高中数学学科测试试卷

高中数学学科测试试卷

学校：姓名：班级：考号：

题号一二总分

得分

评卷人得分

一.单选题(共_小题)

1.设集合P={x|x=2k-Lkez},集合Q={y|y=2n,nez},若x°£P,yoWQ,a=xo+yo,b=xo*yo,

则()

A.aep,beQB.aeQ,bepc.aep,bepD.aeQ,beQ

C(A)—C(B)9当C(A)〉C(E)

2.用C(A)表示非空集合A中元素个数，定义A*B=

C(B)-C(A)9当C(A)<C(B)

A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0}且A*B=1,则实数a的所有取值为()

A.0B.0,-2j2C.0,2J2D.-2j2-0,2J2

3.设集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={ai,a2,a?}是S的子集，且ai,a2,a3

满足ai<a2<a3,a3-a2<6,那么满足条件的集合A的个数为()

A.78B.76C.84D.83

4.已知集合乂={016印01・废}，a=「+jy,贝IJ()

A.{a}GMB.a4M

C.{a}是M的真子集D.{a}=M

5.下列各式：@ie{0,1,2)；②0G{0,1,2}；(3){l}e{0,1,2004}；④{0,1,2}£{0,

1,2}；⑤{0,1,2}=[2,0,1},其中错误的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.设A设y|y=-l+x-2x2},若mGA,则必有()

A.me｛正有理数｝B.mG｛负有理数｝C.md｛正实数｝D.mW｛负实数｝

7.已知集合人={1,2,3},则B={x-y|xGA,yEA}中的元素个数为（）

A.9B.5C.3D.1

8.设集合p={xl”-序KO},m=205,则下列关系中正确的是（

A.m£PB.m$PC.mepD.mep

9.设M={a},则下列写法正确的是（)

u

A.a=MB.aGMC.acMD.aM

工

10.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k],即用={591＜皿

GZ},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

①2013d⑶；

②-2d[2]；

（3）Z=[0]U[l]U[2]U[3]U[4];

④当且仅当aa-b6[0]w整数a,b属于同一“类”.

其中，正确结论的个数为.（）

A.1B.2C.3D.4

11.下列六个关系式：①{a,b}U{b,a}②{a,b}={b,a}③0=。④0d{0}⑤。曰0}⑥0G{0}其中

正确的个数为（）

A.6个B.5个C.4个D.少于4个

12.设集合P={X|X2+X-6=0},则集合P的元素个数是（）

A.0B.1C.2D.3

13.已知集合人=g},则下列各式正确的是（）

U

A.aAB.a£AC.a$AD.a=A

评卷人得分

二.简答题（共_小题）

14.若集合{x,y,X}={1,2,3},且下列三个关系：①x=l；②y#l③z=2有且只有一个是正

确的，求符合条件的有序数组（x,y,z）

15.Si、S2、S3为非空整数集合，对应1、2、3的任意一个排列i、j、k,若x£S,y£S”则

y-xeSk

(l)证明：3个集合中至少有两个相等

(2)3个集合中是否可能有两个集合无公共元素？

16.已知集合A={xR|x2+2x+a=0}.

(1)若A中只有一个元素，求实数a的值，并求出这个元素；

(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.

17.已知集合A={0,2a-l,a2},B={a-5,1-a,9},分别求符合下列条件的a的值.

(1)9e(APB)；

(2){9}=AAB.

18.当a,b在实数范围内变化时，函数f(x)=acosx+bsinx的全体记为集合M.

(1)求证：当ai=a2,bi=b?(ai,a2,bi,b?^R)不同时成立时,fi(x)二aicosx+bisinx和f?

(x):azcosx+bzsinx是集合M中的两个不同的元素；

(2)若fo(x)=aoCOSX+bosinxeM,对任意t£R,函数fo(x+t)的全体记为集合A,证明：

AcM.

设

19.M=a{a|a=x2-y2,x,y£Z}.

(1)求证：2k+lGM,(其中k£Z)；

(2)求证：4k・2阵M,(其中k£Z)

(3)属于M的两个整数，其积是否属于M.

20.已知集合集{x|x=3n+l,n£Z},B={x|x=3n+2,n£Z},M={x|x=6n+3,n£Z},对于任意a

£A,b£B,是否一定有a+b=m且m£M?

