高中数学《空间向量的数乘运算》导学案

3.1.2空间向量的数乘运算

卜课前自主预习

sG基础导学

i.空间向量的数乘运算

(1)定义：回实数2与空间向量。的乘积瓶仍然是一个向量，称为向量的数

乘运算.

(2)向量&与加的关系

A的范围方向关系模的关系

2>0方向但相同

2=0痴=0,其方向是任意的痴的模是a的模的固囚倍

2<0方向国相反

(3)空间向量的数乘运算律

设九〃是实数，则有：

①分配律：您1痴+劝.

②结合律：2(〃a)=

2.共线向量与共面向量

(1)共线(平行)向量

回表示空间向量的有向线段所在的直线互相平

定义行或重合,则趣这些向量叫做画共线向量或平

行向量

充要对于空间任意两个向量入b（bWO）.a〃。的充要

条件条件是迎存在实数入使。=油

如果1为经过点A平行于已知非零向量a的直线.

那么对于空间任一点。•点P在直线/上的充要条

件是存在实数/.使济=和+M,①

其中a叫做直线/的血方向向量.如图所示.

推论

0

若在/上取耳缶=a.则①式可化为前户=

前

（2）共面向量

定义画平行于同一个平面的向量叫做共面向量

若两个向量a1不共线.则向量P与a»共面的

充要

充要条件是同存在唯一的有序实数对Q”）,使

条件

p=+的

如图，空间一点P位于平/B

面MAS内的充要条件是/

晅存在有序实数对（z~）,/M\^/-4/

推论

使丽户=1而M+y丽豆，或°

对空间任意一点。来说,

有行=痂）+「加

(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算.()

(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面

向量.()

(3)如果"而+施，则P,A,8共线.()

(4)空间中任意三个向量一定是共面向量.()

答案(1)X(2)X(3)V(4)X

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)若⑷=5,b与a的方向相反，且|例=7,则a—b.

(2)已知b=-5a(|a|=2),则向量方的长度为,向量8的方向与向量

a的方向.

(3)已知正方体A3CO—4BCQ中，诵三拓容若瀛'=》布+>(；布+而，则

x=,y=.

(4)(教材改编P89T1)已知空间四边形ABCD中，G为C。的中点，则:市+/应

+反)等于.

51

答案

-⑵1O相反⑶1-

7114

•_.__>1►>—►1>>>»

解析⑷/8+］（初+BC）=/8+sX（2砌=AB+BG=AG.

卜课堂互动探究

探究1空间向量的数乘运算

例1已知正四棱锥P—ABC。，。是正方形ABC。的中心，。是CD的中点,

求下列各式中x,y,z的值.

[\Y)Q=PQ+yPC+A

(^=xPO+yPQ+Pb.

［解］(1)如图,

/I

M'Y/V

'：OQ=PQ-PO

=PQ-^(PA+PC)

=PQ-^PC-^PA,

⑵：0为AC的中点，Q为C。的中点,

：.PA+PC=2P0,PC+PD=2PQ,

：.PA=2P0-PC,~PC=2PQ~~PD,

：.l^=2Pb-2PQ+Pb,：.x=2,y=~2.

拓展提升

利用向量的线性运算求参数的技巧

利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图

形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的.利用指定向量表示出已知

向量，用待定系数法求出参数.

【跟踪训练1】如图所示，在平行六面体ABCD-A\B\C\D\中，。为AC

的中点.

⑴化简：A^O-^AB-^Ab-,

2

(2)设£是棱0。上的点，且应'=］应，若应Hx庙+y9+zZl,试求实数x,

y,z的值.

解（1）4/2-^AB^rAD）—A\0—AO=A\0-\-OA—A^A.

（2）连接AE,则E0=AO-AE=^（AB+AD）—AD-^AA.=^AB-^AD-^AA,,

•_1__1__2

・・x-2,y——2'z——3°

探究2共线向量

例2如图所示，在正方体ABCO-AIBCQI中，E在4功上，旦齐E=2而、,

尸在对角线AC上，且乖=1交

求证：E,F,8三点共线.

7

[证明]连接E/,EB,设荔=a,lb=b,AAt=c.

—►—►—►2―►

•：A\E=2E仄,4/=产

—►2―►―►2-►

.•.4£=14〃，A\F=-^A\C,

―►2—►2―►2―►―►

/.A}E=^AD=^b,A\F=-^AC—AA^）

2——222

=5（荔+应-44）=尹+驴—产

/.~EF=A^F-A^E=^a—^b—^c=]]〃--c）.

