初中数学勾股定理同步练习

初中数学勾股定理同步练习

1.如图，某自动感应门的正上方4处装着一个感应器，离地4B=2.5米，当人体进入感

应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走

到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离4。

等于（）

A.1.2米B.1.5米C20米D25米

2."赵爽弦图"巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所

示的"赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设

直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,

则小正方形的边长为（）

C.4D.3

3.在RtAABC中，zC=90°,a=1,c=2,则b的长是（）

A.lB.V3C.2D.V5

4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,AABC的顶点都在格点上，则

△48c的边长为无理数的条数是（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

5.如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方

形.设直角三角形两条直角边长分别为a和b.若ab=8,大正方形的边长为5,则小正

方形的边长为（）

B.2C.3D.4

6.如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，

则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度x（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围

是（）

A.12<%<13B.12<x<15C.5<x<12D.5<x<13

7.在《算法统宗》中有一道"荡秋千"的问题："平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二

步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索

长有几？译文："有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平

距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直,

试问绳索有多长？"秋千的绳索始终拉的很直，则绳索长为（）

A.15.5RB.14.5尺C.13.5RD.12.5R

8.如图所示，在AABC中，AB=AC=10,AC_LBC于点D,若4。=6,则AABC

的周长是（）

试卷第2页，总15页

9.如图，在AABC中，Z.BAC=90°,以点4为圆心，以4c长为半径作弧交BC于点D,

再分别以点C,。为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线4F交BC

于点E,若AC=3,AB=4,连接4。，则旌.。=(

^-5

10.如图，直线/上有三个正方形A,B,C.若正方形A,C的面积分别为4和3,则正方

A.6B.23C.7D.120

11.在AABC中，44=30°,AB=12,BC=10,则此三角形面积为.

12.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为.

13.我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目"今有立木，系索其末，委地

三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？"

译文为"今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后,

堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽.问绳

索长是多少？”

示意图如图所示，设绳索4c的长为x尺，木柱4B的长用含久的代数式表示为

尺，根据题意，可列方程为.

14.某地因修建高速公路，工程测绘员甲在设计时发现要占用一块土地，但手里的资

料只知道这块土地是直角三角形，两边长分别为100m和80m,请你帮工程测绘员甲

计算这块土地的面积m2.

15.如图，在中，NC=90°,点。是线段48的中点，点E是线段BC上的一个动

点，若AC=6,BC=8,则DE长度的取值范围是.

16.如图，已知直线y=,一6与x轴、y轴分别交于B,C两点，点4是以£)(0,2)为圆心,

2为半径的。。上的一个动点，连接AC,AB,则△ABC面积的最小值是.

17.如图，乙4OB=15°,P为。4上一点，OP=8,“在射线OB上运动，N在射线。4

上运动，贝IJPM+MN的最小值为.

试卷第4页，总15页

18.（5分）如图，用四个一样的一个直角边分别为a、b（b〉a）斜边为c的直角三角形

可以拼成一个正方形，可以用两种方法求出中间正方形的面积S：

方法1：先求出中间正方形的边长，直接得出：S=；

方法2：用大正方形的面积减去四个三角形的面积：S=；

由上述两种方法求得的同一正方形的面积相等，由此可以得到a、b、c之间存在着关系

为：.

19.（5分）如图，在中，NC=90。，点。是BC边上一点，AD=BD,若

AB=8,BD=5,求CD的长.

20.（5分）《九章算术》中有一个“折竹抵地"问题："今有竹高九尺，末折抵地，去

本三尺，问折者高几何？"意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离

为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+4C=9尺，8c=3尺，则"■三4尺.

21.（15分）如图，在AABC中，。是4c边上的一点，AB=15,BC=12,BD=13,

CD=5.求A4BO的面积.

参考答案与试题解析

初中数学勾股定理同步练习

一、选择题(本题共计10小题，每题2分，共计20分)

1.

【答案】

B

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

2.

