山东省淄博市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

高一教学质量阶段检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，对应的点位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.2.若，，，则（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据数量积的坐标表示计算即可.【详解】，故选：A3.设，表示不同的直线，，，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）①若，，则②若，，则③若，，，则④若，，则A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据线面的位置关系判断①②④；根据线面平行的判定和性质判断③.【详解】若，，则，故①正确；若，，则可能相交，故②错误；若，，，过直线m做平面γ且α∩γ＝s（s异于l），作平面φ且β∩φ＝t（t异于l），因m∥α，故m∥s，同理m∥t，故s∥t，因sβ，tβ中，从而s∥β，因sα，α∩β＝l，故s∥l，所以l∥m，故③正确；若，，则可能异面，故④错误.故选：B.4.已知向量，，则在上的投影向量的模为（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量的定义求出该向量，再求出模作答.【详解】向量，，则是单位向量，且，因此在上的投影向量为，其模为1.故选：C5.已知，，点是坐标原点，记，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量夹角公式求解．【详解】∵,∴．故选：B．6.已知函数的部分图像如图所示，将函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的值为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定的图象，求出函数的解析式，进而求出的解析式作答.【详解】观察图象知，，函数的周期，则，又，于是，而，则，因此，，所以.故选：C7.如图，在棱长为4的正方体中，，分别是、中点，点是线段上的动点，则三棱锥的体积是（）A. B. C. D.与点P的位置有关【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，证得平面，再利用等体积法求解作答.【详解】在正方体中，，分别是、中点，则，而平面，平面，于是平面，又点是线段上的动点，因此点到平面的距离等于点到平面的距离，所以三棱锥的体积.故选：A8.在中，内角所对的边分别为，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角形的内角和结合诱导公式、两角和的余弦公式、商数关系式可得，再根据余弦定理与角度转化可得，由基本不等式即可得最大值.【详解】在中，因为，所以，则，所以，且均为锐角，故，由余弦定理得，所以，又，当且仅当时等号成立，所以的最大值是.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是（）A.可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一B.若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个C.可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元D.可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元【答案】ABD【解析】【分析】利用频率，频数，平均数，中位数的定义进行判断即可.【详解】由题意得，年夜饭消费金额在的频率为，故A正确；若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为，故B正确；平均数为（元），故C错误；中位数为（元），故D正确．故选：ABD．10.设，若，且的最小正周期大于，则下列结论正确的是（）A.当时，取最大值B.的最小正周期为C.是偶函数D.在上单调递增【答案】BC【解析】【分析】根据给定信息求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.【详解】由，得，则，即是函数的周期，而的最小正周期大于，因此的最小正周期为，B正确；于是，，由，得函数的图象关于对称，从而，而，则，有，由，得当时，取最小值，A错误；函数是偶函数，C正确；当时，，余弦函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，D错误.故选：BC11.已知向量，的夹角为，，向量，且，则向量，夹角的余弦值可以为（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件，求出，再求出的函数关系，并求出其取值范围作答.【详解】依题意，，，则，，，则，因此，由得，则，有，因此，而，选项AB正确，CD错误.故选：AB12.如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（）A.当时，EP//平面 B.当时，取得最小值，其值C.的最小值为 D.当平面CEP时，【答案】BC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答.【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，，，则点，对于A，，，，而，显然，即是平面的一个法向量，而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误；对于B，，则，因此当时，取得最小值，B正确；对于C，，于是，当且仅当时取等号，C正确；对于D，取的中点，连接，如图，因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面，连接，连接，连接，显然平面平面，因此，平面，平面，则平面，即有，而，所以，D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某个品牌的牛奶重量（单位：g）的样本数据如下：110.2、109.7、110.8、109.1、108.9、108.6、109.8、109.6、109.9、111.2、110.6、111.7，则这组数据的第80百分位数为______.【答案】110.8【解析】【分析】把给定的样本数据由小到大排列，利用第p百分位数的定义求解作答.【详解】样本数据由小到大排列为，108.6、108.9、109.1、109.6、109.7、109.8、109.9、110.2、110.6、110.8、111.2、111.7，由，得这组数据的第80百分位数为110.8.故答案为：110.814.在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为______.【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，求出正四棱台的高，再利用棱台的体积公式计算作答.【详解】正四棱台的对角面是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形中，，而，则该梯形的高，所以该棱台的体积.故答案为：15.已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，，则四棱锥的外接球表面积为______.【答案】【解析】【分析】设外接圆的圆心为，外接球球心为，先分别求得外接圆的半径与，再利用勾股定理求得外接球的半径，从而得解．【详解】记AD的中点为，连接，连接EF，设外接圆的圆心为，半径为，所求外接球球心为，半径为，连接，如图，因为为等边三角形，，所以圆的半径，因为为等边三角形，是AD的中点，所以，因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，因为底面ABCD是矩形，所以是底面ABCD外接圆的圆心，故平面ABCD，所以，同理，所以四边形是矩形，所以，所以球的半径，所以外接球的表面积为．故答案为：．16.圆：上有两定点，及两动点C，D，且，则的最大值是______.【答案】##【解析】【分析】由已知求出的夹角，设射线与x轴正方向所成的角，利用三角函数定义表示出点的坐标，再利用数量积的坐标表示建立函数关系并求出最大值作答.【详解】因为点在圆：上，则，，而，则有，令射线与x轴正方向所成的角为，由点的对称性，不妨令射线与x轴正方向所成的角为，由三角函数定义知，则，于是，同理，因此，而，则当，即时，，所以的最大值是.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及定圆上的动点，可以设出经过该点射线为终边的角，利用三角函数定义表示出该点坐标求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，.（1）若向量与互相垂直，求的值：（2）设，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求解作答.（2）利用向量线性运算的坐标表示，结合模的坐标表示建立函数关系，求出函数最小值作答.【小问1详解】因为向量，，则，，由向量与垂直，得，所以【小问2详解】由，，得，所以，所以当时,取到最小值18.已知，.（1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求函数的解析式；（2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化简，依题意，即可求出，从而得到函数解析式；（2）由对称性得到，再由函数在区间上的单调性求出的范围，即可得解.【小问1详解】因为，因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以，则，所以，解得，故函数．【小问2详解】由，函数的图象关于对称，所以，所以，由，则，又函数上单调，所以，解得，所以当时．19.如图所示，在三棱柱中，点D，E，F，G分别为棱，，，上的点，且，，，，四边形为矩形，平面平面，.（1）证明：平面；（2）证明；平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取的中点，利用平行公理及平行四边形性质，证明线面平行，进而证明面面平行，再利用面面平行的性质推理作答.（2）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理作答.【小问1详解】在三棱柱中，连接，取的中点，连接，如图，因为，则，，于是四边形是平行四边形，即有，又平面，平面，则平面，显然点为的中点，而点为的中点，则，由，得，又，即有且，于是四边形为平行四边形，则，而平面平面，则平面，又，平面，因此平面平面，而平面，所以平面.【小问2详解】由四边形为矩形，得，因为平面平面，平面平面，平面，因此平面，而平面，则，又，，于是，因为平面，平面，所以平面.20.后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数.国家先后出台了多项减税增效政策.某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得2000位在职员工的个人所得税（单位：百元）数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：（1）求直方图中的值；（2）根据频率分布直方图估计该市职工年个人所得税不超过（百元），求的最小值：（3）已知该地区有70万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过5000元的正常收取，若超过5000元，则超出的部分退税，请估计该地区退税总数约为多少?【答案】（1）（2）的最小值是48.8（3）13800000元【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算得到答案；（2）根据前5组的频率之和与前4组的频率之和得到，根据比例关系解得答案；（3）在职员工的年个人所得税在各区间分别超出正常收取5000元所得税500元，1500元，2500元，3500元，计算可得到答案.【小问1详解】由频率分布直方图，得解得；【小问2详解】由频率分布直方图知，前5组的频率之和为：；前4组的频率之和为：，故，当时，的最小值是48.8；【小问3详解】由题可知，区间内的年个人所得税分别取5500元，6500元，7500元，8500元为代表，则在职员工的年个人所得税分别超出正常收取5000元所得税500元，1500元，2500元，3500元．于是，元，所以估计该地区退税总数约为13800000元(1380万元)．21.如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，.（1）求三棱锥的体积；（2）若是侧棱的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可证得平面ABCD，所以四棱柱是正四棱柱，利用棱锥的体积公式求解可得答案；（2）取PC的中点，所以，又，所以为二面角的平面角，在直角中求解即可.【小问1详解】在正方形ABCD中，，又，且公用，所以，所以，即因为平面ABCD，所以平面ABCD．所以四棱柱是正四棱柱．所以.【小问2详解】是侧棱的中点，由（1）知，在直角中，，在直角中，，在正方形ABCD中，，所以为正三角形．取PC的中点，连接AH，BH，所以，且，又在等腰直角中，，且，所以为二面角的平面角，在中，，在直角中，，即二面角的余弦值为．22.如图，平面四边形中，，，，的内角，，的对边分别是，，，且满足.（1）判断四边形是否有外接圆?若有，求其半径；若无，说明理