高中数学《离散型随机变量的数字特征》考点讲解与训练

《7.3离散型随机变量的数字特征》考点讲解

【思维导图】

一般地，若离散型随机变量X的分布列为:

则称E(A)=xgxipi+…+xpi+…+式/为随机变量X的均值

或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

离

散设离散型随机变量X的分布列为:

型

随

机

变

则区一旦甩尸描述了”)相对于均值的偏离程度.

量x,</=U........E(A)

的/)(.»=£g—E(X))》为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机

数i-i

字变・X与其均值E(X)的平均偏离程度.称研、)为随机变量V的方差,

特

并称其算术平方根7D(X)为随机变量X的标准差.

征

(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波

动、集中与离散的程度.D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X的取

值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.

(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.

£(*)=*,D(k)=O,其中A为常数

E(aX+b)^aE(X)+bD(aX+b)=a2D(X)

【常见考点】

考法一分布列均值与方差

【例1-1］已知随机变量X的分布列是

X123

Pa

~23

则E（2X+a）=（）

57723

A・一B.-C.一D.一

3326

【例1-21随机变量X的分布列如表所示,若E（X）=g,则。（3X—2）=（）

X-101

Pab

6

A.9B.7C.5I).3

【一隅三反】

i.已知随机变量x的分布列为：设y=2x+i,则y的数学期望E(F)的值是()

X-101

Pa

~26

1B.122

A.---C.一D.•——

6333

2.已知X的分布列为:

设y=2x+i,则丫的数学期望后（丫）的值是（）

1229

A.--B.-C.1D.—

6336

3.（多选）若随机变量X服从两点分布，其中P（X=O）=:，E（X）,O（X）分别为

随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（）

A.p（x=1）=E（X）B.E（4X+1）=4

c.。（x）4D.D（4X+1）=4

4.（多选）已知随机变量J的分布列是

4-101

pl-pp_

722

随机变量〃的分布列是

7123

1-p

p2.

722

则当〃在（0』）内增大时，下列选项中正确的是（）

A.七传）=石何）B.丫©=%）

C.£（4）增大D.V（〃）先增大后减小

考法二实际应用中的分布列与均值

【例2】某外贸企业在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供

货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：吨），以［160,180）、

［180,200）、［200,220）、［220,240）、［240,260）、［260,280）、［280,300）分组的频

率分布直方图如图.

（1）求直方图中工的值；

（2）在年平均销售量为［220,240）、［240,260）、［260,280）、［280,3（X））的四组大型农

贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在［240,260）、

［260,280）,［280,300）的农贸市场中应各抽取多少家？

（3）在（2）的条件下，再从［240,260）、［260,280）、［280,300）这三组中抽取的农贸

市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有。家在［240,260）组，求随机变

量〈的分布列与期望和方差.

【一隅三反】

1.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的

收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不

足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超

过1小时离开的概率分别为,、,；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为二、

462

|；两人滑雪时间都不会超过3小时.

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量J(单位：元)，求J的分布列与数学

期望E©,方差。⑷.

2.某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N个人参加.现将

所有参加者按年龄情况分为(20,25),(25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)等

七组.其频率分布直方图如图所示，已知[25,30)这组的参加者是6人.

(I)根据此频率分布直方图求N；

(II)组织者从(45,55)这组的参加者(其中共有4名女教师，其余全为男教师)中随机

选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为X,求X的分布列、均值及方差.

(III)已知[35,40)和[40,45)这两组各有2名数学教师.现从这两个组中各选取2人担任

接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率

考法三均值方差做决策

【例3】.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量&与n,且g,n

的分布列为：

g123

Pa0.10.6

n123

p0.3b0.3

（1）求a,b的值;

（2）计算g,n的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况.

【一隅三反】

1.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单

位：枝，neN）的函数解析式：

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量n14151617181920

频数10201616151320

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期

望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

2.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4

元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成

7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，

并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：

甲公司送餐员送餐单数频数表：

送餐单数3839404142

天数101510105

乙公司送餐员送餐单数频数表:

送餐单数3839404142

天数51010205

若将频率视为概率，回答下列两个问题：

(1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；

(2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利

用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.

