当且仅当a=b=c时取等号，此时长方体即为正方体，所以不能取等号．所以当正方体和长方体的表面积相同时，正方体的体积大于长方体的体积．知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷第5套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则两平面的关系为()．A、平行B、相交C、异面D、无法判断标准答案：D知识点解析：一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则两个平面既可能相交，也可能平行．面与面的位置关系只有平行和相交，没有异面．所以本题选D.2、同底的三棱锥和三棱柱的体积比为2:1，则它们的高之比为()．A、1:3B、2:3C、6:1D、2:1标准答案：C知识点解析：V锥=S底h锥，V柱=S底h柱，已知V锥：V柱=2：1，S底相等，因此h锥：h柱=6：1．3、如图所示，一只蚂蚁在底面半径为1cm，高为cm的圆锥侧面运动，自A点出发运动一圈后又回到A点的最短距离为()．A、2πB、2C、D、3标准答案：C知识点解析：沿PA将圆锥展开，如图所示，A点到A’点的最短距离为AA’．半径为1cm，高为cm，则母线长为3cm，所以4、某零件如图所示，则它的俯视图为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于零件上突出部分的棱可以看到，故排除B、C；根据零件各部分的面积比例排除A．故本题选D项．5、下列叙述正确的是()．A、任何一个三棱锥都有外接球B、任何一个三棱锥都有内切球C、任何一个三棱柱都有外接球D、任何一个三棱柱都有内切球标准答案：A知识点解析：外接球要求几何体的所有顶点都在该球面上，内切球要求几何体的所有面都与球面相切．B项中，直三棱锥有内切球，但斜三棱锥不一定，C、D选项同理．在三棱锥内，以一个面为底，求出底面三角形的外接圆的圆心，过该圆心作直线与底面垂直，则该直线上总有一个点到第四个顶点的距离与到底面三点的距离相等，所以选项A正确．6、P-ABC为正三棱锥，其高是底面边长的倍，则底面面积与△PMC面积的比值为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：设底面边长为a，M为AB中点，根据正三角形性质可知，因为高OP是底面边长的倍，即所以7、一个带盖的长方体容器，底面是边长为10cm的正方形，高为11cm，最多可放入()个半径为1cm的圆球．(要求盖子正好盖住容器，厚度忽略不计)A、107B、123C、125D、132标准答案：D知识点解析：根据题意要尽可能多地往容器中放球，有两种摆放方式，一种如图a所示，一层可以放恰好能盖住盖子，这时可放入125个；一种如图b所示，第一层有25个，第二层有(5－1)×(5－1)=16个，第三层有25个，第四层有16个……以此类推，O1O2O3为边长为2cm的等边三角形，高为cm，两层球时的高度为cm，三层时高度为cm，四层时高度为cm，五层时高度为cm，六层时高度为cm，七层时高度为cm，所以只放能六层，此时若第六层放25个球，总高度为cm，故这时可放入25+16+25+16+25+25=132个．所以第二种情况放入的球多，最多能放入132个．8、在长方体ABCD-A1B1C1D1内，点P是面ABB1A1上的动点，且点P到直线BC的距离等于点P到直线AA1的距离．已知AA1=BC=2，AB=3，则P点在面ABB1A1上的轨迹为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，因为BC⊥面ABB1A1，所以点P到BC的距离即为点P到点B的距离，动点到定点与定直线的距离相等，符合抛物线的性质，以AB的中点为原点，AB为x轴，如图所示，P点的轨迹在y2=6x(y≥0)上，当y=2时，所以轨迹应为B项．9、如图所示的四面体A-BCD，AD⊥面BCD，BD⊥CD，BD=1，CD=2，AD=2，则该四面体的内切球的半径为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：四面体内切球半径r即内切球的圆心O到面的距离，利用体积法得VA－BCD=VO－ABC+VO－ACD+VO－ABD+VO－BCD，根据已知得S△BCD=1，10、在三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、F分别是A1C1、BB1、CC1的中点，则与面ABB1A1平行且在面DEF内的直线有()．A、0条B、1条C、2条D、无数条标准答案：D知识点解析：作距面ABB1A1距离为d的平行面α，因为面ABB1A1与面DEF相交，所以α与面DEF相交，交线为l，又因为α//面ABB1A1，lα，所以l//面ABB1A1且l面DEF．α有无数种可能，所以在面DEF中，有无数条直线与l平行，所以答案选D.二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、下列观点正确的是_____________．