部编人教版九上数学第22章-二次函数-22.2.3-二次函数在学科内的综合运用【习题课件】

22.2二次函数与一元二次方程第3课时二次函数在学科内的综合运用第二十二章二次函数

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y＝x2－4x＋41．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q.过Q点的直线y＝2x＋m与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B.若S△BPQ＝3S△APQ，求这个二次函数的解析式．【点拨】本题用待定系数法求函数解析式时，根据图象的性质寻找待定系数所满足的条件，列方程或方程组求解．解题时还必须根据题目条件对结果进行检验，舍去不符合题意的解．联立可得B点的坐标为(2－b，4－2b＋c)．作BC⊥x轴于C，则BC＝4－2b＋c.∵S△BPQ＝3S△APQ，∴S△APB＝4S△APQ.解：由题意知二次函数图象与y轴的交点Q的坐标为(0，c)．又∵直线y＝2x＋m过点Q，∴m＝c.又∵OQ＝c(c>0)，∴(4－2b＋c)∶c＝4∶1.即2b＋3c－4＝0①.∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴只有一个公共点，∴Δ＝b2－4c＝0②.∵△APQ与△APB同底(AP)不等高，∴S△APB∶S△APQ＝4∶1＝BC∶OQ.经检验知当b＝

时，抛物线的顶点在y轴左侧，不符合题意，舍去．∴b＝－4，c＝4.∴二次函数的解析式为y＝x2－4x＋4.解联立①②的方程组，可得2．已知关于x的二次函数y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4.(1)探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的公共点的个数；解：令y＝0，得x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4＝0，Δ＝(2m－1)2－4(m2＋3m＋4)＝－16m－15.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，即－16m－15＞0，∴m＜－

.此时二次函数的图象与x轴有两个公共点；当Δ＜0时，方程没有实数根，即－16m－15＜0，∴m＞－

.此时二次函数的图象与x轴没有公共点．当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即－16m－15＝0，∴m＝－

.此时二次函数的图象与x轴只有一个公共点；(2)设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且

＋

＝5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM对应的函数解析式．解：由一元二次方程根与系数的关系得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋3m＋4，∴

＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋3m＋4)＝2m2－10m－7.∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴m＜－

.∴m＝－1.∴y＝x2＋3x＋2.∵

＝5，∴2m2－10m－7＝5.∴m2－5m－6＝0.解得m1＝6，m2＝－1.令x＝0，得y＝2，∴二次函数的图象与y轴的交点C的坐标为(0，2)．又∵y＝x2＋3x＋2＝

，∴顶点M的坐标为

.∴直线CM对应的函数解析式为y＝

x＋2.设过点C(0，2)与M

的直线对应的函数解析式为y＝kx＋b，则

解得3．关于x的二次函数y＝－x2＋(k2－4)x＋2k－2的图象以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴的上方．(1)求此抛物线所对应的函数解析式，并在直角坐标系中画出函数的大致图象；解:根据题意，得k2－4＝0，解得k＝±2.∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴2k－2＞0，∴k＞1.∴k＝2.∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2.函数的大致图象如图所示．(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB⊥x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过点D作DC⊥x轴于点C，得到矩形ABCD.设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数解析式；解:令－x2＋2＝0，得x＝±.如图，当0＜x＜

时，A1D1＝2x，A1B1＝－x2＋2，∴l＝2(A1B1＋A1D1)＝－2x2＋4x＋4.当x＞

时，A2D2＝2x，A2B2＝－(－x2＋2)＝x2－2，∴l＝2(A2B2＋A2D2)＝2x2＋4x－4.综上所述，l关于x的函数解析式是l＝(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形？若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．解:能．当0＜x＜

时，令A1D1＝A1B1，得x2＋2x－2＝0，解得x＝－1－

(舍去)，或x＝－1＋

.将x＝－1＋

代入l＝－2x2＋4x＋4，得l＝8－8.当x＞

时，令A2D2＝A2B2，得x2－2x－2＝0，解得x＝1＋

，或x＝1－

(舍去)．将