概率统计简明教程多媒体参考的资料第一篇概率论

«工程数学一概率统汁简明教程。（第二版）一多媒体参考资料同济大学数学系2011,12•第一篇概率论部分•第二篇统计部分信息时代与统计（代序〉2009年8月61丨的美国纽约U报有篇文章，题为:对如今的毕业生而言，就一个词:统计学.谷歌的首席经济学家哈尔•瓦里安说:“我一直都说，在未来10年，最具吸引力的工作将是统计师，”统计师地位的提高是近来电子数据爆炸式增长的结果，至IJ2012年，全球电子数据约增长5倍.3正如麻省理工学院的埃生克•布林约尔松所说,我们正在迅速进入一个每件事都能被监控和分析的世界，但问题在于人类利用、分析和解释数据的能力！这正反映了信息时代对统计和统计人才的强大需求，鲜活客观的数据是解决长期经济需求W题，以及确定重要政策的优先程序的第一步.因而人们只有借助统计学这一重要丄具，使用计算机和缜密的数学模型，在大量数据中发掘重要信息，寻求其规律和决定对策.第一篇概率论部分5（一）事件的概率（二）条件概率与事件的独立性（三）随机变量及其分布（四）随机变量的数字特征6(O事件的概率1.随机事件2.概率的概念及性质3.古典概型71.随机事件•在随机试验屮,对某些现象的陈述为随机事件（也简称事件）.•对于指定的一次试验,一个特定的事件可能发生,也可能不发生,这就是事件的随机性.8•例1k第一章例,投掷一枚均匀骰子,观察朝上面的点数,我们关注“出现点数不大于4”这个事件（记之为A）.当试验结果出现3点时,事件发生；当试验结果出现5点时,事件＞4不发生.总之,在试验前,无法判断事件＞4是否发生.事件的关系(1)包含Zl);(2)A^B

(4与S相等)；(3)4与S互斥(4,S不能在一次试验屮M］时发生).ACBA与B互斥10例2Q第一章例7｝有两门火炮同时向一架飞机射击,考察事件A=｛击落飞机｝,依常识,“击落飞机”等价于“击中驾驶员”或者“同时击中两个发动机”,因此^是一个较复杂的事件.如记击落第/个发动机｝,/=1,2,击中驾驶员｝,相对＞4而言,Bi.B2及C都较＞4为简单.我们可以用SrS2及C表示A4=B1B2UC这可以简化复杂事件A的概率计算.12事件分解的要点是:正确使用事件的运算建立各简单事件之间的关系.13,-2.概率的概念及性质•概率是事件发生的可能性大小的度量.•概率的统计定义:概率是频率的稳定值，常常用于概率的近似计算，是非常有用的.但要注意，试验次数要足够多.14概率的三条公理(1)0<P(A)<\.(2)

