2024-2025学年高二数学上学期期中+期末高效复习课期中模拟试卷新高考题型提高卷2含解析选择性必修第二册

Page1期中模拟试卷（新高考版提高卷2）考试范围：人教A版2024选择性必修第一册（全册）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2024·全国·高二课时练习）已知空间向量，，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】由，解得，则.故选：A.2．（2024·江苏·高二课时练习）美术绘图中常采纳“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部依据发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、其次眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中供应的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，直线，整理为，原点O到直线距离为，故选：B3．（2024·重庆一中高三阶段练习）点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（

）A．13 B．1 C．7 D．5【答案】D【详解】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，故故选：D4．（2024·北京·高三开学考试）已知直线l：与圆O：相交于A，B两点，则下面结论中正确的是（

）A．线段AB长度的最小值为1 B．线段AB长度的最大值为2C．的面积最小值为4 D．的面积最大值为【答案】D【详解】圆心到直线距离，因为，所以，,则弦长，所以A和B均错误；，令，则，因为取不到，所以没有最小值，C错误；当时，面积最大，为，D正确．故选：D5．（2024·四川·盐亭中学高二开学考试）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则(

)A．​ B．2 C．​ D．​【答案】B【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，设，则，，，解得，故．故选：B．6．（2024·全国·高二课时练习）如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】依据双曲线的定义，有①，②，由于为等边三角形，因此，由①＋②，得，则，，又因为，所以，即，解得，则，所以双曲线的方程为．故选：C.7．（2024·河北廊坊·模拟预料）已知⊙O：x2＋y2＝1，点A（0，－2），B（a，2），从点A视察点B，要使视线不被⊙O拦住，则实数a的取值范围是（

）A．（－∞，－2）∪（2，＋∞） B．∪C．∪ D．【答案】B【详解】解：易知点在直线上，过点作圆的切线，设切线的斜率为，则切线方程为，即，由，得，∴切线方程为，和直线的交点坐标分别为，故要使视线不被拦住，则实数的取值范围是.故选：B.8．（2024·全国·高一单元测试）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满意，下列结论错误的是（

）A．平面平面；B．点到直线的距离；C．若二面角的平面角的余弦值为，则；D．点A到平面的距离为．【答案】D【详解】A选项，因为平面，平面，所以CD，故∠PBA即为与底面所成的角，，因为，所以PA=AB=1，因为，取AD中点F，连接CF，则AF=DF=AB=CF=BC，则四边形ABCF为正方形，∠FCD=∠FCA=45°，所以AC⊥CD，又因为，所以CD⊥平面PAC，因为CD平面PCD，所以平面平面PCD，A正确；由A选项的证明过程可知：CD⊥平面PAC，因为平面PAC所以CD⊥PC，故点P到直线CD的距离即为PC的长度，其中由勾股定理得：，B正确；以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，其中平面ACD的法向量为，设平面ACE的法向量为，则，令得：，所以，设二面角的平面角为，明显，其中，解得：或，因为，所以，C正确；过点A作AH⊥PC于点H，由于CD⊥平面APC，平面APC，所以AH⊥CD，因为，所以AH⊥平面PCD，故AH即为点A到平面PCD的距离，因为PA⊥AC，所以，D选项错误故选：D二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2024·江苏·南京市栖霞中学高二开学考试）下列四个命题中真命题有（

）A．直线在轴上的截距为-2B．经过定点的直线都可以用方程表示C．直线必过定点D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1【答案】AC【详解】对直线方程，令解得，故该直线在轴上的截距为，故A正确；经过点的直线若斜率存在，可用表示；若斜率不存在，则无法用表示，故B错误，当时，可整理为：，恒过定点；当时，即为，过点；故直线必过定点，C正确，直线与直线平行，则，此时即，也即，则两平行线间的距离，故D错误.综上所述，正确的选项是：.故选：.10．（2024·全国·高二课时练习）已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（

）A．的长轴长与的实轴长相等 B．的短轴长与的虚轴长相等C．焦距相等 D．离心率不相等【答案】CD【详解】由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，当时，，，双曲线的焦点在轴上，其实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为.故的长轴长与的实轴长不相等，的短轴长与的虚轴长不相等，与的焦距相等，离心率不相等．故选：CD．11．（2024·江苏南京·高二开学考试）点是正方体中侧面正方形内的一个动点，正方体棱长为，则下面结论正确的是（

