新教材2025版高中数学课时作业五空间中的平面与空间向量新人教B版选择性必修第一册

课时作业(五)空间中的平面与空间向量一、选择题1．设平面α的法向量为(1，－2，2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于()A．2B．4C．－2D．－42．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为()A．10B．－10C．12D．－3．已知AB＝(2，2，1)，AC＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为()A．(－1，2，－2)B．(12C．(13，－23，234．已知AB＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为()A．AB⊥αB．AB⊂αC．AB与α相交但不垂直D．AB∥α二、填空题5．如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点G是P在平面ABC内的射影，则G是△ABC的________.6．已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y，2)，则y＝________．7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，假如AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________(填序号)．三、解答题8．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.9.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是BC的中点，在CC1上求一点P，使平面A1B1P⊥平面C1DE.[尖子生题库]10.如图所示，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明平面AMC⊥平面BMC．课时作业(五)空间中的平面与空间向量1．解析：∵α∥β，∴(1，－2，2)＝m(2，λ，4)，∴λ＝－4.答案：D2．解析：因为α⊥β，所以它们的法向量也相互垂直，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，即－x－2－8＝0，解得x＝－10.答案：B3．解析：设平面ABC的法向量为a＝(x，y，z)，则有AB·a=0令z＝1，得y＝－1，x＝12，∴a＝(1故平面ABC的一个单位法向量为aa＝(13，－答案：C4．解析：因为n·AB＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥AB.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.答案：D5．解析：连接AG，BG(图略)，则AG，BG分别为AP，BP在平面ABC内的射影．因为PA⊥BC，所以由三垂线定理的逆定理知AG⊥BC，同理，BG⊥AC，所以G是△ABC的垂心．答案：垂心6．解析：∵l∥α，∴(2，－8，1)·(1，y，2)＝0，而2×1－8y＋2＝0，∴y＝12答案：17．解析：AP·AB＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP⊥AB，即①正确．AP·AD＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.∴AP⊥AD，即②正确．又∵AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD即AP是平面ABCD的一个法向量，③正确．④不正确．答案：①②③8．解析：如图所示建立空间直角坐标系，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以FC1DA＝(2，0，0)，AE＝(0，2，1)．(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥DA，n1⊥AE，即n1·DA令z1＝2⇒y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2)，因为n1·FC又因为FC1⊄平面ADE，即FC1∥平面ADE.(2)因为C1B1＝(2，0，0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C由n2n2·FC令z2＝2⇒y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，所以n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.9．解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体棱长为2，且P(0，2，a)，则D(0，0，0)，E(1，2，0)，C1(0，2，2)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，则DE＝1，设n1＝(x1，y1，z1)且n1⊥平面DEC1，则x1+2y1又A1P＝设n2＝(x2，y2，z2)且n2⊥平面A1B1P，则-2x2+2y2由平面A1B1P⊥平面C1DE，得n1·n2＝0，即2(a－2)＋2＝0，解得a＝1.故P为CC1的中点．10．证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)，(1)AP＝(0，3，4)，BC＝(－8，0，0)，所以AP·BC＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，所以AP⊥BC，即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|＝5，又|AM|＝3，且点M在线段AP上，所以AM＝35AP＝(0，又因为BA＝(－4，－5，0)，所以BM＝BA+