P(Q)=1；(3)对任意一列两两互斥事件…有co

、pLkV'!=lJ=Z队).n-l15事件的加法公式及推广:对于任意事件我、B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)对任意n个事件4,A2,…,有<J4)=ZP(A)-zmA)+…k=lk=lJ^h+(]广1[尸…a)+…+卜ir_!尸(a…a”:16例3(茗:幸例9、据资料获悉某市店民私房拥有率力63%,私牟拥有率为27%,而既尤旃也尤车的占30%,求任怠抽資一户,恰为既有出乂有车的概韦.解分别记V件如｛抽到的一户有房｝,如｛抽到的一户冇车bC=｛抽到的一户行车、有房)由题SF(A)=0.63^(0>0.27F0.显然WC=AB,且由对偶律及概率性质3知尸(AuB)=1-P(A\JB)=I-P(AB)=1-0,3=0.7‘因此由性质5,P(C)二尸(=尸(A)+尸(权)-尸(AUB)=0.63+0.27-0.70=0,20.因此既有¥乂存房的概率为().20,173.古典概型•概型的要求①有限性:可能结果只有有限个；②等可能性:各个可能结果出现是等可能的.•概率的计算公式尸(A)=有利于A的样本点数n样本点总数18例4I第二章例1.设有批量为100的同型号产品，其中次品有30件.现按以下两种方式随机抽取2件产品：(a)有放回抽取，即先任意抽取1件，观察后放回，再从中任取1件；(b)不放回抽取，即先任意抽取1件，观察后不放回，从剩下的产品中再任取1件.试分别按这两种抽样方式求：(1)两件都是次品的概率；(2)第1件是次品，第2件是正品的概率.19解容易验证满足古典概型的要求记/!=｛两件都是次品｝,B=｛第1件次品,第2件正品夂只讨论有放回情况（不放回情况是类似的）,计算样本点总数,注意随机抽取2件产品的试验可以看成有放回地二次抽取,每次取一件.而每次抽取均有100种可能结果,依原理,一共有n=100X100=10,000种可能结果,此即样本点总数.20而构成事件/A的样本点的条件必须每次抽取来自30件次品,因此每次有30种可能结果,因而有^=30X30=900种可能结果,于是Ay——=n900_10,0000.09同理,可得尸（万）=30x70=0,21,100x10021•^例Si第二章例5.（占位问题）fl个球随机地落入r个不同盒子屮（n＜r）T假设每个盒子足够大，粹纳的球数不限，于是/?个球在r个盒子屮的分布（-共有种）是等可能的，求：（1）没有一盒有超过1个球的概率；（2）第一盒恰有J'个球的概率（1＜；＜/2）22解记H题(1),(2)涉及的随机书件分别'W,(1)4发生当且仅当不同的球落入不冏的盒T,冈此a利丁4的样本点数为不可重复排列数r(r-l)-(r-n+l)所以戸⑷=r(r-l)---(r-n+1)(2)第一盒的7个球來自个球的总体,一共介种4<同选抒:气第一益的J个球选定Ki.剩卜的n-j个球落入剌F的r-l个盒子中,枝球在盒子的分布总数7j(r-l)rt'\因jfij<j-利r/J的样本点数为-lf~y.敁S到(ny.(卜1)'~23（二）条件概率与事件的独立性1.条件概率2.全概率公式和贝叶斯公式3.事件的独立性241,条件概率计算公式:若P(B)>0,则P(A8)^P(AB)P(B)乘法公式:若P(B)>0,则P(AB)=推广:^P(AB)>OtP(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB)25例6(第三章例3.一批零件共100件，其中次品有10件，今从中不放回抽取2次，每次取1件，求第一次为次品，第二次为正品的概率.解=｛第一次为次品｝，B=｛第二次为正品｝，要求P(AB),由乘法公式，先求及戸⑺)己知P⑺)=0丄而P(SM)=90/99，因此P(AB)=P(A)P(BIA)=0.1X90/99=0.091.26例7ViA,BZjM个#件,且己知尸(A)二().\八/幻二0乂求尸(/?A)及尸(sAU^)-解因为P(B|A)=^^1

P(A)P(B)~P(AB)^0)P(BA\JB)=尸(F(AUff))尸(AUS)尸(Afi)P{AB)__P(AB)尸(A)+尸(否)一尸(A)+尸(/W)~P(B)+P(AB)27依假设条件,只需求出P{AB)t即可求解.今p(b\a\jb)=0.21—0.4+0.2P(AB)-P(A

一(A—S))=P(A)-P(A-B)—1_

P^A)__

B)