答案解析

考法一分布列均值与方差

【例1-1］已知随机变量X的分布列是

X123

Pa

~23

则E(2X+a)=()

57723

A.-B.-C.-D.—

3326

【答案】C

【解析】由分布列的性质可得」+工+。=1,得所以,

E(X)=lx—+2x—+3x—=—

2363

i5i7

因此，E（2X+a）=E2X+q=2石（乂）+2=2乂1+工=7.故选：（;.

o3o2

【例1-2】.随机变量X的分布列如表所示，若E(X)=g,贝iJO(3X—2)=()

X-101

pab

6

A.9B.7C.5D,3

【答案】C

【解析】•••E(X)=g,

由随机变量X的分布列得：

—1+。+/,?=,1

<6]解得b=3,

——+b=一

63

£>。)=(-1-2)2x2+(0一X^+(l-^)2=.

3633329

.-.Z)(3X-2)=9£)(X)=9x1=5.

故选：c.

【一隅三反】

i.已知随机变量x的分布列为：设y=2x+i,则丫的数学期望七（丫）的值是（）

X-101

pa

26

122

A.一一C.一D.一一

633

【答案】c

【解析】由题意，根据分布列的性质，可得:+<+。=1,解得。=?，

263

所以随机变量X的期望为E（x）=—lx1+Ox，+lx《=—二

2636

又由y=2x+i,所以随机变量y的期望为E（y）=2E（x）+i=2x（—t）+i=g

故选：C.

设y=2x+i，则丫的数学期望七（丫）的值是（）

1229

A.-B.-C.1D.—

6336

【答案】B

【解析】由题意，根据分布列的性质，可得:+9+。=1,解得。=1，

263

所以随机变量X的期望为E（X）=—lx!+Ox，+lx!=-J,

2636

又由y=2x+i,所以随机变量y的期望为E（y）=2E（x）+i=2x（—}+i=|

故选：B.

3.（多选）若随机变量X服从两点分布，其中P（X=O）=；,£（x）,O（x）分别为

随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（）

A.P（x=l）=£（x）B.E（4X+1）=4

C.O（x）=aD.O（4X+1）=4

【答案】ABC

13

【解析】因为随机变量X服从两点分布，且P（X=O）=],所以p（x=l）="

]33

£（X）=Ox—+lx—所以尸（zX=1）=E（X）,故A正确；

E(4X+l)=4E(X)+l=4x|+l=4,故B正确;

2

0-(3Ix-=-l,故C正确;

441416

3

D(4X+1)=42D(X)=16X4=3,故D不正确.

16

故选:ABC

4.（多选）已知随机变量〈的分布列是

4-101

p1-pp_

522

随机变量〃的分布列是

7123

l-pP_

p

~222

则当P在（（）』）内增大时,下列选项中正确的是（）

A.Eq)=E(〃)B.Vq)=V(〃)

C.E（J）增大D.V（〃）先增大后减小

【答案】BC

【解析】对于A，•・•〃=J+2,.•.ES)=EC)+2,故A错误;

对于3,•.”=€+2,.•We)=V("),故8正确;

•.•E(g)=_g+gp,

对于C，

・•・当P在（0,1）内增大时,EC）增大,故。正确;

对于£),〃3°

,••£1()=g+2x」+3建=----1-----

2222

♦[")=(-『争W+g-针♦+(.凯勺-立-2>+；,

二当P在（0,1）内增大时，单调递增，故。错误.故选：BC.

考法二实际应用中的分布列与均值

【例2】某外贸企业在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供

货源,据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：吨），以［160,180）、

［180,200）,［200,220）、［220,240）、［240,260）、［260,280）、［280,300）分组的频

率分布直方图如图.

（1）求直方图中左的值；

（2）在年平均销售量为［220,240）、［240,260）,［260,280）、［280,300）的四组大型农

贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在［240,260）、

［260,280）,［280,300）的农贸市场中应各抽取多少家？

（3）在（2）的条件下，再从［240,260）、［260,280）、［280,300）这三组中抽取的农贸

市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有J家在［240,260）组，求随机变

量4的分布列与期望和方差.

【答案】（1）O.（X）75；（2）年平均销售量在［240,260）、［260,280）、［280,3（X））的农贸

3Q

市场中应各抽取3、2、1家；（3）分布列见解析，E（4）=/，。信）=药.

