高中数学人教版必修4教学案：第三章七角函数的积化和差与和差化积

3.3七角函数的积化和差与和差化积

课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P149〜151,思考并完成以下问题

(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出积化和差与和差化积公式？

⑵两组公式有何特点？

[新和初探]

1.三角函数的积化和差

11,

cosacos”=a[cos(a+/0+cos(a—/0],

1,

sinasin)?=~-[cos(a+y7)-cos(a-fi)],

sinacos-[sin(a+//)+sin(a—/?)],

乙

1,

cosasin^="[sm(«+/?)—sin(a-j^)J.

[点睛1积化和差公式的结构特点

(1)同名函数积化为余弦函数的和差；异名函数积化为正弦函数的和差.

⑵角的顺序，“〃+夕”在前，“。一夕”在后.

2.三角函数的和差化积

sinx+siny=2sincos,

x+yx-y

sinx-sinv=Zcos—-sin—-,

,22

x+yx-y

cosx+cosy=2coscos,

x+yx-y

cosx-cosy=—2sinsin.

［点睛］和差化积公式的特点

(1)同名函数的和或差才可化积.

(2)余弦函数的和或差化为同名函数之积.

(3)正弦函数的和或差化为异名函数之积.

(4)等式左边为单角a和从等式右边为三”与中的形式.

(5)只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正.

1.下列等式错误的是()

A.sin(A++sin(A~B)=2sinAcosB

B.sin(A+B)—sin(A-B)=2cosAsinB

C.cos(A+B)+cos(A—B)=2cosAcosB

D.cos(A+B)—cos(A—B)=2cosAcosB

答案：D

2.sin37.5°cos7.5。等于()

g+l

2

g+15+g

4

答案：C

3.cos75°cos150=

1

答案：4

课堂讲练设计，举一能通类题

题型一"化简求值

［典例］化简：4sin(60°-〃)*in，・sin(600+0).

［解］原式=2sin例2sin(60°-〃)-sin(60°+。)］

=-2sin例cos1200-cos(-26>)］

=—2sin〃(一；-cos20

=sin。+2sin伊cos20

=sin0+(sin30—sinJ)=sin30.

国援㈣

用和差化积公式化简三角函数式时，若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数可

供化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他三角函数有公因式的两个三角函数进

行和差化积.

［活学活用］

求sin2700+cos240°—sin70°cos40。的值.

M一1-cos140°.1+cos80°,1

解：原式=---------+-----------sin70°cos40°=l+-(cos400+cos80°)-sin70°cos

40°=1+cos60°cos20°—^(sin110°+sin30°)=l+；cos20。一；cos20。-：=：.

三角恒等式证明

［典例］在△45C中，求证:sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.

24+2B2A—IB

［证明］左边=sin2A+sin2B+sin2C=2sin-cos"+sin2C

=2sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)

=2sinC［cos(A—B)—cos(A+B)］

(A-均+(A+为.

=2sin0(-2)sin-sm-

=4sinAsinBsinC=右边.

所以原等式成立.

三角恒等式的证明

(1)证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值.

(2)证明三角恒等式总体要求是：通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等,

论证过程要清晰、完整、推理严密.

(3)证明三角恒等式的基本思想是：化繁为简、左右归一、变更论证等.

[活学活用]

求证：cos2x+cos2(X+a)-2cos(zcosxcos(x+a)=sin2a.

〜CRL、乂1+cos2x,1+cos(2x+2d)

证明:左边=~~-2cosacosx*cos(x+a)

=l+~[cos2x+cos(2x+2a)]-2cosacosxcos(x+a)

2x+2x+2a2x—2x-2a

=1+cos-cos--cosa[cos(2x+a)+cosa]

=l+cos(2x+a)cosa-cosacos(2x+a)—cos2a

=1—cos2a=sin2"=右边，

・・・原等式成立.