—1_

0.3_

0.5—0-2所以p(b\a)=P(A)().4-0.2231-428.全概率公式和贝叶斯公式全概军公式若事件砟,42,…,么两两互斥,HP（冬）>0,!</<«,令行=|_|全概率公式是已知“原冈”发生概率,求“结果”发生概率.贝叶斯公式设A,,.",么两两互斥,且P(4)>(),P(B)>0,"=u队i=l则对任~1<r<«有/w如/⑷邮⑷YP(Ak)P(B\Ak)贝叶斯公式是己知“结果”,推断该“结果”由某发生的概率。原F在贝叶斯公式中,称...,p(/U为先验概率,而戶⑷旧),...,P(AnIB)为后验概率,它表示在有了试验结果S己发生的附加信息下,对先验概率的修正.31例8Q第三章例血液化验一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出阳性,但也有1%的概率误将健康人检出阳性.设己知该种疾病的发病率为0.5%,求己知一个个体被此项血液化验检出阳性条件下,该个体确实患有此种疾病的概率.32解此例的“结果”是血液化验检出是阳性，产生此结果的两个可能“原因”是:一、带菌；二、健康人J'nj题是求从己知“结果”为阳性条件下，而事实上是“带菌”的条件概率:P(带菌I阳性)记8=｛阳性｝，41=｛带菌｝，A2=｛不带菌｝■己知PGV:0+005，P(及|A)=0.95，尸(S|A)=0+01，要求/"(AIB).由贝叶斯公式得到0.005X0.950.323.0.005x0.95+0.995x0.0133为什么验出是“阳性”，而事实上为“带菌”的概率如此小？以下是平均总数为200人的分类表：其中数字0.95,L99是由假设条件及公式带菌不带菌总和阳性0.951.992.94非阳性0.05197.01197.06总和I1992000.95=1X0.951.99=199X0.01算出.因此已检出阳性条件下（总共2.94人）,带菌（只有0.95人）的条件概率为Q5p（A|B）=^«0.323..11294:例9根据犯罪记录,可确定的犯罪嫌疑人中70%是有罪的,假设有一些新证裾表明罪犯有某呰特征,但人群中有此特征的概率为03.如果查出犯罪嫌疑人有此特征,求他有罪的条件概率,解记A-［犯罪嫌疑人有罪｝,S=｛犯罪嫌疑人有此特征｝.依假设P(B|A)-1,P(BA)=0,3,P(A)=0.7,因此由贝叶斯公式有P(A\B)=P(A)P(B\A)P(A)P(B\A)+P(A)P(BA)0,7x10.7x1+03x0.30.7_059=0.886,也就是说,由于査出犯罪嫌疑人有此特征,使其有罪的概率从0.7上升到0.886.353,事件的独立性称事件/IS独立,如果P(AB)=P(A)P(B)；A,S相互独立当且仅当P(B\A)=P(BA),其中0<P(A)<1.该公式表明:事件4发生与否，不影响事件S发生的概率，这正是事件独立的含义.36推广:三个事件相互独立，如果P{AB)=P(A)P(B)，P(AC)=PM)P(C)，P(BC)=P(B)P{C)，且=P(A)P(B)P(C).注意到仅有前三个等式成立，称亨件A.BX为两两独立。两两独立不一定相互独立(见教材第三章例9).37若己知相独、＞:,以下公式可简化相关事件概率的计兑:r(AU^Uc)=i-p(x5c)=l-P(A)P(B)P(C).38例说｛第三章例！4)某公司生产一批同型号的IK疗仪器，产品的80%无需调试即力合格品；而艽余20%需进一步调试，经调试后，其中70%为合格品，30%为次品.假设毎台仪器的生产足相互独立的.(1)求该批仪器的合格率：(2)义若从该批仪器中随机地抽取3台，求恰有一台为次品的概率.39解分别记車件A=｛无需调试｝,B=｛合格品J,j4=｛;UIA｝,随机抽取3台,价有1台次品h(1＞由全槪率公式知P｛B)-P(A)P(BIA)+P(A)P(SIA)其中,已知P(A)=0.8,P(BIA)=1,P(BIA)=0.7.因此P(B｝=0.8x1+0.20x0.70=0.94t即仪器的合格率为0.94.(2)由于生产是独立的,固此可以将该试验行成为H=3,^=1-0.94=0.06的伯努利试验,其中p为仪器的次品率。于是x0,06x0,94-0,)59,P(C)^40例11独立地®&投掷两枚均~骰子,求两枚骰子的点数之和力4出现在点数之和为6之前的概率.解记点数之和为4出现在点数之和为6之前｝,人=｛前次投掷点数之和为4与6都不出现,而第n次投掷出现点数之和为4｝.CO则A=(jAti.U诸4是两两互斥的,因而COcoP(A)=P(]jAti)=XPW^n=]41所以=[n=i3636P(A)=|l-—“I36但由于投掷是独立进行的,fl不论哪一次投掷,出现点数之和35为4的概率为一,而出现点数之和为6的概率为一.3636因而,对h>L有3|8-7j9313611V/7一9-3136II513642（三）随机变量及其分布1.随机变量的分布函数2.离散型随机变量的分布3.连续型随机变量的分布4.二维随机变量的联合分布与边缘分布5.随机变量的函数及其分布431,随机变量的分布函数设X是随机变量,一个取值子区间［0,1］的实值函数F（x）=P（X<X）（―00<JT<4w）称为X的分布函数.44巾)连续型随机变量(X)分布函数的图像,y=0及y=1是两条渐近线45分布函数有如下性质:(1)0<F(x)<l:(2)单调不减，即当时，F(x})<F(x.):(3)liniF(x)=0,IiniF(x)-1;.¥->+00(4)F(x)是一个右连续函数，即limF(jv)=F(x0).x—462.离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布律没随机变杂X的取值为一4数Xi人，…，且记P-=P(X=xj»i=1,2,--，称下述农格所表示的函数力X的分布律:XX|'*•A-…概率PlP2

