辽宁省沈阳市2024-2025学年高三数学上学期一模考试试题含解析

辽宁省沈阳市2024-2025学年高三数学上学期一模考试试题第I卷（选择题）一、单选题1.若集合，且满意，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，由，可得出集合满意的条件，即可求解.【详解】由题意得，，由，可得，所以.故选：B.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.3.函数的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据图像求出解析式即可获解.详解】∵，，则.又∵，，则，∴∴.故选：C4.已知，，，则它们之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用当时，得，而，，从而得到，，三者的大小关系【详解】设，，则所以在上单调递减，所以所以当时，即，，，所以，故选：A．5.已知函数，若正实数满意，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数，知是奇函数，又因为正实数，满意，所以，利用基本不等式求得结果．详解】解：由函数，设，知，所以是奇函数，则，又因为正实数，满意，，所以，，当且仅当，时取到等号．故选：C．【点睛】本题考查了函数的奇偶性，基本不等式应用，属于简洁题．6.已知数列满意，则（）A.50 B.75 C.100 D.150【答案】A【解析】【分析】由已知得，，两式相减得，由此代入可求得答案.【详解】解：∵，∴，.两式相减得.则，，…，，∴，故选：A.7.已知圆的半径为3，是圆的一条直径，为圆上动点，且，点在线段上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，，结合向量数量积的性质，绽开即可求解．【详解】解：由题意得，，，，，当时，取最小值，此时．故的最小值为．故选：B.【点睛】关键点点睛：由，所以取最小值时，取得最小值，分析知当时，是本题解题的关键.8.设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，依据因为，得到，得出函数为上的单调递增函数，由题设条件，令，求得，把不等式转化为，结合单调性，即可求解.【详解】令，可得，因为，可得，所以，所以函数为上的单调递增函数，由不等式，可得，所以，即因为，令，可得，又因为，可得，所以所以不等式等价于，由函数为上的单调递增函数，所以，即不等式的解集为.故选：A.二、多选题9.（多选）已知，，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】已知式平方求得，从而可确定的范围，然后求得，再与已知结合求得，由商数关系得，从而可推断各选项．【详解】因为①，所以，所以．又，所以，所以，即，故A正确．，所以②，故D正确．由①②，得，，故B正确．，故C错误．故选：ABD．10.已知点P是的中线BD上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】可以证明.所以选项A正确，选项B错误；利用基本不等式证明选项C正确；利用基本不等式和对数函数的运算和性质证明选项D错误.【详解】解：因为，所以,又三点共线，所以.所以选项A正确，选项B错误；，所以（当且仅当时等号成立），所以选项C正确；因为，（当且仅当时等号成立）所以，所以选项D错误.故选：AC11.设正数列的前n项和为，满意，则下列说法不正确的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】依据递推关系先求出公式，再求出的通项公式，再逐项推断即可.【详解】依题意，解得，，并且，，代入递推公式得：，化简得：，是首项为1，公差为1的等差数列，，，当n=1时，也成立，，，，经检验n=1时，也成立，；对于A，，故A正确，B错误；对于C，，故C正确，D错误；故选：BD.12.已知函数f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数，当x>0时，.下说法正确的是（）A.当2<x≤4时，B.C.存在x0∈(-∞，0)∪(0，+∞)，使得f(x0)=2D.函数g(x)=4f(x)-1的零点个数为10【答案】AD【解析】【分析】A.首先设，，代入后求函数的解析式；B.取特别值，推断；CD选项，都可以依据图象推断选项.【详解】A.当时，，，故A正确；B.当时，，故B不正确；C.如图，画出函数在的图象，函数的最大值是1，所以不存在，使，故C不正确；D.，因为函数是偶函数，所以要推断在的零点个数，只需推断的零点个数，依据函数图象，函数在的零点个数，有5个，故在的零点个数是10个，故D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：本题的关键是依据分段函数，求函数的解析式，以及函数零点问题，重点是理解函数的解析式，并画出函数的图象，并能依据条件求等区间段的解析式.第II卷（非选择题）三、填空题13.复数的共轭复数虚部是___________.【答案】1【解析】【分析】首先依据复数代数形式的除法法则化简复数，再得到其共轭复数，从而推断其虚部；【详解】解：，所以复数共轭复数为，其虚部为；故答案为：14.等差数列中的，是函数的极值点，则______.【答案】##-0.5【解析】【分析】先由题意求出，利用等差中项求出和对数的运算法则，即可求解.【详解】函数的定义域为R，导函数函数.因为，是函数的极值点，所以，是方程的两根，所以.因为为等差数列，所以，所以.故答案为：15.如图，在四边形中，．若是的角平分线，则的长为_____．【答案】5．