【解析】（1）由频率和为1,即

（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.0（）5+0.0025）x20=1,解得x=0.0075；

（2）年平均销售量在［220,240）的农贸市场有0.0125x20x100=25（家），

同理可求年平均销售量［240,260）、［260,280）、［280,300］的农贸市场有15、10、5

家，

11£

所以抽取比例为

25+15+10+55

从年平均销售量在［240,260）的农贸市场中应抽取15x；=3（家），

从年平均销售量在［260,280）的农贸市场中应抽取10x；=2（家）

从年平均销售量在［280,300）的农贸市场中应抽取5x（=1（家），

即年平均销售量在［240,260）、［260,280）、［280,300）的农贸市场中应各抽取3、2、

1家；

（3）由（2）知，从［240,260）、［260,280）、［280,300）的大型农贸市场中各抽取3

家、2家、1家，

所以随机变量4的可能取值分别为0、1、2、3,

则p（g=0）=等q,上=1）=与

P传=2）=33=_,P信=3）=33=一,

'，C：20v'Cl20

自的分布列如下表所示:

40123

1991

P

20202020

i9913

数学期望为E（/=0x万+lx京+2x万+3x方=不

天至出八23丫1r3丫923丫9L3丫19

方差为£>(4)=|0——x---F1——xF2——x---F3——x—=—.

\(2)20I2)20I2)20I2)2020

【一隅三反】

1.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的

收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不

足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超

过1小时离开的概率分别为1、二；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为、

462

|；两人滑雪时间都不会超过3小时.

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量J(单位：元)，求J的分布列与数学

期望E©,方差。⑷.

【答案】⑴—；(2)分布列见解析，E(J)=80,£)(4)=---.

【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0、40、80元，

两人都付0元的概率为6=；x,=算，两人都付40元的概率为2=gx|=:，

两人都付80元的概率为巴=(1一。一与x1

V42/1o5J24

则两人所付费用相同的概率为P=4+2+A=(+1+==^；

(2)设甲、乙所付费用之和为J,J可能取值为0、40、80、120、160,

P（"160）=＞卜一

所以，随机变量J的分布列为

04080120160

151

P

24412424

=0x—+40xl+80xA+i20xl+160x—=80.

24412424

D(^)=(0-80)2x—+(40-80)2xl+(80-80)2x—+(120-80)2X-+(160-80)2X—

412424

4000

3

2.某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N个人参加.现将

所有参加者按年龄情况分为(20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)等

七组.其频率分布直方图如图所示，已知[25,30)这组的参加者是6人.

(I)根据此频率分布直方图求N；

(II)组织者从(45,55)这组的参加者(其中共有4名女教师，其余全为男教师)中随机

选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为X,求X的分布列、均值及方差.

(III)已知[35,40)和[40,45)这两组各有2名数学教师.现从这两个组中各选取2人担任

接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率

【答案】（I）40（ID见解析（III）

【解析】(I)[25,30)这组频率为0.03x5=0.15,所以N=G^=40

(II)(45,55)这组的参加者人数为(0.02+0.01)x5x40=6,

X=l,2,3,

c'c21

P(X=D=-1^=M

C2cl3

尸(X=2)=-^=,

3

p(X=3)=WC=—1

C：5

X123

3]_

p

555

131

£(X)=lx-+2x-+3x-=2

r>(X)=(l-2)2x1+(2-2)2x|+(3-2)2xi=|

(III)[35,40)这组的参加者人数为0.04x5x40=8

[40,45)这组的参加者人数为0.03x5x40=6

C\C'-Ci+C^-C'C\16

恰有1名数学老师的概率为一2。士力.=「

ClCl35

考法三均值方差做决策

【例3】.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量g与n,且&,n

的分布列为：

€123

(2)计算n的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况.

【答案】(1)a=0.3；b=0.4；(2)2.3；2；0.81；0.6；甲、乙两人技术水平都不够全

面，各有优势与劣势.

【解析】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知

a+0.1+0.6=1,

...a=0.3.

同理0.3+b+0.3=1,b=0.4.