…Pi…其中Pi=P{X

=〜)且满足2^八_=1.47X的分布函数可用分布律表示如下:作)=E(-0C<X<+00):而.9.如己知x的分布函数及取值｛aJ，也可求出分布律Pi=F(Xi)-F(x7)G=l，2，".)其中F«)为F(x)在人处左极限.例12k第四章例5.袋中有5个球，分别编号1,2,3,4,5.从中同时取出3个球，以X表示取出的球的最小号码，求X的分布律与分布函数.解由于X表示取出的3个球中的最小号码，因此X的所有可能取值为1,2,3,{%=!}表示3个球中的最小号码为1，那么另外两个球可在2,3,4,5中任取2个，这样的可能取法有⑵种；而在5个球中取3个球的可能取法共有种.49由古典概型it算公式可知:P(X=<3、同样可得：P(X=2)=>^4=—,P(广5.10所以，X的分布汴为X12概率0.60.3X的分布函数为0,JT<1,0,6,1<x<2,(16+0.3=(19,2<jc<3,1.x>3.30.11050常用离散型分布(1)0-1分布5(1,P),0<P<1X01概率P(2)二项分布S(/i,p),0<p<\(3)参数为p的几何分布,X0…k…n概率(卜P)"…Tl

kli,p0-?)<k)…pnP(X=nXlp(n=…),其中I-pt51<4）泊松分布尸（乂）,/1>02P（X=k）=^e-A（大=0丄…XA<5）超几何分布设为正整数,Ilm<N,（t=0,1,"+,'7）,其中约定当k<O-Hr<k时=0.称欠服从以n,N,M为参数的超几kj何分布.52例1\第四章例6］从学校乘汽车到火车站的途屮有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的氣件是相互独立的,并且概率都为1,设X为途中遇4到红灯的次数,求随机变:htx的分布律及至多遇到一次红灯的概韦。解从7校到火乍站的途中竹3个交通岗ti毎次遇红灯的概率为i,可认为途中遇到红4灯的次数X服从二项分布B(3,其分布律为4即力罕多遇到一次红灯的概率为S3P(x<1)=P(X=O)+P(X=1)=^十三=三646432<3、3-JtP(X=-幻=(卜O，1X0123概率27279164646464例14设一条萵速公路在一年内发生总外交通半故的次数X服从参数为/I的泊松分布,且假设毎一次故至多只有一名司机死亡,死亡概率为P。求一年内恰有名司机在事故中死亡的概率.解记A叶一年内恰冇k名司机在事故中死亡则冇P(A)P(ACi{X=r})^^P(X=r)P(A|X=r)r-kr=k因在X二r条件下,司机死亡数服从二项分布B(r,,因而*57P(A)=X-r-Jt='yiw-p)rk]ap)k

c-A_ap)k

c^P(r-k)l)kl~kl■所以一年内在事故中死亡的司机人数服从参数为Ap的泊松分布.54例15已知甲乙两箱中装有同型号产品，甲箱有3件合格、3件次品，乙箱装的3件都为合格品.今从甲箱屮任取3件放入乙箱，且记此吋乙箱中的次品件数为兄求：（1）X的分布律：（2）再从乙箱中任取1件是次品的概率.解（1）显然;（的可能值为0,1,2,3,且对任何00,事件｛X^k｝=｛从甲箱任取3件，怡好取到）H牛次品｝.因此（3V3.P｛X=k）:、◊:）（k=0，l，2,3）,<3;即x有分布律:X0123概率0.050.450.450.05(2)记待求概率的奉件为A,则有r=0r=01231=O.O5xO+O.45x—+0.45x二+0.05*二=一.666433P(A)^P(A

门{X=r})=[P(X=r)Z>(A|X=r)563.连续型随机变量的分布•概率密度函数设随机变黾X有分布函数F(x),荇存在f(x)>0使得F(x)=j/'(fjt/r,对所有一co<x<+oo成立，则称/GO为x的概平密嗖函数，11称x为迕续％随机变a•f(x)为果个X的密度函数的必要条件是:(1)/(jv)