—f—f2?

又FB=EAi+AiA+AB=——寸—c+a=a——qb——c,

2

:前=郡,：.E,F,8三点共线.

［条件探究］将例2的条件改为“。为4C上一点，且屈9=可枇，8。与AC

交于点M”.求证：Ci,0,M三点共线.

证明连接AO,AC\,AiC.

'/A^O=^A^C,

rrr.2ff2ffIf2f

・二/O=荔+葩+制％=A4i+1(4力+9)=g筋i+1花

\'AC=2AM,筋尸元+为尸花一孙=元一2通

—►1―►―►4­►1—►2-►

/.A0=-j(AQ—2Ajy)+~^AM=^AC[

19

.*.Cl,0,M三点共线.

拓展提升

1.判断向量共线的策略

(1)熟记共线向量的充要条件：①。〃乩b^Q,则存在唯一实数九使。=我；

②若存在唯一实数心使。=劝，＞W0,则a〃4

(2)判断向量共线的关键：找到实数九

2.证明空间三点共线的三种思路

对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点共线.

(1)存在实数Z使⑸=%独成立.

(2)对空间任一点0,有游=游+源&fdR).

(3)对空间任一点。，有涝＞=》洒+)'丽x+y=l).

【跟踪训练2】已知向量ei,e2不共线，a=3ei+4e2,b——3ei+8e2,判

断。与》是否共线.

解设a=2。，即3ei+4e2=%(-3ei+8e2),

—32=3,

Vei,e2不共线，二,无解.

⑻=4

不存在人,使a=劝，即a与8不共线.

探究3共面向量

例3如图所示，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点。作射线。4,

OB,OC,0D,在四条射线上分别取点E,F,G,H,并且使第=缁=穿=织

C//1UDC7CUU

=k,求证：E,F,G,"四点共面.

OEOFOGOH

［证明］'OA='OB=~dC='OD=k

所以应1=%而，OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD.

由于四边形ABC。是平行四边形，

所以衣=加+力，因此质=宓一应'=%比一%成1=攵衣=4焉+而=必宓一应+

0D-0A)-OF-0E+OH-0E=EF+EH.

由向量共面的充要条件知£,F,G,”四点共面.

拓展提升

证明向量共面、点共面的常用方法

(1)证明空间三个向量共面，常用如下方法

①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a=xb+

yc,则向量a,b,c共面；

②寻找平面a,证明这些向量与平面a平行.

(2)对空间四点P,M,A,8可通过证明下列结论成立来证明四点共面

①痂=入法+凹砺；

②对空间任一点O,0P=画+x荡+y砺；

③对空间任一点。，OP=xdA+ydB+zdax+y+z=1)；

④许〃福或自〃砺，或崩〃励.

【跟踪训练31(1)已知A,B,C三点不共线，。是平面A8C外任一点，

12

若由办=写洒+］龙+人龙确定的一点P与A,B,C三点共面，则丸=.

2

答案15

解析\•点尸与A,B,C三点共面，

122

.•・5+§+/1=1,解得％=石.

(2)已知A,B,C三点不共线，平面ABC外一点。满足西―；9+；南+；龙

①判断荡，屹，M三个向量是否共面；

②判断点M是否在平面ABC内.

解①：汤+南+花=3就.•.汤一西仁(阚一丽+(加一沆)=丽+诙即加=

BM+CM=-MB-MC,二向量而，症，流'共面.

②由①知向量加，,砺，麻:共面，而它们有共同的起点M,且A,B,C三点不

共线，A,B,C共面，即点M在平面ABC内.

1

f---------------------------------1既辘弁------------------------

1.四点P,A,B,C共面台对空间任意一点0,都有涝三彳游+y丽z龙；且

x+y+z=l.

2.办=应+工急+)，左称为空间平面ABC的向量表达式.由此可知空间中任意

平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

3.证明(或判断)4B,C三点共线时，只需证明存在实数九使宓=2砥或崩

=2而即可，也可用“对空间任意一点。，有无=成+(1—。应”来证明A,B,

C三点共线.

4.空间一点P位于平面MA3内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使"

x荡l+y砺，满足这个关系式的点都在平面MA8内；反之，平面M4B内的任一点

都满足这个关系式.这个充要条件常用于证明四点共面.