(2)E(&)=1XO.3+2X0.1+3X0.6=2.3,

E(n)=lX0.3+2X0.4+3X0.3=2,

D(€)=(l-2.3)叹0.3+(2-2.3)2X0.1+(3-2.3)2X0.6=0.81,

D(n)=(l-2)2X0.3+(2-2)2X0.4+(3^2)2X0.3=0.6.

由于E(g)>E(n),说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(g)>D(n),说明甲

得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势.

【一隅三反】

1.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单

位：枝，neN)的函数解析式；

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量n14151617181920

频数10201616151320

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期

望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

【答案】（1）y=（〃eN）；（2）①分布列详见解析，E（X）=76,

80,n>16

O（X）=44；②都有道理，理由详见解析.

【解析】

（1）当日需求量16时，利润y=80.当日需求量〃<16时，利润y=10〃-80.

10n-80,n<16,、

所以y关于〃的函数解析式为y=1c,、（neN）.

80,n>16

(2)①X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,

p(X=80)=0.7.

X的分布列为

X607080

P0.10.20.7

X的数学期望为E（X）=60x0.1+70x0.2+80x0.7=76.

X的方差为D（X）=（60-76）2x0.1+（70-76）2x0.2+（80-76）2x0.7=44.

②答案一：

花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，丫表示当天的利润（单位：元），那么丫的分布列为

Y55657585

P0.10.20.160.54

Y的数学期望为£*(/)=55x0.1+65x0.2-4-75x0.16+85x0.54=76.4.

Y的方差为

D(r)=(55-76.4)2x0.1+(65-76.4)2x0.2+(75-76.4)2x0.16+(85-76.4)2x0.54=ll2.04

由以上的计算结果可以看出，r>（x）<r>（y）,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.

另外，虽然E（X）<E（y）,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.

答案二：

花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，丫表示当天的利涧（单位：元），那么丫的分布列为

Y55657585

P0.10.20.160.54

Y的数学期望为E（K）=55x0.1+65x0.2+75x0.16+85x0.54=76.4.

由以上的计算结果可以看出，E（X）<E（Y）,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进

16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.

2.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4

元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成

7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，

并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：

甲公司送餐员送餐单数频数表：

送餐单数3839404142

天数101510105

乙公司送餐员送餐单数频数表:

送餐单数3839404142

天数51010205

若将频率视为概率，回答下列两个问题：

（1）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；

（2）小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利

用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.

【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.

【解析】（1）设乙公司送餐员送餐单数为。，

当a=38时，X=38x6=228,p=—

5010

当a=39时，X=39x6=234,/?=-=-；

505

当a=40时，X=40x6=240,/?=-=-；

505

当。=41时，X=40x6+lx7=247,p=-=-；

505

当。=42时，X=40x6+2x7=254,

故X的所有可能取值为228、234、240、247、254,

故X的分布列为：

X228234240247254

121

P

1055W

fe£(X)=228x-+234xl+240xl+247x-+254x—=241.8.

1055510

(2)甲公司送餐员日平均送餐单数为：

38x0.2+39x0.3+40x0.2+41x0.2+42x0.1=39.7,

则甲公司送餐员日平均工资为80+4x39.7=238.8元，

因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8<241.8,

所以推荐小王去乙公司应聘.

《7.3离散型随机变量的数字特征》考点训练

【题组一分布列均值与方差】

1.若随机变量&的分布列：

g124

P0.40.30.3

那么E(5g+4)等于()

A.15B.11C.2.2D.2.3

3.设则随机变量X的分布列是:

X0a1

P

333

则当。在(0,1)内增大时()

A.O(X)增大B.D(X)减小

c.O(x)先增大后减小D.D(x)先减小后增大

4.甲、乙两个运动员射击命中环数g、n的分布列如下表.表中射击比较稳定的运动员是

)

环数k8910

P(g=k)0.30.20.5

P(n=k)0.20.40.4

A.甲B.乙C.一样D.无法比较

5.(多选)(已知X的分布列为

A.P(X=O)=!B.E(X)=--

33

231

C.D(X)=-D.P(X>-1)=—

272

6.(多选)已知0<a<5,随机变量&的分布列如下.