>0(-co<x<+oo):(2)

r/(x)dx=I,J—«S7•X为连续型的随机变fi,则其分布函数F(X)处处连续,且P(a<X</?)=P(a

<X=f/(jc)dr.58常用连续型分布(I)均匀分布/?(«,/?),則:呤’a<jc<I),其它；(2)指数分布£⑷,x>0,其它;(3)正态分布N(^ct2)(-QO<X<+00).59例16｛第四章例！6.设打一次电话所奋的时间（单位：分钟）服从参数为0.2的指数分布，如果有人刚好在你前面走进公用电话间并开始打电话（假定公用电话间只有一部电话机可供通话），试求你将等待（1）超过5分钟的概率；（2）5分钟到10分钟之间的概率.解令X表示电话间中那个人打电话所占有的时间，由题意知，X服从参数为0.2的指数分布，因此Y的密度函数为所求概率分别为:=<()0.2戶2x>0,,:v<0.P(X>5)=0,2e^2xdx=,P(5<X<

10)=^02eA}2xdx=-e一1.60标准正态分布/V(O,1)的密度函数图像61用表示/V(OJ)的分布函数•标准正态分布有如下性质:(1)0(—%)-1-<I)(x),(^O<X<OO)；(2)设X-N(OJ),则有尸(|X卜1)=0.6826,P(|X|<2)-0.9544,P(|X|<3)=0.9974.这表明,一个标准正态分布的变M,其分布的载荷几乎集屮在区间[-3,3j之中.62•标准化变换Y设X-7V(/z,cr2),则^=--7V(O,1)(T因此P(X<x)^Phl=4)lCTJIJ后者町通过汽标准上态分布衣,得到相应的数ffi而不必计算.63例17i第四章例19、某地抽样调查结果表面,考生的外语成绩（百分制）X服从正态分布7V（72,rr2）,且96分以上的考生占考生总数的23%,试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率.解本题中A-72分,（T2末知,flI通过题中已知的条件P（X>96）=0.023可求得a=12.所以P(60<X<84)=0<84-72.k1260-72.i2;=①⑴一(!)(-1)=0.6826-644.:维随机变W的联合分布和边缘分布•联合分布函数F(x,y)=<jr,y<y)(-oo<x,y<+oo).联合分布困数爲苻以下性质:(1)O£fUy)£l；(2)F(x,y)分別关于及y单调不城；(3)FUy)分別关于j及y右连续:(4)limF(x,y)=0.limF(x,y)=0,limF(x,t)=0,limF(x.v)=1.JT—-x—?^co"'JT—woy—>"00y—>+w•边缘分布函数Fx(x)=P(X<x)=F(X4-OO)(-co<x<+ao).v)=<y)=F(+ao,y)(~ao<y<+<o)t65•联合密度和边缘密度(1)如存在>0(-oc<x,y<+oc),使得F(x,y)=JJ/(m,v)d//dv(-qo<jr,y<+oo),那么/(A\y)为(X,r)的联合密度函数.(2)称fx(义)=[/(A,y)dy(-oo<x<-ho)；为X的边缘密度；(-oo<y<+x))为r的边缘密度.66例18t第五章例4.例7、设二维随机变量在区域G上解易见G的面积为1,因此联合密度为/(.U)=0<x<1,1y|<x,其他■A(^)=C/(^^)dy0<x<1,其他.67服从均匀分布,其中G=（O<x<l,|y|<x},求（1）（X,K）的联合密度函数（2）关于X,关于r的边缘密度函数.■