高中数学学科测试试卷

学校：姓名：班级：考号：

题号一二总分

得分

评卷人得分

一.单选题(共_小题)

1.设集合P={x|x=2k-1,kGZ},集合Q={y|y=2n,nWZ},若xoCP,yoCQ,a=xo+yo,b=xo*yo,

则()

A.aep,beQB.aeQ,bepc.aep,bepD.aeQ,beQ

答案：A

解析：

解：VxoGP,yoGQ，

设x()=2k-l,yo=2n,n,kez,

则x0+yo=2k-l+2n=2(n+k)-1GP,

xoyo=(2k-l)(2n)=2(2nk-n),故xoyoGQ.

故aGP,beQ,

故选A.

C(A)—C(B),当C(A)〉C(B)

2.用C(A)表示非空集合A中元素个数，定义A*B=,若

C(fl)-C(A),当C(A)<C(8)

A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0}且A*B=1,则实数a的所有取值为()

A.0B.0,-2JTC.0,2J2D.-2「，0,2J2

答案：D

解析：

解：由于(x2+ax)(x2+ax+2)=0等价于x2+ax=0①或x2+ax+2=0②，

又由A={1,2},且A*B=1,

集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，

1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，

，a=0；

2。集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，

叫[△=«-，-8=0,

解得a=±2「，

综上所述a=0或a=±2「，

故选：D.

设集合集合是的子集，且

3.S={L2,3,4,5,6,7,8,9},A={a>a2,as}Sai,a2,a3

满足〈那么满足条件的集合的个数为()

ai<a2a3,a3-a2^6,A

A.78B.76C.84D.83

答案：D

解析：

解：从集合S中任选3个元素组成集合A,一个能组成Cg3个，

其中A={1,2,9}不合条件，其它的都符合条件，

所以满足条件的集合的个数3

AC9-l-83.

故选D.

4.已知集合M={mWR|mWjiT},a=「+JJ,贝lj()

A.{a}£MB.a$M

C.{a}是M的真子集D.{a}=M

答案：C

解析：

(j2+j3)2=5+2j6<5+2j9=11<(JT2)2=12；

AaeM,且存在但J国{a}；

，{a}是M的真子集.

故选：C.

5.下列各式：®1G{O,1,2}；②0G{0,1,2}；(3){1}€{0,1,2004}；④{0,1,2}£{0,

1,2}；⑤{0,1,2}={2,0,1},其中错误的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：A

解析：

解:：①1《{0,1,2},元素与集合之间用属于符号，故正确；

②0={0,1,2}；空集是任何集合的子集，正确

③{l}d{0,1,2004)；集合与集合之间不能用属于符号，故不正确；

®{0,1,2}c{0,1.2},集合本身是集合的子集，故正确

⑤{0,1,2}={2,0,1},根据集合的无序性可知正确；

故选：A

6.设A={y|y=-l+x-2x2},若mdA,则必有()

A.mW{正有理数}B.mW{负有理数}C.mW{正实数}D.mW{负实数}

答案：D

解析:

9|977

解：y=-1+x—2x~=-2(.r—)~——4—；

488

.•.若mdA则mVO,所以me{负实数}.

故选D.

7.已知集合人={1,2,3),则8=仅,卜右人，yGA}中的元素个数为()

A.9B.5C.3D.1

答案：B

解析：

解：VA={1,2,3},B={x-y|xGA,yGA},

x=l,2,3,y=l,2,3.

当x=l时,x-y=O,-1,-2；

当x=2时，x-y=l,0,-1；

当x=3时，x-y=2,1,0.

即x-y=2,-1,0,1,2.即B={-2,-1,0,1,2}共有5个元素.

故选:B.

8.设集合P={xlx2-「x40},m=20-5,则下列关系中正确的是（）

A.m£PB.m$PC.m£PD.mep

答案：C

解析：

解：..,集合p={xlx2-JTx<0}={-rio<,

m=206=ji，则mGP.

故选C.

9.设M={a},则下列写法正确的是（）

u

A.a=MB.a£MC.aGMD.aM

工

答案：B

解析：

解：因为集合M={a},a是集合的元素，所以选项B正确；A、C、D错在a不是集合.

故选B.

10.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k],即[k]={5n+k|n

GZ},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:

①20136⑶；

②-202]；

@Z=[0]U[l]U[2]U[3]U[4]；

④当且仅当“a-be[O]”整数a,b属于同一“类

其中，正确结论的个数为.（）

A.1B.2C.3D.4

答案：C

解析：

解:①：2013+5=402…3,2013£[3],故①正确；

②：-2=5X（-1）+3,/.-2e[3],故②错误；

③•••整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]U[l]U[2]U[3]U[4],故③正

确；

④•.•整数a,b属于同一“类"，，整数a,b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为

0,

反之也成立，故当且仅当“a-bd[0]”整数a,b属于同一“类”.故④正确.