【解析】【分析】在△ABC中依据余弦定理求得BC，正弦定理求得角B，然后依据题目条件中的角的关系，△ACD中利用正弦定理求得DC.【详解】解：中，，由余弦定理得，所以，又，由正弦定理得，所以，又，中，，由正弦定理得，所以，即的长为5．故答案为：5．【点睛】关键点点睛：利用正弦定理，余弦定理解得三角形的未知边和角.16.已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中是自然对数的底数，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】将函数与有有三个不同的公共点等价为，再利用换元法结合导数转化为二次函数的性质即可求解.【详解】解：由题知，与的图象有三个不同的公共点即方程有三个解，且将方程化简得：令，且则所以令得：所以在上单调递增，在单调递减所以当时，，当时，所以方程的一个根，另一个根或或当时，方程无意义当时，，，不符合题意则，令则，即解得：所以实数的取值范围是：【点睛】关键点睛：本题的关键是先利用导数求极值，再依据一元二次方程根与系数的关系建立不等式进行求解.四、解答题17.已知数列满意：，且．（1）求证：是等差数列，并求的通项公式；（2）是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析，（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）依据题意整理得，即是等差数列，依据等差数列求通项公式；（2）把（1）中的通项公式代入求解，留意m应为正整数．【小问1详解】由，得，∴又，∴数列是以1为首项，为公差的等差数列∴∴【小问2详解】∵，∴则，解得，不符合题意∴不存在正整数，使得.18.在中，角的对边分别是，，，如图所示，点在线段上，满意.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式和二倍角公式可求得，进而得到；（2）在中利用余弦定理可求得，从而求得，由平面对量数量积的定义可计算求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，，，又，，，，，，，解得：.（2），，为等边三角形，设，则，在中，由余弦定理得：，解得：，，，.【点睛】关键点点睛：本题其次问考查平面几何中的平面对量数量积的求解问题，解题关键是能够敏捷应用余弦定理求得三角形的边长，进而依据边长求得所求向量夹角的余弦值.19.已知函数的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.条件①：；条件②：；条件③：.注：假如选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.（1）求函数的解析式；（2）设函数，若在区间上单调递减，求m的最大值.【答案】（1）条件选择见解析，（2）【解析】【分析】（1）由的值或关系，即可得出，从而求出，再依据零点，即可求出，由图像即可求出.（2）依据正弦函数的单调递减区间，即可求出的单调递减区间.【小问1详解】选条件①②：因为，所以，即，则.由图可知，则.因为，，所以，即.因为，所以，所以选条件①③：因为，所以，即，则.由题意可知，则.因为，所以，即.因为，所以.所以.选条件②③：因为，所以，即，则.由题意可知，则.因为，，所以，即.因为，所以，所以.【小问2详解】.由，得.因为函数在区间上单调递减，且，此时.所以，所以m的最大值是.20.已知数列单调递增，其前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用退位相减法得到，再结合等差数列的定义及通项求解即可；（2）先得到，再利用错位相减法求出，即可求解.【小问1详解】因为，所以当时，，所以当时，整理得，因为数列单调递增，且，所以当时，，，所以当时，，即所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列．所以．【小问2详解】，所以设，则，所以所以所以．21.已知函数，且.（1）探讨函数的单调性；（2）当时，试推断函数的零点个数.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求出导函数，依据导函数的符号的到函数的单调性；（2）将问题转化为求方程根的个数的问题处理，分别参数后转化为推断和函数的图象的公共点的个数的问题．通过分析函数的单调性得到图象的大致形态即可．试题解析：（1）函数的定义域为,∵,∴①当时，恒成立，所以函数在上单调递增；②当时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．（2）由题意知，函数的零点个数即方程的根的个数．令，则由（1）知当时，在递减，在上递增，∴.∴在上恒成立.∴，∴在上单调递增.∴，.所以当或时，函数没有零点；当时函数有一个零点.点睛：探讨方程根的个数（函数零点的个数、两函数图象公共点的个数）时，可以通过导数探讨函数的单调性、最大值、最小值、改变趋势等，并依据题目要求，画出函数图象的大致图象，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清楚、直观的整体呈现．22.已知函数.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）探讨极值点的个数；（3）若是的一个微小值点，且，证明：.【答案】（1）（2）当时，无极值点；当时，有一个极值点（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，，，得到切线方程.（2）求导得到，探讨和两种状况，时必存在，使，计算单调区间得到极值点个数.（3），即，代入得到，设，确定函数单调递减得到，令，确定单调性得到答案.【详解】（1）当时，，，