•<1他■^其例19没随机变最y服从参数A=I的泊松分布,对火=L2,定义随机变错X,=,求(XrX2)的联合分布什.解依假i^p(Y=i)=-ei(卜(U2,…),IIP(Xl=(XX1P(Y=O)^P(Y^\)=2&\p(x,=o,x;-i)=p(r<hr>2)-of尸二1,X,二O)=P(Y>IY<2)=P(\<Y<2)=P(Y=2)=-c\1"2p(x,=i,x2=i)=p(y>i,r>2)=P(y>2)=I-P(K=0)—P(Y=1)—P(Y=2)=)_2e-,-leH=l--e-1.223,KI,Y>k,68因此(Xt,X?)有联合分布律:0102e'01丄，12e-21269•随机变量的相互独立性如果与J7的联合分布函数F(x,y)f如果对任意实数成立巧义,y)=厂%(-^)/^(y),则称随机变量x与y相互独立。•如果Ocy)有联合密度函数则x与r相互独立,当且仅当/■(yh/xM/rG),对任意iy70(—oc<«r,y<+qo).即;V〜R此边缘分布与参数z?无关■由此可知:•二维正态分布/V（川,巧,〆,^^,/?）设（x,y）有二元正态分布,其联合密度为可求得兄r的边缘密度分別为則:忐el,則=士/了,(■^卜~~Lr^c2丌(T'(T、^1-/9JX>-^2),(y-ju,r4

J边缘分布并不能完全确定联合分布.715.随机变量的函数及其分布没离敗型随机变敁X分布什力x2概率PlPlPig(X)是一已知的函数,^iY^g(X)H分布律为/=咐)尺U,)P(Y=g(xt))P]PiPi若以的俏屮心相等的,则闷把邮#相等的值分别合井,M时把对W的概率卩相加.发(X])g(X2)72例20（第六章例I）设X的分布伴为X-101252概率11\33510101010则r=x2的分布律可这样计算:=P(xa

0)=P(X=0)=^(p^P(X^4)=P(X-2)--,p:=P(X^^)=P(X^)=A73例21—设备开机后无故陣工作时间X服从参数A=02的指数分布,设格定时开机,出现故障时自动关机;而在无故障情况下,工作2小时便关机,试求该设备每次幵机后,观察到的无故陴T.作时间y的分布函数.解依假设X,2,X

<2y<()时,-p(yy)二0当时,Fr(y)^P(Y<y)^\90<y<2时,FY(y)—P(Y<)’)=P(min{X,2}<y)=1—P(min{X,2}>y)T-足,r的分布函数为=RP(X>^)=P(X<y)=l-e'a2vFr(y)=h-e-ft2\y<0,0<y<2i戶2.74设X为连续型随机变量,有密度函数f(x),如果y^g(x)是单调函数,且有反函数a=h(y),则r=g(x)的密度函数为75设X〜吟，a2，则当々类0时，Y=kX+b~N^+b，k2a2.特别地，-/V(O,1).(J76例n｛第六章例8、设x与r独立同分布，且X^2V(o,l),则z=x+y有分布娥数^(z)=P(x+y^)=^l=f:/dv‘因此x+r有密度函数fz(z>_^e4，即Z-N(0,2).77设V,…,足相!丨:独立,且X,有分布函数F.()=L…,n).r=min{X},Z=max{X}则z有分布函数:Fz(Z)=F\Z<z)=P(Xi

<zj

=1■…，'/)=F^zyFiiz)**Fti(z)

(-oo<^<+«);y的分布函数t/；(y)=P(Y<y)

-1-P(tnin{X.}>y)=l-P(Xi>y)P(X2

>y)…P(A\>y)=I-(1-/=；

(y»(1-F2(>))■■(1-/;((y))(-co<y<-ko).78若均为连续型的,且有公共密度函数f（x）.则y,z分别荇分布函数及密度函数/^(z)=(F⑵)"(-OO<Z</7(y)=1-(1-F(y)/(-co<y<+oo);fz(Z)=h(/(Z))(F(z))?,(-00<Z<-H=o),A(y)="(/(»)(卜厂(»广1(-^<}<初0),其中为X,,…,X„的公共分布函数.79例23独立,；(服从参数A=1的指数分布,/服从区间(◦,1)h均匀分布。U:max(X.F)TV=min(XTy)e分别求UV的密度函数,解依股设x/i分布闹数Fa(x)=x>(),x<0:0,y4(分布函数Fr

(v)=<y.y<0,0<y<I,0,而/；(u)=P(G<u)=P(max{X,y}<u)=/^(M)/v(u)=^(l-e_tf)«,卜e人u<0,0<w<1,u>

i；Fv(v)-尸(V<v)=P(min{Xt/}<p)=l-(l-^(v)Xl一FVM)0,v£0.=d—(】-v)e_v,0<v<1,hv>i.80［馳,tUf密度函数0,人(")=1邏e-\Vff密吱函数h<0,0<w<hM>1;(2-v)e'0,0<v<l,其他.81（四）随机变量的数字特征1.数学期望2.7』若:和标准差3.协方差和相关系数4.大数定律和中心极限定理821.数学期望•如果X有概率密度/(.r)，且J；；|x|/(x)dA<oo,则定义E(X)=|为的期璧，•如果X有分布律:X工1xy