正确的结论为①③④.

故选：C.

11.下列六个关系式:①{a,b}£{b,a}②{a,b}={b,a}③0=。④0d{0}⑤。^{0}⑥0a{0}其中

正确的个数为（）

A.6个B.5个C.4个D.少于4个

答案：C

解析：

解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确；

根据集合无序性可知②正确；

根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；

根据元素与集合之间可知④正确；

根据空集是任何集合的子集可知⑥正确.

故选C.

12.设集合P={X|X2+X-6=0},则集合P的元素个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案：C

解析：

解：集合P={X|X2+X-6=0},

解方程X2+X-6=0,得两根：2,-3

则集合P的元素个数是2.

故选C.

13.已知集合A={a},则下列各式正确的是()

u

A.aAB.a£AC.a5AD.a=A

工

答案：B

解析：

解：；集合A={a},

AaGA

故选B

评卷人得分

二.简答题(共一小题)

14.若集合{x,y,X}={1,2,3},且下列三个关系：①x=l：②yWl③z=2有且只有一个是正

确的，求符合条件的有序数组(x,y,z)

答案：

解：(1)若x=l正确，则yWl正确，不符合只有一个正确；

(2)若yWl正确，则xWl,zW2；

；.z=l,x=2,y=3,或z=l,x=3,y=2；

(3)若z=2正确，则x#l,y=l；

.*.x=3,y=l,z=2；

；・符合条件的有序数组(x,y,z)为：(2,3,1),(3,2,1),(3,1,2).

解析：

解：(1)若x==l正确，则正确，不符合只有一个正确；

(2)若yWl正确，则xWl,zW2；

z=l,x=2,y=3,或z=l,x=3,y=2；

(3)若z=2正确，则xWl,y=l；

.'.x=3,y=l,z=2；

・•・符合条件的有序数组(x,y,z)为：(2,3,1),(3,2,1),(3,1,2).

15.Si、S2、S3为非空整数集合，对应1、2、3的任意一个排列i、j、k,若xGSi,ydSj,则

y-xeSk

（1）证明：3个集合中至少有两个相等

（2）3个集合中是否可能有两个集合无公共元素？

答案：

解：（1）证明：若xeSi,ye%则y-xGSk,从而（y-x）-y=-xeSi,所以Si中有非负元素；

由i,j,k的任意性可知三个集合中都有非负元素；

若三个集合都没有0,则取S1US2US3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，

所以这样的a存在）；

不妨设aw%,取S2US3中的最小正整数b,并不妨设beS2,这时b>a（否则b不可能大

于a,只能等于a,所以b-a=0WS3,矛盾）；

但是，这样就导致了0<b-a<b,且b-aCS3,这时与b为S2US3中的最小正整数矛盾；

...三个集合中必有一个集合含有0.

•..三个集合中有一个集合含有0,不妨设oeSi,则对任意XGS2,有x-o=xes3；

，S2包含于S3；

对于任意yeS3,有y-0=ySS2；

.••S3包含于S2,则S2=S3；

综上所述，这三个集合中必有两个集合相等；

（2）可能；

比如Sl=｛奇数｝,S2=｛奇数｝,S3=｛偶数｝;

这时sms3=0.

解析：

解：（1）证明：若xeSi,yWSj,则y-xGSk,从而（y-x）-y=-xGS”所以Si中有非负元素；

由i,j,k的任意性可知三个集合中都有非负元素；

若三个集合都没有0,则取S1US2US3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，

所以这样的a存在）；

不妨设aeSa,取S2US3中的最小正整数b,并不妨设bGSz,这时b>a（否则b不可能大

于a,只能等于a,所以b-a=0CS3,矛盾）；

但是，这样就导致了0<b-a<b,且b-adS3,这时与b为S2US3中的最小正整数矛盾;

...三个集合中必有一个集合含有0.

..•三个集合中有一个集合含有0,不妨设OGSi,则对任意xWS2,有x-0=xWS3；

；.S2包含于S3；

对于任意yeS3,有y-0=yGS2；

；.S3包含于S2,则S2=S3；

综上所述，这三个集合中必有两个集合相等；

（2）可能；

比如Sl=｛奇数｝,52=｛奇数｝,S3=｛偶数｝;

这时Sins3=0.

16.已知集合A=｛xWR|x2+2x+a=0｝.

（1）若A中只有一个元素，求实数a的值，并求出这个元素；

（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.