能.课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

1.cos15°sin105°=()

AU+2B立-1

42

g

D『1

解析：选Acos15°sin1050=;[sin(15°+105°)-sin(15°-105°)]=;[sin1200-sin(-90°)]

2'

..^.cosa-cos3a,,.._、，

2化简sin3«—sina的结果为()

B.tan2a

Dtan2a

-2sin勿喧in(—a)

解析：选B原式=

2cos2a*sina

=tan2a.

3.函数./U)=2sinjinQ—的最大值等于()

A.2sin2"B.—2sin号

22

aa

C.2cos2.D.—2cos2~

22

_x

解析：选A/(x)=2sin-sin

=­[cosa-cos(x—a)]

=cos(x-a)-cosa.

当cos(x—a)=l时，

/'(x)取得最大值1—cosa=2sin2；.

4.将cos2*-sin2y化为积的形式，结果是()

A.—sin(x+j)sin(x-j)B.cos(x+j)cos(x-j)

C.sin(x+j)cos(x—j)D.—cos(x+j)sin(x—j)

L,1+cos2x1-cos2y

解析：选Bcos2x-sin2j="一"

1

="(cos2x+cos2y)

=cos(x+y)cos(x-y).

5.已知COS2Q—cos豺=/n,那么sin((z+/O・sin(a—切等于(

A.-mB.m

mm

C——

L22

解析：选AVcos2a—cos2/y=m,

:.sin(a+/?)*sin(a—/0=-geos2a—cos2/0

-(2cos2〃一1—2cos/+1)

=cos2//-cos2a=_zzi.

6.cos2a—cos3a化为积的形式为.

2a+3a2a-3a5a(<zA5aa

解析:cos2a-cos3Q=-2sin-sin-=-2sin-sinl-"l=2sin--sinz.

222\2/22

答案：2sinysin^

7.sing+J・cosg+a化为和差的结果是.

解析：原式=如府+a+p)+sin("一4)]

1,,1

=~cos(a+/0+；sin(a一4).

答案：；cos(a+/?)+；sin(a一0)

sin35。+sin25°

&cos35°+cos25°

35°+25°35°-25°

2sin-cos_

_______22______cos5°

解析:原式=

,35。+25°35。-25。=geos5°=3,

2cos-cos-

22

答案：y

9.求下列各式的值:

(l)sin54°-sin18°；

(2)cos1460+cos940+2cos47°cos73°.

解:(l)sin54°-sin18°=2cos36°sin18°

_2sin180cos18°cos3602sin36°cos36°

~2cos1802cos180

sin72°cos1801

-2cos18。-2cos18。-2'

(2)cos1460+cos940+2cos470cos73°

=2cos120°cos26°+2X^(cos1200+cos26°)

Xcos26°+G)+

=2Xcos26°

1

=­cos26°+cos26°=-

㈢+2,

'一1+cosa+cos2a+cos3a

，0-求证：2eo^+eos«-l

(1+cos2a)+(cosa+cos3(z)

证明：因为左边=

(2cos2a—l)+cosa

2cos2〃+2cos2acosa

cos2a+cosa

2cosa(cosQ+COS2a)

;;=2cosa=右边,

cosa+cos2a

所以原等式成立.

层级二应试能力达标

1.sin20°cos700+sin10°sin50°的值是()

15

A4BT

c-2DT

解析:选A原式=；[sin900+sin(-50°)]-|[cos600-cos(-40°)]=；-；sin500-^+1cos

1

40。=]

-+sin2+-

2.函数J=COS4u)Gn)1是(

A.最小正周期为27r的奇函数

B.最小正周期为27r的偶函数

C.最小正周期为n的奇函数

D.最小正周期为江的偶函数

l+cos(2x—l—cos(2x+7

解析：选c•.，=------------------

2

JcosQx—3一cos(2x+利

1

=­sin2xsin"sin2x,

此函数是最小正周期为it的奇函数.

