高中数学学习点拨：初中高中教材衔接内容

初中高中教材衔接内容

近阶段发现同学们对一些必要与初中衔接的数学知识及方法，掌握不好,现

归纳如下，与同学们共享.

第一讲十字相乘法

我们在前面研究了/±2皿+。2这样的二次三项式，那么对于/+5X+6,

3/+1a+10这样的二次三项式，各项无公因式，不能用提公因式法，又不

能凑成完全平方公式的形式，应怎样分解？

我们来观察/+5x+6=x2+(2+3)x+2x3=x2+2x+3x+2x3

=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)

又有在我们学习乘法运算时有：(x+a)(x+b)=/+(a+b)x+ab

因此在分解因式中有X1+(a+b)x+ah-(x+a)(x+h)

注意观察上式的系数。

对于一个关于某个字母的二次项系数是1的二次三项式/+px+q,它的常

数项可看作两个数，a与b的积，而一次项系数恰是a与b的和，它就可以分解

为(x+a)(x+b),也就是令p=a+b,q=ab时，

x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

用此方法分解因式关键在于a与b的值的确定。

例1：分解因式:

(1)x2-5x+6(2)x2-4^-21

分析：用十字相乘法分解因式时，首先要找准各项的系数和常数项，然后利

□□

用来分系数，使得左边两数乘积为二次项系数，右边两项乘积为常数项,

交叉相乘后结果作和，应与一次项系数同，这样就分解出来了。

解：(1)原式=(x-2)(x-3)

1＜；XI：〉6

—3—2=—5

1＜；X3＞-21

(2)原式=(x+3)(x-7)7

3—7=—4

例2：分解因式

(1)x4-2x2-8(2)(a+b)2-4(a+b)+3

分析：要想用十字相乘法分解因式，应具备二次三项式的条件，有些多项式

可以看作关于某个整体的二次三项式，也可以照上例方法进行因式分解，如(1)

可以看作关于/的二次三项式(2)可以看作关于(a+b)的二次三项式。

解：⑴原式=(/+2)(，一4)

=(x2+2)(x+2)(%-2)

1<；X2.>-8

2-4=-2

(2)原式=(a+bT)(a+b-3)

1<!x''>3

1—J

—1-3=—4

例3：分解因式

(1)x2-3xy+2y2(2)3a2%2-i5a2xy~^2a2y2

分析：当多项式中出现两个字母时，分解同前，只不过常数项也会出现字母,

如(1)可以看作关于x的二次三项式，则y就当作常数处理。(2)应先进行公

因式的提取，再分解，记住，提取公因式是分解因式的第一步。

解：(1)原式=(x-2y)(x-y)

1<：x苧>2/

-2y-y=-3y

(2)原式=-5xy-14y2)

1<!X2yV>-14/

=342(x—7y)(x+2y)

―7y+2y=_5y

例4：分解因式:

(1)2X2-7X+3(2)4x4y2-5x2y2-9y2

分析：当二次项系数不是1时，数的分解不太容易，应不断试一试几种可分

的情况，同时注意符号的合理匹配。

解：(1)原式=(x-3)(2xT)

2<'Nx—]I_>3

—6—1=—7

(2)原式)2(4——5/一为

=y2(x2+l)(4x2-9)

=/(%2+I)(2X+3)(2X—3)

4<4XL9>-9

4-9=-5

例5：分解因式

(1)(x?+2x~)—7(x~+2x)-8(2)x~+2JV—15—tzx—Set

分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字

相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，

如五项可以三、二组合。

解：(1)原式=(/+2x+l)(x2+2x-8)

=(X+1)2(X-2)(X+4)1：>丁

]—8=-7

1<；X；2>-8

-2+4=2

(2)原式=(/+2x-15)-(ax+5a)

=(x—3)(x+5)—a(x+5)=(x+5)(x—3—a)

1<；x丁>-15

—3+5=2

注：不是所有的二次三项式都能进行因式分解。

第二讲一元二次方程

一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、

函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法.

1、概念:方程ax,bx+cR(aWO)称为一元二次方程.

2、基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法.

3、对于方程ax2+bx+c=0(aWO),△=b?-4ac称为该方程的根的判别式.当

-b±-yA

△>0时，方程有两个不相等的实数根，即―一五一：

b

当△=()时，方程有两个相等的实数根，即为一叼--五

当avo时，方程无实数根.

练习：

1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫

做一元二次方程，它的一般形式是.

2.一元二次方程的二次项系数a是实数.

_-b+vb2-Aac

3.方程ax+bx+c=O(a#0,—4ac20)的两个根12a

属=.

4.一元二次方程的解法有,等，简捷求

解的关键是观察方程的特征，选用最佳方法.

5.应用配方法解一元二次方程af+6x+c=0(82—4ac20)时，第一步是把

方程的常数项移到等号的右边，得aV+A产一c；第二步把方程两边同除以

b_c

一x二——

a,得。；紧接方程两边同时加上____,并配方得.

6.对于实系数的一元二次方程aV+-+c=O(-a#0)△=6'一4ac称为此方

程根的判别式且有如下性质：

(l)A>0二次方程有两个实数根；

(2)A=0二次方程有两个实数根；

(3)A<0二次方程实数根.

这些性质在解题中主要的应用如下：(1)不解方程判断的情况；

(2)求方程中的参数值、范围或相互关系；

(3)判定二次三项式在实数范围内分解因式.

7.⑴若一元二交方程a*+-+c=O(aW0)的两个根为xx,x2,则

耳+胸=,耳及=.(韦达定理)

(2)若Xi,也是方程/+。户干0的二根，则比,(F，以实数

刈题为根的一元二次方程(二次项系数为1)是.

8.根与系数关系主要应用是：

(1)求作方程；

(2)求含有根有关代数式的值；

(3)确定字母系数______以及字母系数之间关系.

(4)验根，求根式确定符号.

(5)解特殊方程式.

9.注意根与系数式关系与根的判别式配合使用.

【学法指要】

例1.解方程：V—3户2=0

思路分析1：此方程左边是二次三项式，它引起我们联想二次

三项式的因式分解——十字相乘法，可在这条道路上探索，找到解

题思路.

1y-1..•原方程可化为

X(r-1)(r-2)=0

1—7

---------..Xi=lXt=2

-1-2---3

思路分析2：此方程是一元二次方程的标准形式，因已知a=l,左

-3,片2,由此可知应用求根公式可解.

观察本例，可发现它的结构符号二次三项式及一元二次方程的

标准形式，使我们把陌生的一元二次方程与十字相乘法，求根公式

这些熟知的问题连在一起，化陌生为熟悉.“化陌生为熟悉”这种

重要的数学思维方法，是解决新问题常用方法，当你遇到新问题时，

不妨用此法一试，它确定可助你一臂之力！

一道新问题解决以后，除分享胜利喜悦外，还要静心回忆一下，

通过问题解决，我们学习了什么？如本例，我们学习了用因式分

解法，求根公式法解一元二次方程，又学习了“转化”思想，继续

探索还会有什么新的发现，新的收获吗？这也是我们获取知识，提

高数学素养的重要途径之一.如本例，经过探索，观察可发现

a班+/1+(—3)+2=0,它的根是为=1,用=2是不是a必+c=0它们必

有一个根是1呢？另一个根是常数项呢？再选几例进行探索.

解方程：(1.)y+5x—6=0(2.)2v—3户1=0

(3.)199/-2000x+l=0

1.的方程解为由=1毛=-6

2.的方程解为为=1T2=2

1

3.的方程解为为=1

由以上可以发现，当a+b+uQ一毛=1,而=)，这一重要发现

给我们解所类方程提供十分简捷的方法——观察法.下面提供几

例，给读者练习.解方程：

1.7-14^13=02.19497-1999^-50=0

3.V—(4+")户3+"=04.7-2000^-1999=0

1.已知加，〃为整数，关于x的三个方程：矛'+（7—加）矛+3+炉0

有两个不相等的实数根；/+（4+血肝加6=0有两个相等实数根；x?