答案：

解：（1）若集合A=｛x|x2+2ax+l=0,aGR,xGR｝中只有一个元素,

则关于x的一元二次方程x2+2ax+l=0有两个相等的实根，

即：A=4a2-4=0,解得,a=±1,

；.a=l时，解X2+2X+1=0,解得：x=-l,

a=-l时,解X2-2X+1=0,解得：x=l；

（2）若集合A=｛x|x2+2ax+l=0,aGR,xCR｝中至多一个元素,

则△=4a2-4W0

解得：-IWaWl.

解析：

解:（1）若集合A=｛x|x2+2ax+l=0,aGR,xGR｝中只有一个元素,

则关于x的一元二次方程x2+2ax+l=0有两个相等的实根，

即：△"-4=0,解得，a=±l,

；.a=l时，解X2+2X+1=0,解得：x=-l,

a=-l时，解X2-2X+1=0,解得:x=l；

(2)若集合A={x|x2+2ax+l=0,aGR,xWR}中至多一个元素,

则△=4a2-4W0

解得：-iWaWl.

17.已知集合人={0,2a-l,a2},B={a-5,1-a,9},分别求符合下列条件的a的值.

(1)9E(AAB)；

(2){9}=ACB.

答案：

解：(1)9c(AAB)；

/.9GA；

.\2a-l=9,或a2=9；

/.a=5,或a=±3；

①a=5时，A={0,9,25},B={0,-4,9},满足条件；

②a=3时，B={-2,-2,9},不满足集合元素的互异性；

③a=-3时，A={0,-7,9},B={-8,4,9),满足条件;

；.a=5,或-3；

(2){9}=ACB；

同样得到9dA；

由(1)知，a=5时，ACB={0,9},不满足条件；

a=3时集合B不存在,a=-3时有AAB={9}；

；.a=-3.

解析：

解：⑴9e(ACB)；

.".9SA；

...2a-l=9,或a2=9；

a=5,或2=±3；

①a=5时，A={0,9,25},B={0,-4,9),满足条件；

②a=3时，B={-2,-2,9},不满足集合元素的互异性；

③a=-3时，A={0,-7,9},B={-8,4,9),满足条件；

；.a=5,或-3；

(2){9}=ACB；

同样得到9GA；

由(1)知，a=5时,ADB={0,9},不满足条件；

a=3时集合B不存在,a=-3时有APB={9}；

a=-3.

18.当a,b在实数范围内变化时，函数f(x)=acosx+bsinx的全体记为集合M.

(1)求证：当ai=a2,bi=b?(ai,a2,bi,bz£R)不同时成立时，fi(x)=aicosx+bisinx和f?

(x)=a2cosx+b2sinx是集合M中的两个不同的元素；

(2)若fo(x)=aoCOSX+bosinxEM,对任意t£R,函数fo(x+t)的全体记为集合A,证明：

AcM.

答案：

(1)：反证法，假设fi(x)=f2(x)

(ai-32)cosx+(bi-bz)sinx=0

M中元素样式中，x是变量，cosx有不为零的可能，当cosxWO时，

(ai-32)+(bi-b2)tanx=0,

・・,以tanx为变量的一元一次方程有无数个解，

a]-a2=0

/.<=>31=32且.bl=b2,

h।-b)=0

与ai,a2,bi,bz不同时相等矛盾；

(2)对于任意的3

fo(x+t)

=aocos(x+t)+bosin(x+t)

=ao(cosxcost-sinxsint)+bo(sinxcost+cosxsint)

=(aocost+bosint)cosx+(bocost-aosint)sint,

令aocost+bosint=at,bocost-aosint=bt,

则fo(x+t)

=(aocost+bosint)cosx+(bocost-aosint)sint

=atcosx+btsint^M,

原命题得证.

解析：

(1):反证法，假设fl(x)=f2(x)

(ai-a2)cosx+(bi-b2)sinx=O

M中元素样式中，x是变量，cosx有不为零的可能，当cosxKO时,

(ai-a2)+(bi-bz)tanx=0,

•••以tanx为变量的一元一次方程有无数个解，

a]-a2=0

.<.<=>31=32月.bi=b2,

b।—b?=0

与ai,az,bi,bz不同时相等矛盾;

(2)对于任意的3

fo(x+t)

=aocos(x+t)+bosin(x+t)

=ao(cosxcost-sinxsint)+bo(sinxcost+cosxsint)

=(aocost+bosint)cosx+(bocost-aosint)sint,

令aocost+bosint=at,bocost-aosint=bt,

则fo(x+t)

=(aocost+bosint)cosx+(bocost-aosint)sint

=atcosx+btsinteM,

原命题得证.

19.M=a{a|a=x2-y2»x,y£Z}.

(1)求证：2k+ieM,(其中k£Z)；

(2)求证: