高考数学一轮复习素养训练(一)

素养训练(一)__数学抽象1．已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))＋eq\r(8－2x)的定义域为()A．[0，3]B．[0，2]C．[1，2]D．[1，3]2．若幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)x2m－1在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为()A．0B．1C．2D．0或23．函数y＝loga(x＋4)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ＝()A．－eq\f(5,13)B．eq\f(5,13)C．－eq\f(12,13)D．eq\f(12,13)4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”的个数为()A．7B．8C．9D．105．已知函数f(x)＝x3＋2x2f′(1)＋2，且图象在点x＝2处的切线的倾斜角为α，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))的值为()A．eq\f(3,16)B．－eq\f(3,16)C．eq\f(4,17)D．－eq\f(4,17)6．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4＋λa10＋a16＝15，则实数λ的最大值为()A．eq\f(7,2)B．eq\f(53,19)C．－eq\f(23,19)D．－eq\f(1,2)7．已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝eq\f(π,3)，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝()A．eq\f(π,3)B．eq\f(2π,3)C．πD．eq\f(4π,3)8．已知函数f(x)在R上单调递减，且a＝33.1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(π)，c＝lneq\f(1,3)，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()A．f(a)>f(b)>f(c)B．f(b)>f(c)>f(a)C．f(c)>f(a)>f(b)D．f(c)>f(b)>f(a)9．已知f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))C．[－1，1]D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))10．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列{1，2}．第一次“H扩展”后得到{1，3，2}；第二次“H扩展”后得到{1，4，3，5，2}．那么第10次“H扩展”后得到的数列的项数为()A．1023B．1025C．513D．51111．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝eq\f(2x＋3,2x＋1)，则函数y＝[f(x)]的值域为()A．{0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}12．定义在R上的偶函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝－x＋1，设函数g(x)＝e－|x－1|(－1<x<3)，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为()A．3B．4C．5D．613．设向量a＝(m，1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为________．14．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2，3)且法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(1，2，3)且法向量为m＝(－1，－2，1)的平面(点法式)方程为________________．15．已知椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的右焦点F到双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离小于eq\r(3)，则双曲线E的离心率的取值范围是________________．16．设函数y＝f(x)的图象与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x＋a)的图象关于直线y＝－x对称，且f(－3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝4，则实数a＝________．素养训练（一）数学抽象1．答案：A解析：由题意，可知x满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤\f(1,2)x≤2，,8－2x≥0，))解得0≤x≤3，即函数g（x）的定义域为[0，3]，故选A.2．答案：C解析：∵f（x）是幂函数，∴m2－2m＋1＝1，即m＝0或2.又∵f（x）在（0，＋∞）上为增函数，∴2m－1>0，即m>eq\f(1,2).∴m＝2.故选C.3．答案：C解析：对于函数y＝loga（x＋4）＋2（a>0且a≠1），令x＋4＝1，求得x＝－3，则y＝2，∴函数的图象恒过点A（－3，2），∵点A在角θ的终边上，∴tanθ＝eq\f(y,x)＝－eq\f(2,3)，则sin2θ＝eq\f(2sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(2tanθ,tan2θ＋1)＝－eq\f(12,13).故选C.4．