）A．满意的点的轨迹长度为B．点存在多数个位置满意直线平面C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是D．若是棱的中点，平面与平面所成锐二面角的正切值为【答案】ABD【详解】对于A，平面，平面，；四边形为正方形，；又平面，，平面，点轨迹即为平面与平面的交线，即为，点轨迹的轨迹长度为，A正确；对于B，，平面，平面，平面；同理可得：平面，又，平面，平面平面，轨迹为平面与平面的交线，即，点存在多数个位置满意直线平面，B正确；对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设，，，则，，，则当时，；与夹角大于，C错误；对于D，由C可得空间直角坐标系如下，则，，，，，设平面的法向量，，令，解得：，，，又平面轴，平面的一个法向量，，，即平面与平面所成锐二面角的正切值为，D正确.故选：ABD.12．（2024·广东·高三阶段练习）已知双曲线的左，右顶点分别为，，点P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为C．为定值 D．的取值范围为【答案】BCD【详解】设，则，因为，，故，依题意有，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，离心率，故选项A错误，选项B正确；因为点P，Q关于原点对称，所以四边形为平行四边形，即有，所以，故C正确；设的倾斜角为，的倾斜角为，由题意可得，则，依据对称性不妨设P在x轴上方，则，则，则，因为P在x轴上方，则，或，函数在和上单调递增，所以，故D正确.故选：BCD.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，其次空3分.）13．（2024·四川省绵阳南山中学高二开学考试）过点的圆的切线方程为___________.【答案】或.【详解】已知圆圆心坐标为，半径为，易知直线是圆的切线，当切线斜率存在时，设切线方程为，即，由，解得，切线方程为，即．故答案为或．14．（2024·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．【答案】##【详解】圆的圆心为，半径，抛物线的焦点，因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，即，所以的最小值为，故答案为：15．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______【答案】【详解】如图建立空间直角坐标系，则，设，则，∴动点P到直线的距离为，当时取等号，即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故答案为：16．（2024·浙江·模拟预料）双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交该双曲线于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，已知轴时，，则双曲线的离心率__________；若点在双曲线右支上，则的取值范围是__________.【答案】

【详解】当轴时，，所以，从而，所以；由题意知，.设直线的方程为，联立，整理得：又故所以可知，当点在右支运动时，由渐近线方程为可知：，故.故答案为：，四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2024·河南省叶县高级中学高二阶段练习）已知点，，，直线．(1)若直线与线段，都相交，求实数的取值范围；(2)若直线将分割为面积相等的两部分，求实数的值．【答案】(1)(2)（1）直线过定点，当直线过，时，；当直线过时，．所以当直线与线段，都相交时，实数的取值范围是．（2）设直线与交于点，与交于点，其中直线，直线，由，得，由，得，所以，，且，，所以，由（1）可知，解得：（舍去）．18．（2024·江苏·高邮市第一中学高二期末）如图，四棱锥的底面是矩形，，，，且底面，若棱上存在异于，的一点，使得.(1)求实数的取值范围；(2)当取最大值时，求点到平面的距离.【答案】(1)(2)(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设.，，由，得，即.由题意，知，，即实数的取值范围是.(2)由(1)知的最大值是，此时，即点是的中点.设是平面的法向量，，，由令，则，故是平面的一个法向量.又在方向上的投影长为，点到平面的距离为19．（2024·江苏·南京市金陵中学河西分校高二开学考试）已知圆C过点A（1，2），B（2，1），且圆心C在直线上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点.(1)求圆C的方程；(2)若点P的坐标为，探究：无论l的位置如何改变，|PM||PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)4（1）由于圆心在，故设圆的方程为，将A（1，2），B（2，1）代入可得，解得，所以圆的方程为：（2）当直线轴时，，当直线有斜率时，设其方程为：，联立直线与圆的方程，消元得，设,则，，由于点在圆外，所以，因此，综上，无论l的位置如何改变，，为定值.20．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求C的方程；(2)动直线l与圆相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．【答案】(1)(2)（1）由题知：，解得.所以的方程为．（2）当的斜率不存在时，线段MN的中垂线为轴，此时到中垂线的距离为0．当的斜率存在时，设，，．因为与圆相切，则到的距离为，所以．联立方程，得，则，可得的中点为．则MN的中垂线方程为，即．因此到中垂线的距离为（当且仅当，时等号成立）．综上所述，到线段MN的中垂线的最大距离为．21．（2024·全国·高三专题练习）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．(1)求二面角的大小；(2)在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，当Q为AD上靠近A的四等分点时，PQ与平面APB所成角的正弦值为（1）由题意得平面ABCD，且，以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示所以，所以，设平面PAB的法向量，则，即，令，可得，所以，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为，，平面PAC，所以平面，所以即为平面的法向量，所以，又，由图象可得二面角为锐二面角，所以二面角的大小为（2）假设线段AD上存在一点Q，满意题意，设，因为，所以，解得，所以，则，因为平面PAB的法向量，设得PQ与平面APB所成角为所以，解得或（舍）所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平