【答案】

D

【考点】

勾股定理

【解析】

由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据

即可求出小正方形的边长.

【解答】

解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,

每一个直角三角形的面积为：iab=ix8=4,

4xgab+(a—b)2=25,

(a—b)2=25—16=9,

a—b=3.

故选D.

3.

【答案】

B

【考点】

勾股定理

【解析】

根据勾股定理即可求解.

【解答】

解：在中，Z.C=90°,a=1,c=2,

b=Vc2—a2=V22—l2=y/3.

故选B.

4.

【答案】

C

【考点】

勾股定理

试卷第6页，总15页

【解析】

根据图形和勾股定理来解答即可.

【解答】

解：；AB=Vl2+42=

BC=,12+32=V10,AC=V32+42=5,

A4BC的边长有两条是无理数.

故选C.

5.

【答案】

C

【考点】

勾股定理

【解析】

由题意可知：中间小正方形的边长为a-6,根据三角形的面积公式以及题目给出的已

知数据即可求出小正方形的边长.

【解答】

解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,

每一个直角三角形的面积为：|ab=|x8=4,

.1.大正方形面积为：4x+(a—b)2=52=25,

(a—b)2=25—16=9,

:.a-b=-3(舍去)或a—b=3,

a—b=3.

故选C.

6.

【答案】

A

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

如图，当吸管底部在。点时吸管在罐内部分工最短，此时X就是圆柱形的高；当吸管底

部在4点时吸管在罐内部分x最长，此时x可以利用勾股定理在RtZiAB。中即可求出.

【解答】

解：如图，

当吸管底部在。点时，吸管在罐内部分x最短，

此时x就是圆柱形的高，

即％=12；

当吸管底部在4点时，吸管在罐内部分工最长，

即线段4B的长，

在Rt△AB。中，AB=7A02+BO?=V52+122=13,

此时x=13,

综上所述，12SxW13.

故选4

7.

【答案】

B

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：如图，过点B作BCJ.。4于点C,作BE垂直于地面，延长。4交地面于点D.

由题意知CD=BE=5,BC=10.

设绳索长x尺，

则。4=OB=x,OC=x+l-5=x-4.

在Rt^OBC中，OB2=OC2+BC2,BRx2=(x-4)2+102,

解得x=14.5.

故选8.

8.

【答案】

A

【考点】

勾股定理

等腰三角形的性质

【解析】

本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出BD,

再求出8C,最后可求出周长.

【解答】

解：v10,AD1BC,

Z.ADB=90°,BC=2BD,

•••BD=y/AB2-AD2=8,

•••BC=2BD=16,

三角形ABC的周长=10+10+16=36.

故选A

9.

【答案】

C

【考点】

试卷第8页，总15页

勾股定理

三角形的面积

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：ABAC=90。,4C=3AB=4,

BC=y/AB2+AC2=5,

根据作图过程可知：4F是CO的垂直平分线，

CE=DE,AE±CD,S.ABC='4c=38c'4E,

12

SAE=12,AE=苓,

在RtAACE中，根据勾股定理，得CE=H4C2-AE2=n

CD=2CE=当，

BD=BC-CD=5-^-=^,

1171242

S.=-BD-AE=-x-x—=—.

△ABD225525

故选C.

10.

【答案】

c

【考点】

勾股定理

全等三角形的性质与判定

【解析】

运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得NEDF=乙HFG,然后证明^DEF=

△FGH,再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可.

【解答】

解：如图，

•••A,B,C都是正方形，

DF=FH,乙DFH=90".

•••ADFE+AHFG=AEDF+ADFE=90",

4EDF=LHFG,

在小FGH中，

NEDF=乙HFG,

乙DEF=Z.HGF,

DF=HF,

•••DEF=^FGHiAAS),

•1-DE=FG,EF=HG,

在DEF中，由勾股定理得：

DF2=DE2+EF2=DE2+HG2,

即SB=+Sc=4+3=7.

故选C.