①若直线口平行于平面α，则直线a平行于平面α内的所有直线；②a是平面α外的一条直线，若a平行于平面α内的直线b，则a//α；③若a//α，b//α，则a//b；④若平面α内有两条直线分别平行于平面β，则α//β；⑤直线a、b分别垂直于平面α，则a//b．FORMTEXT标准答案：②⑤知识点解析：直线a与平面α平行，α内存在无数的直线与a平行，但不是全部，①错；平行于同一平面的两条直线位置关系有三种情况——平行、异面、相交，③错；如果平面α内的两条直线a、b相互平行且平行于平面β，则α、β有可能相交，④错．12、如图所示，A、B两点在面α上，且AB//l，已知A点到l的距离为2，AB=2．现以l为轴，将A点旋转120°后得到A’点，则A’B=____________。FORMTEXT标准答案：4知识点解析：根据要求作图，过A点作AO⊥l，连接A’O、BO、A’B，∠AOA’=120°，A’O=AO=2，A’O⊥l，所以l⊥面AOA’．又因为AB//l，所以AB⊥面AOA’，所以AB⊥AA’．AA’2=OA2+OA’2－2×OA×OA’cos120°=12，13、分别以Rt△ABC的两条直角边为轴，旋转360°后，得到两种圆锥，体积比为4:1，则它们的侧面积比为_________．FORMTEXT标准答案：4：1知识点解析：设Rt△ABC的两直角边长分别为a、b，根据题意旋转后得到的圆锥体积分别为两圆锥体母线长均为因为则a:b=4：1．两圆锥的侧面积S侧1=πal，S侧2=πbl．所以侧面积的比为a：b=4：1．14、某正八棱柱的三视图如图所示，则它的体积为__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：该正八棱柱可以看成长方体切去四个直三棱柱．根据题意可知，底边正八边形的边长为1cm，正八棱柱的高为2cm，则可求得底面正方形的边长为cm，体积为cm3，一个直三棱柱的体积为cm3，则正八棱柱的体积为cm3．15、如图所示的直三棱柱，AB⊥BC，MA=MA1=AB=BC=1，则面MBC1与底面ABC的夹角的正切值为_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：延长C1M与CA，交于N点，连接BN，则BN即为面MBC1与底面ABC的交线．过A点作AD⊥DN，连接MD，因为三棱柱为直三棱柱，所以MA⊥面ABC，又BN面ABC，所以MA⊥BN，又MA∩AD=A，所以BN⊥面MDA，即BN⊥MD，所以∠MDA即面ABC与面MBC1的二面角，根据余弦定理求得．因为MA//CC1，所以因为AB=BC=1，BC⊥AB，所以在三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)16、已知四棱锥P—ABCD底面为梯形，PD⊥底面ABCD，CD//AB，AD⊥AB，AB=2PD=2CD=AD=2．求二面角P—BC—D的正切值．标准答案：延长BC，过D作DE垂直于BC并交于E点，∠PED即为所求二面角．取AB中点F，连接CF．因为AF//CD且AF=CD=1，所以AD//CF且AD=CF=2．又因为AD⊥AB，所以CF⊥AB，由此求得在△DEC和△CFB中，因为∠DEC=∠CFB=90°，∠DCE+∠CDE=∠DCE+∠BCF=90°所以∠CDE=∠BCF，所以△DEC∽△CFB．即二面角P—BC—D的正切值为知识点解析：暂无解析已知半径为R的圆球，放在一直径为高为R的空心无盖圆柱形容器上．(容器的厚度忽略不计)．求：17、球的顶端到容器底面的距离L；标准答案：如图所示，沿圆柱的轴作切面，则在Rt△OBA中，所以球的顶端到容器底面的距离知识点解析：暂无解析18、向容器内注水，当水面刚好与球面相切时，水的体积．标准答案：由图可知，水面与球面相切时的高度为H，则因此水面刚好与球面相切时，水的体积为知识点解析：暂无解析如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，侧面是面积为的等边三角形，E为PC中点，F在PB上，G在PD上，且19、证明：点A、E、F、G在同一平面；标准答案：连接AC、BD、AE、FG，AC∩BD=O，以0为原点，AC为x轴，BD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设AE∩OP=M，FG∩OP=N．在正四棱锥P—ABCD中，因为侧面是面积为的等边三角形，设边长为a，即点M和点N重合，所以AE与GF交于一点．又因为经过两条相交直线有且只有一个平面，所以AE与GF在平面AFEG内，即点A、E、F、G在同一平面．知识点解析：暂无解析20、求平面AFEG与底面夹角的余弦值．标准答案：AE∩GF=M，平面AFEG与底面的交线为l，因为所以FG//l//BD.在正四棱锥P—ABCD中，因为所以OP⊥AC，又因为所以BD⊥面PAC，推出BD⊥AE，则AE⊥l，AC⊥l，AE∩AC=A，因此∠EAC即为所求二面角，即平面AFEG与底面夹角的余弦值为知识点解析：暂无解析在直角梯形中(图a)，沿对角线BD将梯形ABCD折叠成如图(b)所示的四面体．