卜随堂达标自测

1.给出下列命题：

①^二“从上海往正北平移9km"，b="从北京往正北平移3km”，那么。

=35；

②(Q+))+2c+A(a+d)=》+(l+z)a+2(c+rf)：

③把正方形ABCD平移向量m到AiBiCiDi的轨迹所形成的几何体叫做正方

体;

④有直线/,且/〃a,在/上有点8,若宓+洒=20则Ce/.其中正确的命

题是（）

A.①②B.③④C.①②④D.①②③

答案C

解析由向量相等与起点无关易知①正确；由向量的数乘运算满足分配律及

向量的加减运算满足交换律和结合律易知②正确；③中轨迹形成的几何体是平行

六面体，不一定是正方体，③错误；由荔+方=襦+9=宓=2"知宓与/直线平

行，又B在/上，所以C6/,故④正确.故选C.

2.已知向量a,b,且宓=a+2Z>,BC=­5a+6b,Cb=la-2b,则一定共线

的三点是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

答案A

解析由已知可得油=a+2b,Bb=BC+CD=2a+4b,所以的=2戒即砺,AB

是共线向量，所以A,B,。三点共线.

3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点0,有画三x成1+4南+1旗

2o

则X的值为（）

A.1B.0C.3D.1

答案D

解析VVM=xOA+\dB-\-^OC,且M,A,B,C四点共面，/.X+^+T=1,x

zo2o

=31

4.在平行六面体ABCD-EFGH中，若赤=光拔-2y庆+3z成，则x+y+z

等于（）

725

A.TB.§C.TD.1

答案C

解析由于芯=丽语+市=急+反+血

对照已知式子可得x=l,—2y=l,3z=l,故x=l,y=~2,z=y从而

5.如图，正方体ABC。-48aoi中，E,尸分别为和AiDi的中点.证

明：向量了反Kc,诙是共面向量.

证明赤=旗+丽、+心

=3肪-诵+；协

=；（丽+砌-布

=；祀一诵.

由向量共面的充要条件知，AKc,苏是共面向量.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

i.下列命题正确的有（）

①平面内的任意两个向量都共线；

②若。，分不共线，则空间任一向量p=%a+〃b（/l,〃£R）；

③同=向是向量a=b的必要不充分条件；

④空间中的任意三个向量都共面.

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案A

解析①显然不正确.②不正确，由p,a,〃共面的充要条件知，当p,a,

b共面时才满足p=Aa+油.

③正确，a—b^\a\=\b\,|a|=|Z>|=?>a=Z>.

④不正确，由共面向量的充要条件知可以化成p=xa+皿的三个向量共面.

2.若空间中任意四点0,A,B,P满足办=加洒+〃血其中加+”=1,则（）

A.PS直线ABB.尸库直线AB

C.点尸可能在直线AB上D.以上都不对

答案A

解析因为加+〃=1,所以加=1一”，所以旗=(1-”)而+〃渔,即演一而=

n(OB~OA),即9=〃宓，所以苏与诵共线.又永宓有公共起点A,所以尸，A,

8三点在同一直线上，即PG直线AR

3.若a与。不共线，且/n=a+b,n=a-b,p=a,则()

A.m,n,p共线B.7〃与p共线

C.〃与p共线D.m,n,p共面

答案D

解析由于(a+5)+(a—5)=2a,即/n+〃=2p,即/=%/+%,又/n与〃不

共线，所以机，〃，p共面.

4.在平行六面体ABCD—AiBiCQ中，M为AC与8。的交点，若漉=a,松

=b,AA=c,则下列向量中与瓦济(1等的向量是()

A.一呼+3+cB.]a+/+c

C-.1/a一手1?,十,c-D.—21a—1乎,,+c

答案A

解析B\M—BM—BC)——a+))=—]<z+,+c.

5.如图所示，已知A,B,C三点不共线，P为平面ABC内一定点，。为平

面ABC外任一点，且平面ABC中的小方格为单位正方形，则下列能正确表示向

量丽)为()

A.汤+2加+2衣B.而一3加一2衣

C.游+3宓-2衣D.游+2漉一3而

答案C

解析连接AP,B,C,P四点共面，.♦.可设尻x荔+y衣，即正而

+x懑+y而，由题图可知x=3,y——1.

6.在平行六面体ABC。一AiBiGDi中，向量瓦1,而,丘是（）

A.有相同起点的向量B