高等数学上册知识点(一)

高等数学上册

第一章函数与极限

(一)函数

1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；

2、反函数、复合函数、函数的运算；

3、初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、

双曲函数、反双曲函数；

4、函数的连续性与间断点；

函数/(%)在与连续V=lim/(x)=/(x0)

'第一类：左右极限均存在。

间断点1可去间断点、跳跃间断点

、第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点

5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、

介值定理及其推论。

(二)极限

1、定义

1)数列极限

2)函数极限

左极限：/(汇)=礴/(%)右极限：/«)=Um/(x)

2、极限存在准则

1)夹逼准则：

1)(〃2〃o)

^=>

2)lim%=limz〃=alimxn=a

H—>00n—»oo/?—>00

2)单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小(大)量

1)定义：若丽。二°则称为无穷小量；若1皿。=8则称为无穷大

量。

2)无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、上阶无穷小

Th1a〜，＜=＞，=a+o(a)；

Th21〜优，尸〜,，lim乌存在，则111)12=111112；(无穷小代换)

—aaa

4、求极限的方法

1)单调有界准则；

2)夹逼准则；

3)极限运算准则及函数连续性；

4)两个重要极限：

a)lims—*-1k)lim(l+x"=lim(1+—)A=e

x-＞0xXTORF%

5)无穷小代换：(x30)

a)e"—1~x(优—1~xIna)

x

b)ln(l+x)~x(l0g(l+^)~~—)

aIna

第二章导数与微分

(-)导数

r，r/（x）-/（x0）

1、定义：/uo）=lim^---------

Xf%oX-XG

，，/\V/（X）一/（工0）

左导数：f（%o）=i1m2--------：—-

ixoX-Xo

右导数：以（%o）=hm-----------------

Xf与X—%0

函数/（x）在/点可导O£（%）=f：M

2、几何意义：尸（％0）为曲线y=/（x）在点（%0，/（%0））处的切线的斜

率。

3、可导与连续的关系：

4、求导的方法

1）导数定义；

2）基本公式；

3）四则运算；

4）复合函数求导（链式法则）；

5）隐函数求导数；

6）参数方程求导；

7）对数求导法。

5、高阶导数

d~y_dfdy'

2

1）定义：dxdx\dxy

2）Leibniz公式：（W"）

&=0

（-）微分

1)定义：△y=/(%o+Ax)—/(Xo)=AAx+o(Ax),其中A与Ax

无关。

2)可微与可导的关系：可微O可导，且dy=/'(%o)Ax=7'(%o)dx

第三章微分中值定理与导数的应用

(―)中值定理

1、Rolle定理：若函数/(%)满足：

1)/WeC[a,b]；2)f(x)GD(a,b)；3)f(a)=/(b)；

贝恸'(4)=0.

2、Lagrange中值定理：若函数/(X)满足：

1)fMGC[a,b]；2)/(x)eD(a,b)；

则三J£(a,b\W3)-f(a)=f\^b-a).

3、Cauchy中值定理：若函数/(%),方(%)满足：

1)f(x),F(x)&C[a,b]；2)fM,F(x)&D(a,b)；3)

方'(x)w0,xe(a,b)

/ST⑷J©

贝”使

F(b)-F(a)~9(J)

(二)洛必达法则

(三)Taylor公式

〃阶Taylor公式:

J在工0与％之间.

当％0=0时，成为〃阶麦克劳林公式:

4在°与％之间.

常见函数的麦克劳林公式:

1)Ql+x+-x2+--+~xn+—,n+l

2!n\5+1)!

4在。与x之间,—CO<X<+OO；

2)

7T

sin4+(2m+1)；

3572/n—1

XXX,八时12/M+1

sinx=%------+------------+•••+(-1)--------------F人

3!5!7!(2m-1)!(2m+1)!

4在。与X之间，-8VXV+0O；

cosJ+2”：

2462加一2

*X2m

(人

3)cos^=i-—+-.-+-ir-'

2!4!6!(2m-2)!(2m)!

J在0与x之间，-8VXV+8;

MX3X4

4)ln(l+x)=%+…+(T严

234

J在0与X之间，

5)

a(a-l)a(a-l)(a-2)a(a-l)-\a-n+V)

(1+%)“=l+a%—--------X2H----------------------X3+・・・H------------------------------Xn

2!3!

a(a-l>・・(a—〃)(l+ja-i„+1

IX

5+1)!

4在0与x之间，一

（四）单调性及极值

1、单调性判别法：/(x)eC[a,b],f(x)eD(a,b),则若

f(x)>0,则/(x)单调增加；则若/'(%)<0,则/(%)单调减

少。

2、极值及其判定定理：

a)必要条件：/(%)在%()可导，若/为了(%)的极值点，则

/U)=o.

