专题05 二次函数与一元二次方程、不等式-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版

2/2专题05二次函数与一元二次方程、不等式（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 7【考点1】一元二次不等式的求解 7【考点2】三个二次之间的关系 11【考点3】一元二次不等式恒成立问题 13【分层检测】 18【基础篇】 18【能力篇】 24【培优篇】 27考试要求：1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.知识梳理知识梳理1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a}4.分式不等式与整式不等式(1)eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是．4．（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，则的取值范围是.三、解答题5．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．6．（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）已知：，：.(1)若是真命题，求对应的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围.参考答案：1．C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．2．【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.3．【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可.【详解】因为不等式的解集为，所以二次函数的对称轴为直线，且需满足，即，解得，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.4．【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.【详解】由，得,解得，所以.因为，所以或，解得或，所以的取值范围是.故答案为：.5．(1)；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.6．(1)(2)【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案；（2）由是的必要不充分条件，可得，解不等式即可得出答案.【详解】（1）∵：是真命题，∴，∴，解得，∴的取值范围是.（2）由（1）知：：，：即因为是的必要不充分条件，所以，解得：.综上所述的取值范围是.考点突破考点突破【考点1】一元二次不等式的求解一、单选题1．（2021·上海徐汇·一模）已知，条件：，条件：，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·四川乐山·一模）已知，满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（

）A．B．C．D．不等式的解集是或4．（2023·广东深圳·模拟预测）下列命题中的真命题有（

）A．当时，的最小值是3B．的最小值是2C．当时，的最大值是5D．若关于的不等式的解集为，则三、填空题5．（2021·四川绵阳·模拟预测）若函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为6．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，关于x的不等式的解集为M，设，当a变化时，集合N中的元素个数最少时的集合N为．参考答案：1．C【解析】分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项.【详解】，则，，则，因为，所以是的充分必要条件.故选：C2．D【分析】由题，分，两种情况讨论求解即可.【详解】解：当时，，所以，即，解得，当时，，所以，即，解得，所以，的取值范围是故选：D3．ABD【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可.【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，A：由以上可知，故A正确；B：当时，代入方程可得，故B正确；C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；故选：ABD4．AC【分析】对于A、C：根据基本不等式分析判断；对于B：根据对勾函数分析判断；对于D：根据三个二次之间的关系分析判断.【详解】对于选项A：因为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确；对于选项B：因为，等号成立的条件是，所以等号不成立，不能使用基本不等式，令，则在上单调递增，所以时取得最小值，故选项B错误；对于选项C：因为，则所以，当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；对于选项D：因为关于的不等式的解集为，所以的根为2,3，则，解得，所以，故选项D错误.故选：AC.5．【分析】转化函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，为在区间(－2，1)上有唯一的变号零点，利用二次函数根的分布，转化为，再验证端点即得解【详解】由题意，函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，即在区间(－2，1)上恰有一个变号零点令，即在区间(－2，1)上有唯一的变号零点根据二次函数根的分布可知：，即此时端点值是否成立不确定.（1）当时，在区间(－2，1)上有唯一的变号零点，成立；（2）当时，在区间(－2，1)上恒小于0，不成立；综上，实数a的取值范围为故答案为：6．/【分析】由基本不等式得到，得到不等式解集，要想集合N中的元素个数最少，则取最小值，得到答案.【详解】，令得，其中，当且仅当，即时，等号成立，其中，则的解集为，要想集合N中的元素个数最少，则取最小值，此时解集为，此时.故答案为：反思提升：含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论.(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式.(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【考点2】三个二次之间的关系一、单选题1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（

）A． B．C． D．2．（2021·新疆·模拟预测）已知函数，满足，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、填空题3．（20-21高一上·浙江台州·期中）若非负实数满足，则的最大值为.三、解答题4．（2022·江苏盐城·模拟预测）设函数．(1)若函数在上不单调，求a的取值范围；(2)对任意，都存在，使得成立，求a的取值范围．参考答案：1．D【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.【详解】一元二次不等式的解为，所以的解为，且，由韦达定理得，代入得，故选：D.2．C【分析】由题设知关于对称且开口向上，根据二次函数的对称性有，求解集.【详解】依题意，有二次函数关于对称且开口向上，∴根据二次函数的对称性：若，即有，∴.故选：C【点睛】关键点点睛：由题设可得关于对称且开口向上，根据对称性求函数不等式的解集即可.3．【解析】令，结合题意，得到，根据关于的方程必须有解，利用，求得以，即可求解.【详解】令，则，两边平方，可得，

（1）因为，所以，（2）由（1）（2）可得，整理得，因为关于的方程必须有解，所以，解得，因为，所以，所以的最大值为16，即的最大值为.故答案为：.【点睛】解答中把转化为关于的方程必须有解，结合二次函数的性质求解是解答本题的关键.4．(1)(2)【分析】（1）由二次函数单调性知对称轴在之间，则，解出即可.（2）将题目转化为对任意的实数关于y的方程有解，∴，对任意恒成立，即转化为，对任意恒成立，然后设二次函数，，对对称轴分，和讨论即可.【详解】（1）∵函数在上不单调，∴，即，所以实数a的取值范围是；（2）由已知，对任意的实数，关于y的方程有解，即对任意的实数关于y的方程有解，∴，对任意恒成立，即，对任意恒成立，记，，①当，即时，在上单调递增，则，解得或，故；②当时，，解得，故；③当，即时，在上单调递减，则，而，故，综上所述a的范围是．反思提升：1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.【考点3】一元二次不等式恒成立问题一、单选题1．（2023·江西九江·二模）已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（22-23高三下·上海杨浦·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．二、多选题3．（23-24高一上·新疆喀什·期末）下列几种说法中正确的是（

）A．若，则的最小值是4B．命题“，”的否定是“，”C．若不等式的解集是，则的解集是D．“”是“不等式对一切x都成立”的充要条件4．（22-23高三上·山东枣庄·开学考试）下列说法正确的是（

）A．若不等式的解集为，则B．若命题，，则的否定为C．在中，“”是“”的充要条件D．若对恒成立，则实数的取值范围为三、填空题5．（2022·湖北武汉·三模）若，使成立，则实数的取值范围是．6．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是．参考答案：1．D【分析】首先由为假命题，得出为真命题，即，恒成立，由，即可求出实数a的取值范围．【详解】因为命题：，，所以：，，又因为为假命题，所以为真命题，即，恒成立，所以，即，解得，故选：D．2．C【分析】由题设条件有，令则有、，应用基本不等式求范围且恒成立，进而求的范围，即可得结果.【详解】由，则，且，所以，令，则，且，所以，即，仅当时等号成立，对于恒成立，仅当，即时等号成立，综上，若，则，而，则，只需，所以，仅当，即时等号成立，综上，，仅当，即时等号成立.所以目标式最小值为.故选：C3．BCD【分析】A：取进行分析；B：根据含一个量词的命题的否定方法得到结果；C：先根据韦达定理求解出的值，然后可求的解集；D：分析不等式对一切x都成立时的取值范围，然后作出判断.【详解】对于A：当时，，但，故A错误；对于B：修改量词，否定结论可得命题的否定为：“，”，故B正确；对于C：因为的解集是，所以，所以，所以，解得，故C正确；对于D：当时，恒成立，当时，若不等式对一切x都成立，则，解得，综上，时，不等式对一切x都成立，所以“”是“不等式对一切x都成立”的充要条件，故D正确；故选：BCD.4．ABD【分析】选项A，利用韦达定理，求得和的值，即可判断；选项B，根据全称量词命题的否定形式，即可判断；选项C，结合辅助角公式，可得，进而知或；选项D，参变分离可得对恒成立，进而知，解得即可．【详解】解：选项A，由题意知，和2是方程的两根，所以，解得，，所以，即选项A正确；选项B，根据全称量词命题的否定形式，可知的否定为，，即选项B正确；选项C，由，知，所以或，即或，所以选项C错误；选项D，不等式可整理为，即对恒成立，所以，即，解得，即选项D正确．故选：ABD．5．【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.【详解】由可得，，因为，所以，根据题意，即可，设，易知在单调递减，在单调递增，所以，所以，故答案为：6．【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是，故答案为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．反思提升：(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若ax2＋bx＋c＞0恒成立，则有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0恒成立，则有a＜0，且Δ＜0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）设等比数列，，是方程的两根，则的值是（

）A．或 B．2或 C． D．2．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，则（

）A． B．C． D．3．（2023·广东·模拟预测）若集合，，且，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．4．（22-23高三上·江苏·开学考试）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．－4 B．4 C．5 D．8二、多选题5．（2022·广东佛山·一模）下列说法正确的是（

）A．命题：，的否定是：，；B．，是的充要条件；C．是的充分非必要条件；D．是命题：，恒成立的充分非必要条件6．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．7．（2021·江西·模拟预测）下列命题正确的是（