一（m—4）x+n+l=0没有实数根.求m,n的值。

依题意有：（答案学生写出）

(7-m)2-4(3+n)>0(1)

((m-4)2-4(M+1)<0(2)

(4+m)2+=0⑶

由(3)得4上序+87一8代入(1),(2)并化简，得

-22m+45>0

'-16m+20<0

2Q,,45

解得1622

为整数，，炉2

162-4/F400-28

4炉一116,炉一29

■:炉4,小一29满足卅一

:.山=4,/?=—29

第三讲一元二次方程的根与系数的关系

例1：已知，当、々是关于X的一元二次方程云+c=03#0）的两根。

hc

十、丁2+%=――玉飞=-

求证：Cla

-h±ylb2-4ac

x-

分析：由求根公式2a计算一下M+尤2,西•尤2可以找到一元

二次方程根与系数的关系，这条性质也称作韦达定理。

一力+Jb2—4ac-b—y/h2-4ac

Xi=X-）=

证明：由求根公式有：2«2a

—b+yjb~—4-cic—b—y[b~~4cic—r2bb

Xi4-=---------------1---------------=----=---

-h-]-4b^-4ac—b—\h2—4ac

(~b)2-(b2-4ac)_h2-b2+4QC_c

4/4/a

注：韦达定理当一元二次方程二次项系数为1时，即关于X的方程

/+px+q=O时，为+%2=-，，也很常用。

例2：已知：当、々是方程5%-2=0两个实数根。

111

.22----1--3---32.2------------

求：①“1+*2②的.尤2③*1尤2④尤1+X2⑤芭+X2⑥玉+工2

⑦区一1)(工2-1)

分析：题目所求的式子都可以称为对称式，即交换匹与々的位置代数式的

形式不变，这些对称式均可以变形为用两根和与两根积表示的形式，利用韦达

定理代入后，可求值，请记住这些常规变形，在今后的学习中是很常见的。

解：5x—2=0两根为玉、①玉+%2=5②%=_2

11x,+x55

----1----=---------2-=-----=-----

③$x2x}x2-22

④$-+X2—(%)+X?)2_2%|X2=5"_2(_2)—29

322

⑤项3+x2=(Xj+x2)(Xj+x2-x1x2)=5[29-(-2)]=155

11_X,2+x2_29_29

----+-----------------2--=-------------

2222/”2A

⑥占x2否•尤2(-2)4

(7)(内—1)(%2—1)=&•—(为+%2)+1=-2—5+1=—6

例3：已知：a、B是方程―—7如+4加2=0的两根，且(a-l)(B-l)

=3,求m的值

分析：解这种求字母值的问题时，需考虑题目对字母的几点限制，①是二次

项系数不为0;②是方程有实根的条件，即判别式；③是由已知带来的信息。综

合①②③找到公共解集，才能确定字母的值。

解：由题意可得：

A>0

a+B=7机

a/3=4m2(-Im)2-4x4m2>0R

(a-1)()3-1)=3・。〃一(a+〃)+l=3・4m2-7m+1=3

msR

犯=2或"=-；一的值为2或一;

