新教材2025版高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理第3课时余弦定理正弦定理应用举例学案新人教A版必修第二册

第3课时余弦定理、正弦定理应用举例课程标准能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度等有关的实际应用问题．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一距离问题❶类型图形方法两点间不行到达的距离余弦定理两点间可视不行到达的距离正弦定理两个不行到达的点之间的距离先用正弦定理，再用余弦定理要点二高度问题❷类型图形方法底部可达测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tanC.底部不行达点B与C，D共线测得CD＝a及C与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值．点B与C，D不共线测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数．在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值．要点三角度问题测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，视察某一建筑物的视角等．解决它们的关键是依据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，须要求哪些量．通常是依据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解．助学批注批注❶涉及有关角的术语：(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北偏东(西)、南偏东(西)××度．批注❷涉及的有关术语：(1)仰角与俯角：在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角．(2)坡角：坡面与水平面的夹角．(3)坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比．夯实双基1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．()(2)两个不行到达的点之间的距离无法求得．()(3)东偏北45°的方向就是东北方向．()(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．()2．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为()A．20mB．30mC．40mD．60m3．在相距2千米的A、B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是()A．62千米B．6C．6千米D．23千米4．已知A船在灯塔C北偏东85°且A到C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西65°且B到C的距离为3km，则A，B两船的距离为________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1测量距离问题例1[2024·山东德州高一期中]为测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，同时测得AB＝3海里．(1)求AD的长度；(2)求C，D之间的距离．题后师说三角形中与距离有关问题的求解策略解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则干脆利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要依据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．巩固训练1[2024·福建龙岩高一期中]两座灯塔A和B与海洋视察站C的距离分别为5km，8km，灯塔A在视察站C的北偏东70°方向上，灯塔B在视察站C的南偏东50°方向上，则灯塔A与B的距离为________km.题型2测量高度问题例2[2024·河北唐山高一期中]位于唐山市中心区的凤凰山，山势挺立秀丽，苍松翠柏密布，因前山如凤凰展翅故名．古朴高雅的八角重檐凤凰亭耸立在山巅，登二楼平台远眺，唐山美景一览无余．某测量小组为测量山的高度，建立了如图所示的数学模型三棱锥C­OAB，OC垂直水平面OAB，点C代表凤凰亭的上顶点，A，B两点代表山脚地面上的两个观测点，同学甲在A处测得仰角为45°，同学乙在B处测得仰角为30°，同学丙测得两个观测点之间的距离AB为90米．(附：若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的随意一条直线．)(1)求sin∠(2)同学甲测出∠CAB为钝角，同学乙测算出cos∠CBA＝34，求山高的近似值OC题后师说解决测量高度问题的一般步骤巩固训练2[2024·湖南郴州高一期末]如图，为了测量河对岸的塔高AB.可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得CD＝30米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝________米．题型3测量角度问题例3[2024·福建三明一中高一期中]在海岸A处，发觉北偏东45°方向，距离A为10(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为20海里的C处有一艘缉私艇奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃跑，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．题后师说角度的求解策略测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最终将解得的结果转化为实际问题的解．巩固训练3甲船在A点发觉乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？第3课时余弦定理、正弦定理应用举例新知初探·课前预习[夯实双基]1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：如图，设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20m，BD＝40m，OD＝203m.在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60(m).∴AB＝OA－OB＝40(m)．故选C.答案：C3．解析：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝45°，由正弦定理ABsin∠ACB＝ACsin∠解得AC＝2×32答案：B4．解析：由题意得∠ACB＝65°＋85°＝150°，又AC＝2，BC＝3，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°＝4＋3－2×2×3×(－32所以AB＝13(km)．答案：13km题型探究·课堂解透例1解析：(1)由题意得：在△ABD中，∠BAD＝75°，∠ABD＝45°，故∠ADB＝60°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠所以AD＝3·22所以AD的长度为2海里；(2)在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝120°，所以∠BCA＝∠BAC＝30°，故BC＝AB＝3，由余弦定理可得，AC＝AB2在△ADC中，AD＝2，∠DAC＝45°，由余弦定理可得CD＝AD2+AC2-所以C，D之间的距离为5海里．巩固训练1解析：依据题意作出如图的方位图，则AC＝5，BC＝8，∠ACB＝180°－70°－50°＝60°，在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·CBcos60°＝25＋64－2×5×8×12所以AB＝7.答案：7例2解析：(1)在Rt△AOC中，由∠OAC＝45°，得AC＝2OC，在Rt△BOC中，由∠OBC＝30°，得BC＝2OC，在△ABC中，利用正弦定理得：BCsin∠CAB＝ACsin∠CBA，所以(2)在△ABC中，利用余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠CBA，即2OC2＝8100＋4OC2－2×90×2OC×34，化简为OC2－135OC解得OC＝90，或OC＝45，当OC＝45时，BC＝90＝AB，与∠CAB为钝角冲突，阅历证OC＝90符合条件，所以山高的近似值OC为90米．巩固训练2解析：设AB＝h米，在△ABC中，BC＝ABtan45°在△ABD中，BD＝ABtan30°＝在△BCD中，CD2＝CB2＋DB2－2CB·DB·cos30°，即302＝h2＋(3h)2－2h·3h·32所以h2＝302，解得h＝30(米)．答案：30例3解析：设缉私艇在点D处追上走私船，所需t小时，则BD＝10t海里，CD＝103t海里，因为∠BAC＝45°＋75°＝120°，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即BC2＝103-12＋20所以BC＝106，由正弦定理得sin∠ABC＝AC·sin∠BACBC所以∠ABC＝45°，所以BC为东西方向，所以∠CBD＝120°，在△BCD中，由正弦定理得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD所以∠BCD＝30°，所以∠BDC＝30°，所以BD＝BC＝106，