）A． B．集合的真子集个数是4C．不等式的解集是 D．的解集是或三、填空题8．（2021·河北石家庄·二模）若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围为.9．（22-23高一上·河北沧州·期中）若“”为假命题，则实数的取值范围为.10．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的最大值为．四、解答题11．（2022·山东济南·二模）已知函数(1)若，求m的值；(2)若，求a的取值集合．12．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数，且.(1)求a的值；(2)当时，恒成立，求m的取值范围.参考答案：1．C【分析】由根与系数的关系可得，，且，都是负数，再由等比数列得，且，从而得解.【详解】因为，是方程的两根，所以，，且，都是负数，又因为为等比数列，所以，所以，且，所以.故选：C2．A【分析】首先化简集合，然后求出交集即可.【详解】，，.故选：A3．C【分析】化简集合，然后分类讨论结合即得.【详解】依题意，，方程或.当时，，此时，不合题意；当时，，此时，不合题意；当时，，此时，不合题意；当时，，此时，适合题意；综上，.故选：C.4．C【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值.【详解】由的解集为，则，且，是方程的两根，由根与系数的关系知，解得，，当且仅当时等号成立，故，设，函数在上单调递增，所以所以的最小值为5.故选：C5．AC【分析】依次判断，根据命题的否定定义可知A的正误，计算，可知B的正误，计算可知C正误，计算，恒成立的条件可知D的正误，可得结果.【详解】对A，，的否定是，，A正确；对B，或，故，是的充分不必要条件，故B错；对C，或，所以是的充分非必要条件，故C正确；对D，，恒成立的条件为所以是命题：，恒成立的必要不充分条件故选：AC6．BCD【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案.【详解】，则对都成立，又，所以，观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.故选：BCD.7．AC【分析】A.利用集合相等判断；B.根据集合的真子集定义判断；C.利用一元二次不等式的解法判断；D.利用分式不等式的解法判断.【详解】A.，故正确；B.集合的真子集个数是3，故错误；C.不等式的解集是，故正确；D.的解集是或，故选：AC8．【分析】由题意可得不等式有解，然后通过判别式即可求出实数m的取值范围.【详解】由题意可知，不等式有解，，即，∴实数m的取值范围为，故答案为：.9．【分析】由“”为真命题，利用判别式法求解.【详解】解：由条件可知“”为真命题，则，即.故答案为：10．【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.【详解】由题知命题的否定“”是真命题．令，则解得，故实数的最大值为故答案为：11．(1)3或-2(2)【分析】（1）结合分段函数解析式列方程，由此求得的值.（2）首先判断的取值范围，然后解一元二次不等式求得的取值集合.【详解】（1）当时，，解得或（舍去）；当时，，解得.∴m的值为3或-2.（2）对任意实数，，，，解得.∴a的取值集合是.12．(1)1(2)【分析】（1）根据，即可由对数运算代入求解.（2）根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解.【详解】（1）因为，所以,因为，所以，则.（2）由（1）可知，等价于.令，则，原不等式等价于在上恒成立，则，解得，故m的取值范围为.【能力篇】一、单选题1．（2023·黑龙江大庆·二模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．二、多选题2．（2023·广东深圳·模拟预测）已知函数（且），且，，，则下列结论正确的是（

）A．为R上的增函数 B．无极值C． D．三、填空题3．（2023·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是．四、解答题4．（2022·上海青浦·一模）考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足.(1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围；(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.参考答案：1．A【分析】结合对数函数定义域和分式不等式解法化简集合A，B，由集合交集的定义求解即可．【详解】函数的定义域为，不等式，可化为或，所以，所以，，所以．故选：A．2．ABC【分析】先求导，分析函数的单调性和极值，再利用指数函数和对数函数的单调性比较a，b，c的大小，利用函数的单调性比较对应函数值的大小.【详解】解：已知函数（且），则，则，所以，故在R上单调递增，A选项正确；因为为R上的增函数，所以无极值，B选项正确；因为是增函数，所以，因为是减函数，所以，因为是减函数，所以，综上可知，，又为增函数，则，C选项正确，D选项错误；故选：ABC.3．【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围．【详解】由不等式对恒成立，可转化为对恒成立，即，而，当时，有最大值，所以，故答案为：．4．(1)；(2)当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.【分析】（1）根据题意，可知当时，求出的值，结合条件得出，再结合，即可得出车速的取值范围；（2）设该汽车行驶100千米的油耗为升，得出关于与的函数关系式，通过换元令，则，得出与的二次函数，再根据二次函数的图象和性质求出的最小值，即可得出不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.【详解】（1）解：由题意可知，当时，，解得：，由，即，解得：，因为要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内，即，所以，故汽车每小时的油