4

g-101

31

p---aa

44

当a增大时，()

A.E(&)增大B.E(g)减小C.D(g)减小D.D(g)增大

7.(多选)已知随机变量X的分布列如下，且E(X)=2,则下列说法正确的是()

X123

]_

ptnn

3

1111

A.m=—,n=—B.m=-,n=—

2633

c.o(x)=gD.O(X)=g

8.已知随机变量X的分布列如下表；且E(X)=2,则"=,D(2X-3)=

X02a

]_

PP

63

9.设随机变量J的分布列为:

4012

£1

Pm

53

则团=—；随机变量占的数学期望后传)=—.

10.设随机变量X的分布列为P(X=：)=aMZ=l,2,3,4),。为常数，则E(4X)=

11.已知随机变量J的分布列如下表所示，且〃=-24+3,则E(〃)=

4-101

\_

P

454

12.已知X的分布列

X-101

]_

P

236

且y=aX+3,E(y)=|,则。=.

13.已知随机变量X的分布列如下：

X013

]_

Pa

32

若随机变量丫满足y=3x-1,则丫的方差。（丫）=.

【题组二实际应用中的分布列与均值】

1.一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，每个球被取出的

可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出.设取出黑球的个数4,则

P（J=1）=，E（J）=.

2.“双十一”是指每年的11月11日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大

型购物促销狂欢日.某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满5888元的顾客

会随机获得A,B,C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购物金额满5888元.设随机变

量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则P（X=0）=,E（X）=

3.一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球（所有的球除颜色外其他均相同），从

中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球

得2分，用随机变量J表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为!.

（1）求袋子内黑球的个数；

（2）求J的分布列与均值.

4.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，

则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为乙获胜的概率为g,各局比

赛结果相互独立.

（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）.

5.某产品有4件正品和2件次品混在了一起,现要把这2件次品找出来,为此每次随机抽取

1件进行测试,测试后不放回，直至次品全部被找出为止.

（1）求“第1次和第2次都抽到次品”的概率；

（2）设所要测试的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

【题组三均值方差做决策】

1.设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命表1X（单位：小时）和丫的分布列分别如表1和表2

所示：

X90010001100

P0.10.80.1

Y95010001050

P0.30.40.3

试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？

2.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，

未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需

求量与当天最高气温（单位：。C）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果

最高气温位于区间［20,25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200

瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频

数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货

量”（单位：瓶）为多少时，y的数学期望达到最大值？

3.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后

两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2

次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可

免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机

器.现需决策在购买机馨时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质

保期后延保两年内维修的次数，得下表：

维修次数0123

台数5102015

以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超

过质保期后延保的两年内共需维修的次数.

(1)求X的分布列；

(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？

4.某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,

按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6

道备选题中考生甲有4题能正确完成,2题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是：，且

每题正确完成与否互不影响.

(D分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算均值；

(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验

操作能力.

5.为倡导绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”业务.其中一款新能源分时租赁汽

车每次租车收费标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/千米；②行驶时间不超过

40分钟时，按0.12元/分计费；超过40分钟时，超出部分按0.20元/分计费.已知王先生

家离上班地点15千米，每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素，每次

路上开车花费的时间是变量f(单位：分).现统计其50次路上开车花费时间，在各时间段

内的频数分布情况如下表所示：

时间f分[20,30][30,40][40,50][50,60]

频数2182010

将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为

[20,60]分.

（1）写出王先生一次租车费用y（单位：元）与用车时间t（单位：分）的函数关系式；

（2）若王先生的公司每月发放1000元的车补，每月按22天计算，请估计：

①王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班的平均用车时间（同一时段，用该区间的中点

值做代表）.

②王先生每月的车补能否足够上下班租用新能源分时租赁汽车，并说明理由.

答案解析

【题组一分布列均值与方差】

1.若随机变量&的分布列：

124

P0.40.30.3

那么E(5g+4)等于()

A.15B.11C.2.2D.2.3

【答案】A

【解析】由已知，得：E€=1X0.4+2X0.3+4X0.3=2.2,

.\E(5€+4)=5E(&)+4=5X2.2+4=15.故选：A.

2.设g的分布列为

1234

]_]_

P

6633

又设。=2g+5,则E（n）等于（）

【答案】I)

【解析】E(€)=1X-+2X-+3X^+4X-=—,所以E(n)=E(2g+5)=2E(g)

6