当△ABD的面积是△CBD在底面投影面积的2倍时，求：21、二面角A—BD—C的余弦值；标准答案：如图所示，C点在底面的投影为O，E、F为AB、AD的中点，过O作OM⊥BD，连接CM，则∠CMO即为所求二面角，△OBD即是△CBD在底面的投影，△ABD与△CBD同底．因为S△ABD=2S△OBD，所以O在EF的延长线上，则又因为所以所以即二面角A—BD—C的余弦值为知识点解析：暂无解析22、AC的长度．标准答案：因为OC⊥底面ABC，△COA为直角三角形，根据上题可知OC2=CM2一OM2=过A作AP⊥BD交EF于Q，知识点解析：暂无解析23、判断表面积相同的正方体和长方体的体积大小关系，并证明．标准答案：当正方体和长方体的表面积相同时，正方体的体积大于长方体的体积．设长方体的三边分别为a、b、c，正方体的边长为l，因为表面积相同，所以2ab+2av+2bc=6l2，即ab+ac+bc=3l2．根据均值定理可知当且仅当a=b=c时取等号，即又因为V正=l3，V长=abc，所以l3≥abc，即V正≥V长，当且仅当a=b=c时取等号，此时长方体即为正方体，所以不能取等号．所以当正方体和长方体的表面积相同时，正方体的体积大于长方体的体积．知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷第6套一、选择题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)1、已知直线l与平面α，两者之间的关系可能为()．A、直线l在平面α上B、直线l与平面α相交C、直线l与平面α平行D、以上情况都可能标准答案：D知识点解析：直线与平面有三种位置关系：直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行．2、已知P是平面α外的一点，则下列说法正确的是()．A、过点P有且只有一条直线与α平行B、过点P有无数条直线与α垂直C、过点P有且只有一个平面与α平行D、过点P有且只有一个平面与α垂直标准答案：C知识点解析：过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，所以A项错误；过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，所以B项错误；过平面外一点，有无数个平面与该平面垂直，所以D项错误；C项说法正确．3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以下有()对直线间的夹角为90°．①A1B和C1D；②AD1和A1C1；③BC和DD1；④BC1和A1B1；⑤AD和BC1A、2B、3C、4D、5标准答案：B知识点解析：夹角为直角的是①③④；AD1和A1C1的夹角为60°；AD和BC1夹角为45°．4、在三棱柱ABC—A1B1C1，底面ABC是边长为2的正三角形，A1在底面的投影为BC边的中点0，∠A1AB=45°，则侧棱长为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：如图所示，因为O是A1在底面的投影，所以cos∠A1AB=cos∠A1AO．cos∠OAB．又因为∠A1AB=45°，∠OAB=30°，所以cos∠A1AO=。5、如图所示，已知面PCD与面ABCD的二面角为90°，ABCD为矩形，AB=2BC=PC=PD=2，O为CD的中点，则S△PAB：S△OAB=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：因为△PAB与△OAB同底，所以面积的比即为高的比．如图所示，N为AB边中点，连接ON、PN、PO，又因为面PCD上面ABCD，ABCD为矩形，PC=PD=2，所以AB=CD=2，O即为P在底面的投影，OP上面ABCD，所以△PON为直角三角形，又OP==2，因此S△PAB：S△OAB=PN：ON=2：1．6、在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，M为PA的中点，则PC、BM的位置关系为()．A、平行B、相交C、异面D、以上情况都可能标准答案：C知识点解析：因为底面为正方形，且M为PA的中点，取PD中点O，BC中点N，连接ON、OM，所以OM∥AD∥BC，因为OM=BC=BN，所以四边形MBNO为平行四边形，0N∥BM．ON交面PDC于O点，因为PC面PDC，所以ON与PC为异面直线，即BM与PC为异面直线．7、已知AC1是长方体ABCD-A1B1C1D1内的体对角线，长度为，底面是边长为2的正方形，则异面直线BB1与AC1的距离为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：如图所示，取BB1中点P，AC1中点O，O在面ABB1A1上的投影为O’，所以OO’上面ABB1A1，连接AP、C，P、OP、O’P，因为底面是边长为2的正方形，AC1=．又因为O’P⊥BB1，OO’⊥BB1，所以BB1⊥面POO’，又OP面POO’，所以OP上BB1．在△APC1中，AP=C1P，O为AC1中点，所以OP⊥AC1，线段OP的长度即为异面直线BB1与AC1的距离，求得OP=．