b)第一充分条件：/(%)在与的邻域内可导，且/(/)=0,则①若

当％<%o时，f\x)>0,当%时，/\x)<0,则％°为极大值

点；②若当了时，尸(%)<0,当%>%o时，:(尤)>。，则

%o为极小值点；③若在/的两侧/'(1)不变号，则％o不是极值

点。

C)第二充分条件：/(幻在/处二阶可导，且[(%0)=0,

―肛则

①若r'(/)<。，则％0为极大值点；②若/〃(%0)〉。，则》0为极

小值点。

3、凹凸性及其判断，拐点

1)/(%)在区间/上连续，若则称

/(%)在区间/上的图形是凹的；若

Vx,，x2e/5/(土产)〉山则称/(x)在区间/上的图形是

凸的。

2)判定定理：/(%)在句上连续，在(4涉)上有一阶、二阶导数，则

a)若V%w(。力),/"(%)>0,则/(功在。上的图形是凹的;

b)若Dxe3。)J"(x)<0,则/(%)在句上的图形是凸的。

3)拐点：设y=/(x)在区间/上连续，/是/(%)的内点，如果曲线

)=/(%)经过点(%o，/(%o))时，曲线的凹凸性改变了，则称点

(%()，/(%0))为曲线的拐点。

(五)不等式证明

1、利用微分中值定理；

2、利用函数单调性；

3、利用极值(最值)。

(六)方程根的讨论

1、连续函数的介值定理；

2、Rolle定理；

3、函数的单调性；

4、极值、最值；

5、凹凸性。

(七)渐近线

1、铅直渐近线：Hm/(x)=8则x=a为一条铅直渐近线；

x—a

2、水平渐近线：lim/(x)=h则y=b为一条水平渐近线；

X->CO

3、斜渐近线：吧=%.[/(力一=b存在，则丁=k%+人为

XX^00

一条斜

渐近线。

(八)图形描绘

步骤：

1,确定函数丁=/（九）的定义域，并考察其对称性及周期性；

2.求/（%）,/"（为并求出于工淄及于％淄为零和不存在的点；

3.列表判别函数的增减及曲线的凹向，求出极值和拐点；

4.求渐近线；

5.确定某些特殊点，描绘函数图形.

第四章不定积分

（一）概念和性质

1、原函数：在区间/上，若函数尸（X）可导，且/'3=/（%）,则

尸（X）称为/（X）的一个原函数。

2、不定积分：在区间/上，函数/（%）的带有任意常数的原函数称为

/（%）在区间/上的不定积分。

3、基本积分表（P188,13个公式）；

4、性质（线性性）。

（二）换元积分法

1、第一类换元法（凑微分）：J/［e（x）］”（x）dx=［j/（〃）d〃］u=（p（x）

2、第二类换元法（变量代换）：］/（%）2%=?/［。。）］。'«）山］仁/_1袅）

（三）分部积分法：\udv=uv-^vdu

（四）有理函数积分

1、"拆”；

2、变量代换（三角代换、倒代换等）。

第五章定积分

（一）概念与性质:

1、定义：£/(%"=妈应

Z=1

2、性质：(7条)

性质7(积分中值定理)函数/(幻在区间切上连续，则勿,

a

Mf(x)dx

使1f(x)dx=f^)(b-a)(平均值：/O='------)

(二)微积分基本公式(N—L公式)

1、变上限积分：设①(%)=[/⑺为，则①'(x)=/(x)

推广：lx[：>")力=/[£(%)]£'(%)一/[。(%)]优(%)

2、N—L公式：若尸(％)为了(x)的一个原函数，则

a[f{x)dx=F(b)—F(a)

Ja

(三)换元法和分部积分

1、换元法：ff{x}dx=\力。⑺]"⑺山

JaJa

2、分部积分法：udv=\uv^a-vdu

(四)反常积分

1、无穷积分：

2、瑕积分：

rb

If(x)dx=limJf(x)dxQ为瑕点)

“a夕”

1f(x)dx=lim「f(x)dx(方为瑕点)

t—>b-a

两个重要的反常积分:

+00,p<1

T8dx_

ip

Pa-

1)aXp>1

p—1’

s_。尸

、bdxdx，9<1

=『i-q

2)a(x_a)qs-xy

+00,

第六章定积分的应用

（-）平面图形的面积

1、直角坐标：A=［力（%）—.力（了）］小

2、极坐标：4=10［冠（夕）—讨2）打夕

（二）体积

1、旋转体体积:

a）曲边梯形y=/。）,元=々,尤=力,元轴，绕入轴旋转而成的旋转体

的体积：匕=，石2（%）公

b）曲边梯形y=/（1）,尤=。,尤=匕,九轴，绕y轴旋转而成的旋转体

的体积：匕=1：2时

（柱壳法）

2、平行截面面积已知的立体：V=^A（x）dx

（三）弧长

=♦/+[/(')]2

1、直角坐标:dx

2、参数方程：S=⑺],+加"）]'dt

3、极坐标：S=,，[夕（夕）]2+[//⑹]2de

第七章微分方程

（­）概念

1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方

程。

阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。

2、解：使微分方程成为恒等式的函数。

通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶

数相同。

特解：确定了通解中的任意常数后得到的解。

（二）变量可分离的方程

g（y）dy=f（x）dx,两边积分=公

（三）齐次型方程

?="（』），设〃=）,dydu

贝—=〃+X—•

axxxJdxdx'

dx,.x.xdxdv

或丁二。（一）设v=一则~r=v+y~

dyy，y'dydy

（四）一阶线性微分方程

用常数变易法或用公式:

y=e」P（x"[Q（x）JP⑴加八+C

（五）可降阶的高阶微分方程

1、y'")=/(%),两边积分〃次;