答案：C解析：函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}，当x＝±1时，y＝1；当x＝±2时，y＝4.则定义域可以为{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{－1，2，－2}，{1，－2，2}，{1，－1，2，－2}，因此“同族函数”共有9个．故选C.5．答案：D解析：∵f（x）＝x3＋2x2f′（1）＋2，∴f′（x）＝3x2＋4xf′（1），∴f′（1）＝3＋4f′（1），解得f′（1）＝－1，∴f′（x）＝3x2－4x，∴f′（2）＝3×22－4×2＝4，图象在点x＝2处的切线的斜率k＝tanα＝4，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosαsinα＝－eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(4,17)，故选D.6．答案：D解析：∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4＋λa10＋a16＝15，∴1＋3d＋λ（1＋9d）＋1＋15d＝15，解得λ＝eq\f(13－18d,1＋9d)，∵d∈[1，2]，λ＝－2＋eq\f(15,1＋9d)是减函数，∴d＝1时，实数λ取最大值，λ＝eq\f(13－18,1＋9)＝－eq\f(1,2).故选D.7．答案：B解析：由y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数知：f（－x）＝f（x），f（x＋2）＝f（－x＋2）＝f（x－2），故f（x）＝f（x＋4），则F（3）＝f（3）＋f（－3）＝2f（3）＝2f（－1）＝2f（1）＝eq\f(2π,3)，故选B.8．答案：D解析：因为a＝33.1>30＝1，0<b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(π)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0)＝1，c＝lneq\f(1,3)<ln1＝0，所以c<b<a，又因为函数f（x）在R上单调递减，所以f（c）>f（b）>f（a），故选D.9．答案：B解析：∵f（x）是定义在[2b，1－b]上的偶函数，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1，f（x）在[2b，0]上为增函数，即函数f（x）在[－2，0]上为增函数，故函数f（x）在（0，2]上为减函数，则由f（x－1）≤f（2x），可得|x－1|≥|2x|，即（x－1）2≥4x2，解得－1≤x≤eq\f(1,3).又因为定义域为[－2，2]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤x－1≤2，,－2≤2x≤2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤3，,－1≤x≤1.))综上，所求不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3))).10．答案：B解析：设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为an，则第n＋1次“H扩展”后得到的数列的项数为an＋1＝2an－1，∴an＋1－1＝2（an－1），∴eq\f(an＋1－1,an－1)＝2.又a1－1＝3－1＝2，∴{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an－1＝2·2n－1，∴an＝2n＋1，∴a10＝210＋1＝1025.故选B.11．答案：D解析：f（x）＝eq\f(2x＋3,2x＋1)＝eq\f(2x＋1＋2,2x＋1)＝1＋eq\f(2,2x＋1)，∵2x>0，∴1＋2x>1，∴0<eq\f(1,2x＋1)<1，则0<eq\f(2,2x＋1)<2，∴1<1＋eq\f(2,2x＋1)<3，即1<f（x）<3，当1<f（x）<2时，[f（x）]＝1，当2≤f（x）<3时，[f（x）]＝2，综上，函数y＝[f（x）]的值域为{1，2}．故选D.12．答案：B解析：由f（x）是偶函数且满足f（1＋x）＝f（1－x）可得f（x）的图象关于y轴对称且关于直线x＝1对称，函数g（x）＝e－|x－1|（－1<x<3）的图象也关于直线x＝1对称，函数y＝f（x）的图象与函数g（x）＝e－|x－1|（－1<x<3）的图象的位置关系如图所示，可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x＝1对称，则f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为4，故选B.13．答案：－1解析：因为a与b共线且方向相反，由共线向量定理可设a＝λb（λ<0），即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝λ，,1＝λm，))解得m＝±1，由于λ<0，所以m＝－1.14．答案：x＋2y－z－2＝0解析：由题意可设Q（x，y，z）为所求平面内的任一点，则根据eq\o(BQ,\s\up6(→))⊥m，得eq\o(BQ,\s\up6(→))·m＝0，所以（－1）×（x－1）＋（－2）×（y－2）＋1×（z－3）＝0，化简得x＋2y－z－2＝0.故所求平面方程为x＋2y－z－2＝0.15．答案：（1，2）解析：椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的右焦点F为（2，0），不妨取双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的一条渐近线为bx＋ay＝0，则焦点F到渐近线bx＋ay＝0的距离d＝eq\f(|2b|,\r(b2＋a2))<eq\r(3)，即有2b<eq\r(3)c，∴4b2<3c2，∴4（c2－a2）<3c2，∴e<2，∵e>1，∴1<e<2.16．答案：