8、如图所示，BD1为正方体的体对角线，长度为cm，M、N分别为线段AA1、BD1上的动点．t=0s时，M与点A重合，N与点B重合；经过5s后，M与点A1重合，N与点D1重合．则下列图象能表示MN长度s与时间t的关系的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据BD1=cm／s，N点到底面的距离等于M点到底面的距离，即MN一直在平行于底面的平面内，如图，过M点作面MEFG∥底面ABCD，N点运动的轨迹的投影在EG上，即EG与BD1的交点为N，连接MN，EN=9、已知正六棱锥的底面边长为2，侧面与底面的夹角的余弦值为，则该六棱锥的高h=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：顶点在底面的投影P’到正六棱锥的底面边的距离s=，因为侧面与底面的夹角的余弦值为．10、已知直线l与平面α相交，则交点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、无数个标准答案：B知识点解析：直线与平面相交，交点个数为1．11、下列叙述正确的是()．A、l直线，在平面α内B、a∩b=A点A既在平面a上，又在平面b上C、α∩β=A平F面α与平面β相交于A点D、l∥α平面外的直线l平行于平面α标准答案：A知识点解析：规定“点”用大写字母表示，如A、B、C；“平面”用小写的希腊字母表示，如α、β；“直线”用两个大写的英文字母如AB，或一个小写的英文字母表示，如a、b．a∩b=A应该是直线a与直线b交于A点，所以B项说法错误．α∩β=A表示A点在平面α与平面β的交线上，所以C项说法错误．l∥α有两种情况，一种是平面外的直线l平行于平面α；一种是直线l在平面α上，所以D项错误．12、已知α∥β，aβ，则a与b的位置关系是()．A、平行B、异面C、平行或异面D、无法判断标准答案：C知识点解析：借助长方体模型(如图所示)可知，a与b有两种情况，一种是平行，一种是异面，所以答案选C．13、在正三棱锥P-ABC中，已知底面边长a=1，高h=2，则该正三棱锥的体积为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：正三棱锥的体积公式为V=。14、有两个圆柱形的木块A、B，底面直径的比为1：2，高的比为2：1，则木块A、B的体积比为()．A、1：1B、1：2C、1：4D、2：1标准答案：B知识点解析：圆柱体的体积公式为S=S底×h=πr2h=，故A、B的体积比为1：2．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)15、直线与平面的位置关系可能有：__________．FORMTEXT标准答案：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行知识点解析：16、如图，在正三棱柱ADE—BCF中，底面边长为4，ME=3MF，AB=4，则S△ACM=__________．FORMTEXT标准答案：10知识点解析：取BC、AD中点G、H并连接，与AC交于P，M在面ABCD上的投影N在GH上．过N点作NO⊥AC，根据三垂线定理得，MO上AC，MN=，PN=1．因为△PON∽△PGC，所以NO=，S△ACM=10．17、一实心圆柱体的底面半径为1，高为，如图，在圆柱体表面移动，自A点到B点的最短距离为__________．FORMTEXT标准答案：2+知识点解析：将侧面展开，A到B的距离为l1=≈3．445；沿A—c—B的距离为l2=2+[3．414．l1＞l2，所以从A移动到B的最短距离为2+．18、如图为一圆台的俯视图，小圆半径为r，大圆半径为R，小圆的面积是大圆面积的一半，且母线与底面的夹角为60°，则该圆台的侧面积为__________(用r表示)．FORMTEXT标准答案：2πr2知识点解析：由已知得=R．正视图如图所示，因为母线与底面的夹角为60°，所以l=．圆台侧面积公式为S侧=π(R+r)l，代入数据得S侧==2πr2．19、在棱长为2的正四面体内，对棱间的距离为__________，正四面体的高为__________，体积为__________，表面积为__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：可以将棱长为2的正四面体放在边长为的正方体内，如图所示D—ABC，六条棱为六个面的对角线，对棱间的距离为正方体的边长20、已知有三条直线a、b、l，且a⊥l，b⊥l，则a与n可能的位置关系为：___________．FORMTEXT标准答案：平行、异面、相交知识点解析：在空间范围内，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系有三种可能：平行，异面，相交．21、在一个边长为a的正方体内，能切除的最大球体的体积为___________，球体的表面积为___________．FORMTEXT标准答案：πa3πa2知识点解析：正方体切除的球体的最大直