例5：已知关于x的方程/+〃吠+〃=0的根为2和-2,求/+心+〃2=。的

两根。

分析：由方程①的根系关系可以确定m与n的值，这样可以得到方程②，再

解方程即可得到方程两根

解：•关于x的方程/+mx+〃=。的两根为2和-2

2+(-2)=-mm=0

.・.2x(-2)=n〃=-4

•/x2+zix+m=0g|Jx2-4x4-0=0

Ax（x-4）=0

...%=°或％=4

例6：m为何值时，/-（,〃+1）尤+（2机-3）=°的两根均为正

分析：两根均为正，即的+%>°,苞・%>°由此可以得到m的取值范围,

但注意检验，看是否满足判别式。

解：由题意可列：

meR

("?+1)2-4(2m-3)>0

A>0m>

m+1>0

<$+W>°<33

・2m-3>0.m>—m>—

1x.•x2>0・・・・2.・.2

3

m>—

二2时，原方程两根均为正。

注：此类问题还会有两根均为负，一正一负根，有一根为0,两根互为相反

数，两根互为倒数，有两根均大于1等多种形式，望同学多积累解题经验。

1.已知：阳、々是方程2/一3》-1=0的两个实数根，分别求出下列各式

的值。

111,1

—T----------------F-------

'223322

+XX

①％I+尤2、②*.工2、③”I“2、④玉2、⑤玉+*2、⑥％2

⑦（为-1）（工2-1）、⑧Ufl

2.已知方程5—+乙-6=。的一个根是2,求它的另一根及k的值。

3.已知两个数的和等于8,积等于-9,求这两个数

4.求作一个方程，使它的根是方程--7%+8=0的两根的平方的负倒数

参考答案:

1345V17

1.①2、②2、③-3、④4、⑤8、⑥13、⑦-1、⑧2

c6

2.设方程的另一个根是x,则一5

3.设这两个数为a、b则a、b为方程Y—8x—9=0的两根，则a=T,b=9

或a=9,b=-1

4.设再、是方程，—7x+8=0的两根，.•.玉+七=7,x「9=8,设%、

为是新方程的两根

工「+12_33

%+为=-r―

则X\X2

.・.64y2+33y+i=o

第四讲立方和与立方差公式(一)

(公式1：(a+b)(a-b)=aJ-bJ,公式2：(a±b)=aJ±2ab+bJ,公式中的字母可

以表示数、单项式，也可以表示多项式.语言叙述略)

(a+b)(a'-ab+b。)ua'+b”.

(a-b)(a'+ab+b2)=a;i-b!.

特点：1(都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都

是二项式，而且是立方的形式)

2(两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两

个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同)

L填空，使之符合立方和或立方差公式：

(1)(x-3)()=x-27；(2)(2x+3)()=8x，27；

⑶(x?+2)()=x6+8；(4)(3a-2)()=27a-8.

2.填空，使之符合立方和或立方差公式:

(1)()(a2+2ab+4b2)=_______；(2)()(9a'-6ab+4bJ)=

3.运用立方和与立方差公式计算：

(1)(y+3(y2-3y+

9)；(2)(c+5)(25-5c+c

(5)(x2-y2)(x4+x2y2+y4).

计算时同学们要注意两点:

1.两步审查一一对乘式的两个因式要分两步分别审查，即从二项式的因式

判断公式中的a与b,又从乘式的三项式看是否符合公式的使用条件，然后再运

用公式.

2.记清运算结果是积的形式一一a与b的立方和或立方差.

第五讲二次函数配方法求最值

1、二次函数大致图象：

1、已知函数丁=-2（%-1）2+1,在直角坐标系中画出它的大致图象

2、已知函数y=2/-4X+1,在直角坐标系中画出它的大致图象

/b、2b2-4ac

27/八\y=。（尤—）--------

2、二次函数丁="%经配方得：2a4a

3、应用二次函数图象，利用配方法求函数最值

（一）定轴定区间

3、1、顶点在给定区间内

例1、已知函数丁=-2一+4》-1,

（1）若xeR,求：该函数的最大值或最小值

（2）若xe[-l，2],求：该函数的最大值或最小值

2、顶点在给定区间外

（3）若x€[-l，0],求；该函数的最大值或最小值。

（二）动轴定区间

例2、已知：函数,=/+6+1（“6砌，若xe[2,4],

求：该函数的最大值或最小值。

（三）定轴动区间

思考题：已知：函数y=-2/+4x-l,若X