2013年第18“华杯”总决赛北京赛区七年级数学竞赛试卷（第一试）

2013年第18届“华杯”总决赛北京赛区七年级数学竞赛试卷（第一试）一、填空题（每题8分，共40分）1．（8分）计算：．2．（8分）方程的解的个数为个．3．（8分）一个等差数列共25项，如果它前10项的和比后5项的和大10，后10项的和比前5项的和小100，那么，整个等差数列的和是．4．（8分）周长为11且边长都是正整数的梯形的个数为个．5．（8分）如图，三条长度相同、两两夹角为的线段、、交于同一点．如果、、的面积之和是，且以、、为三边的三角形面积为1．则以、、为三边的三角形的面积为．二、解答题（每题10分，共20分）6．（10分）三个两位的完全平方数连在一起写，得到一个六位的完全平方数，求所有这样的六位完全平方数．7．（10分）已知，则的最小值是多少？

2013年第18届“华杯”总决赛北京赛区七年级数学竞赛试卷（第一试）参考答案与试题解析一、填空题（每题8分，共40分）1．（8分）计算：．【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号或绝对值，要先做括号或绝对值内的运算．【解答】解：．故答案为：．【点评】考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．2．（8分）方程的解的个数为2个．【分析】根据绝对值的性质，则或，从外到内去掉绝对值符号，即可求解．【解答】解：，或（舍去），即，或（舍去），则，或（舍去），则，即或，解得：或．则原方程有2个解．故答案是：2．【点评】本题考查了含有绝对值的一元一次方程的解法，注意去绝对值的顺序是关键．3．（8分）一个等差数列共25项，如果它前10项的和比后5项的和大10，后10项的和比前5项的和小100，那么，整个等差数列的和是275．【分析】先设出等差数列的首项为，公差为，则，再用它前10项的和比后5项的和大10，后10项的和比前5项的和小100，建立方程组求出和，即可得出结论．【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，则，它前10项的和比后5项的和大10，，，①，后10项的和比前5项的和小100，，，②，联立①②解得，，，整个等差数列的和为，故答案为275．【点评】此题主要考查了等差数列，理解等差数列的通项公式是解本题的关键．4．（8分）周长为11且边长都是正整数的梯形的个数为13个．【分析】按照梯形上底的长来分类：上底为1时，有6个；上底为2时，有4个；上底为3时，有2个；上底为4时，有1个；相加即可求解．【解答】解：按照梯形上底的长来分类：上底为1时，周长为的三角形有：1，4，4（含2种梯形）；2，3，4（含3种梯形）；3，3，3（含1种梯形）；有6个梯形；上底为2时，周长为的三角形有：1，3，3（含2种梯形）；2，2，3（含2种梯形）；有4个梯形；上底为3时，周长为的三角形有：1，2，2（含2种梯形）；有2个梯形；上底为4时，周长为的三角形有：1，1，1（含1种梯形）；有1个梯形；（个．故周长为11且边长都是正整数的梯形的个数为13个．故答案为：13．【点评】本题考查了三角形边角关系，关键是熟悉三角形任意两边之和必大于第三边，之差必小于第三边．5．（8分）如图，三条长度相同、两两夹角为的线段、、交于同一点．如果、、的面积之和是，且以、、为三边的三角形面积为1．则以、、为三边的三角形的面积为．【分析】证明和，则，则，即可求解．【解答】解：延长、，使得，，如图所示．，，，，，，由已知可知，为等边三角形，且，，．在上取一点，使得，在和中，，，，同理，，则，，即：以、、为三边的三角形的面积为．故答案为．【点评】本题为三角形综合题，主要三角形全等和面积的计算等，正确作出辅助线，证明和是本题解题的关键．二、解答题（每题10分，共20分）6．（10分）三个两位的完全平方数连在一起写，得到一个六位的完全平方数，求所有这样的六位完全平方数．【分析】首先得出所有的两位的完全平方数，再利用完全平方数的特征奇数的平方是型；偶数的平方为或型，进而得出答案．【解答】解：两位的完全平方数只有：16，25，36，49，64，81，如果一个数的十位数字是奇数且是完全平方数，则个位数字一定是6，也就是16在个位和十位位置，完全平方数具有：奇数的平方是型；偶数的平方为或型，且根据是8的倍数的特征是整数末三位是8的倍数，而任意三个两位的完全平方数连在一起写，是8的倍数的只有166464，646416，故所有这样的六位完全平方数是：166464，646416．【点评】此题主要考查了完全平方数，根据题意得出完全平方数应具有的特征是解题关键．7．（10分）已知，则的最小值是多少？【分析】根据取整函数的定义以及题干已知条件，分别得出，，的取值范围，再将三个不等式相加，即可求出的最小值．【解