…x.…概率AP2

…Pi

一且玄»<0°,则定义E(X)=ZxtPl为X的期望-83期望的性质设a,b,c都是常数.(1)E(c)=c^(2)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)；(3)当Y与y相互独立时,E{XY)^E(XE(Y).840-1分布s(l，p):E(X)二p'二项分布B(n.p):E(X)=np；泊松分布P(A):E(X)=2；均匀分布R(a,b):指数分布E(2):£(X)=j;A正态分布A/|/Z,cr2):E(X)=卜85随机变量函数的期望（1）X有概率密度/（X）,则£Wx))O)/(x)ck(2)X有分布律pk=P、X=xk、,炎=1,2,…,则E(g(x))=^S(xk)Prk86例24(.第七章例5)分赌本问题(pointproblem)甲乙二人各有赌本a元，约定谁先胜三局赢得全部赌本2a元，假定屮、乙二人毎一局的取胜概率相等.现已赌三局结果是：甲二胜一负.由于某种原因赌博中止，问如何分2a元赌本才合理？提示如果甲乙两人平均分，对甲是不合理的；能否依据现在的胜负结果2:1来分呢？但仔细推算也是不合理的，当时著名数学家和物理学家帕斯卡提出一个合理的分法是：如果赌局继续下去，他们各自的期望所得就是他们应该分得的.87若记x为甲最终所得,y为乙的最终所得,容易得到x,y的分布律为x概率02ay1/43/4概率02a3/41/4问题归结为计算甲、乙期望所得E(X)及E(K).88例25｛第七章例11.把n个球放进M只盒子，假定每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望.提示本例不宜直接求E(X),而是将X分解成X^X.,其中»=|1,盒广”0,第/个盒J*没球为示性变量，而x,.的期望容易求得:e(xj=i~(i-—r.M应用期望的性质，即得E(X)=YE(Xi)=M[l-(l-—y]TTM89中位数也是描述分布的中心位罝的-个数字特征.其定义如下:如X是,个连续型随机变量,称满足条件PfX<5)==(15的实数凡,5为兄的中位数.例设X-R(a.b)t则蛣知X的+位数为凡__,=¥,hi数学期申值相同.902»方差和标川设有两批钢筋（每批10根）它们的抗拉强度为:第一批110,120,120,125,125，125,130,130，135,140,第二批90，100,120,125,125,130,135,145,145，145.可tl•算出两批数据的平均数都是126,但直观上第二批数据比第一批数据与平均值126有较大的偏离.因此，欲描述一组数据的分布单单有中心位置的指标示不够的，尚需有一个描述相对于屮心位置的偏离程度的指标，对于随机变fi也冇相同的问题，除了使用期望描述分布的屮心位置以外，尚需一个描述相对于期望的分散程度的指标.91•定义:D(X)=E(X-Em)2称D(X)为X的方差，j/XX)为X的标准差.•计算公式D(X)=E(X2)-(E(X))2.920-1分布B(1，P):D(x)=p(l-p);二项分布B(n，p):D(X)=np(\-p);泊松分布P(2):£>(%)=A;均匀分布R(a，b):D(X)=(’〒:)-;指数分布£(A):P(X)=-^;正态分布AH//，:D(X)-CT2.93方差的性质:设a与r都足常数，(I)£)(c)=0:(2)D(aX)=a2D(X);(3)x与y独立，则n(x±y)=D(x)+n(y),例设XltX2,-^X/t独立同分布，£(%!)=AZXXJ-cr2,_1n_—2则对算术平均X^-Yxi，有£(X)="，D(X)=—.n这衷明，作为中心位置指标Y与单个；^有相同的期望值，但Y的精度高于单个94例26设X,相互独立,且®服从正态分布/V(L2),求随机变黾Z=\X-Y\的期望和赚解令W=X-Y.Wx,K独立且都服从正态分布N(l,2),故IV服从正态分布,RE(W)=Q,D(W)=4^£(Z)=£|W|=472^而E(Z~)=E(W-)=D(W)

+(E(W))2=4r168所以D(Z)-E(Z2