二、填空题（本题共计7小题，每题1分，共计7分）

11.

【答案】

18V3+24BK18V3-24.

【考点】

勾股定理

【解析】

首先分情况锐角三角形和钝角三角形讨论：画出示意图，过点8作8014C,利用直角

三角形的性质和勾股定理得出C。，进而可以得出S-BD的面积.

【解答】

解：过B点作B014C,

AB=12,44=30°,

BD=348=6,AD=6V2,

•••8c=10,3。2=8标+亦（勾股定理）

DC=>/BC2-BD2=8,

①如图：

1

•••S=-xBDx（AD+DC）

=|x6x（6V3+6）

=18V3+24

②如图：

试卷第10页，总15页

1

S=-xBDx(AD-AC)

=，x6x(6V3-8)

=184-24,

综上此三角形的面积为：18/+24或18/-24.

故答案为：18b+24或184-24.

12.

【答案】

30cm

【考点】

勾股定理

【解析】

设此直角三角形的斜边是C,根据勾股定理及已知不难求得斜边的长.

【解答】

解：设此直角三角形的斜边是C,

根据勾股定理知，两条直角边的平方和等于斜边的平方.

所以三边的平方和即2c2=1800cm2,c=+30cm(负值舍去)，取c=30cm.

故答案为：30cm.

13.

【答案】

X,X2-(X-3)2=82

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

14.

【答案】

2400或4000

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：分两种情况：①当两直角边分别为100m和80m时，

这块土地的面积为：100x80x[=4000(m2)；

②当一条直角边为80m,斜边为100m时，

另一条直角边长为：“002-802=60(m),

所以这块土地的面积为：80x60x|=2400(m2);

故答案为：2400或4000.

15.

【答案】

3<DE<5

【考点】

勾股定理

垂线段最短

【解析】

根据勾股定理得出CD的长和0E18c时DE的长，进而得出0E的取值范围.

【解答】

当E与C或重合时，DE最长，

在RtMBC中，AB=y/BC2+AC2=10,

点。是线段AB的中点，

CD=5,

当DEIBC时，CE最短，DE=>JBD2-BE2=V52-42=3,

所以DE长度的取值范围是3<DE<5,

16.

【答案】

22

【考点】

点到直线的距离

三角形的面积

一次函数图象上点的坐标特点

勾股定理的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：如图，过。作DM_LBC,连接BD.

由题意，得8(8,0),C(0,-6),

OB——8,OC——6,

BC=10,DC=8,

由三角形面积公式，得

SABCD=\BC-DM=\OB-DC,

即10DM=64,

解得DM=6.4,

•••圆。上点到直线y=|x-6的最小距离是6.4-2=4.4,

试卷第12页，总15页

此时△ABC面积的最小值是:x10x4.4=22.

故答案为：22.

17.

【答案】

4

【考点】

轴对称一一最短路线问题

等腰三角形的判定与性质

【解析】

解：作P关于OB的对称点P，，连接。P',可得OB是PP，的中垂线，求证△POP，是等腰

三角形，过P'作P'NIOA,交08于点M,则PM+MN=P，M+MN=PN=初，=

]0P=4.

【解答】

解：作P关于。B的对称点口，连接。P，，

1,"LAOB=15°,点P,P'关于0B对称，

0B是PP'的中垂线，

AAOP'=2/.AOB=30°,OP=OP',

△POP'是等腰三角形，

过P，作PWJLO4,交0B于点M,

11

PM+MN=P'M+MN=P'N=-20P'=-20P=4.

故答案为：4.

三、解答题(本题共计4小题，共计30分)

18.

【答案】

b2-2ab+a2,c2—2ab,c2=a2+b2

【考点】

勾股定理

【解析】

直接求出小正方形的边长，然后求面积，再用勾股定理即可求解.

【解答】

解:方法1：S=(b—a)2=b2-2ab+a2；

方法2：S=c2—X4=c2—2ab；

关系：b2—2ab+a2=c2-2ab,