3.已知cos（a+y?）cos（。一4）=；,贝！］cos?］一出口力的值为（）

2

A——

3

解析：选Dcos(a+//)cos(a—fl)=~(cos2a+cos2/?)=-[(2cos2a—1)+(1-2sin2/0]=cos2a

-sin2/?=^.

4.若A+3=w，则COS2A+COS2B的取值范围是()

A.0,；B.p1]

C「131A

-JD.[0,1]

解析：选CVA+B=y,：.B=~—A,

1+cos2A1+cos2B

:.cos2A+cos2B="+-

22

,1.

=1+-(cos2A+cosIB)

2n

=1+cos-cos(A-B)

5.函数y=sinG+；｝inQ+W）的最小正周期T=.

解析：

/(x)=sin(x+^IcosX

•27r

..T=—=7T.

2

答案：7T

6.cos400+cos600+cos800+cos160°=

解析：cos600+cos800+cos40。+cos160。=$+cos800+2cos100°cos60°=-+cos80。一

1

cos80°=­.

2

答案：I

7.已知/[X)=C0S2(X+〃)-2C0S"COSXCOS(X+，)+COS?，，求/(x)的最大值、最小值和最小

正周期.

解：•.•/(x)=cos2(x+〃)-2X；[cos(x+〃)+cos(x—〃)]cos(x+〃)+cos2〃

=COS2(x+6)-COS2(x+8)-COS(X-。)・cos(X+。)+COS2。

=cos20—；(cos20+cos2x)

1+cos2011

=--------TCOS20-"cos2x

222

1.1

=一二cos2x+-,

22

.♦./（X）的最大值为1,最小值为0,最小正周期为兀

反选做题I

8.已知△A8C的三个内角4,B,C满足：（1）4+C=2B；（2）—三十一二=一八&.求

cosAcosCcosB

A—C

cos——的值.

解：VA+C=2B,A+B+C=180°,

...8=60°,A+C=120°.

啦-2\l2,

cos60°

2©

cosAcosC

cosA+cosC=—2\[2cosAcosC.

由和差化积与积化和差公式，得

A+CA-Cr-

2cos~~-cos---=~\2[cos(A+C)+cos(A-G],

A-C(-(1A-C、

:.cos~y-=—\/2^--+Zcos2-y-1J.

r-A—CA—C厂

化简，得4\/2cos2—+2cos-3\/2=0,

/-A—C,

V2\/2cos——+3=5^0,

A—Ci-

:.2cos-—-\/2=0,

A-C

..cos2=—.

阶段质量捡测（三）三角恒等变换

（时间120分钟满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.函数y=2cos2：+l的最小正周期是（）

A.4nB.27r

C.n

解析：选2

BVj=2cos|+l=+2

=cosx+2,

・•・函数的最小正周期T=2n.

2.若tana=3,则鬻的值等于（

A.2B.3

C.4D.6

sinla2sinacosa

解析：选D\~~==2tanct=2X3=6.

co铲。cos，

3

3.已知a是第二象限角，且cosa=-g,则的值是（）

A®

B.

1010

7亚

D.

10

4

解析：选A由题意，sina=g

n.n\[1

所以coscos二cos(z+sin-sina=-

4410

的值域为（）

4.函数J(x)=sinx-cos!j+J

A.[-2,2]

c.[-1,1]』刈

nn

解析：选B/(x)=sinx—cosxcos~-sinxsiny

\66,

,5,1.

=sinx——cosx+二isnx

22

1)

=x~~cosxJ

=\Z5sinQ-J,

VxER,Ax-？ER,

6

.-./(x)eg].

g

5.设«=y(sin17°+cos17°),b=2cos213°-1,c=sin370-sin670+sin53°sin23°,则()

A.c<a<bB.b<c<a

C.a<b<cD.b<a<c

解析：选Aa=cos45°sin170+sin45°cos17°

=sin(17°+45°)=sin62°,

6=cos26°=sin64°,

c=sin37°cos230+cos37°sin23°=sin(370+23°)

=sin60°,

故c<a<b.

已知；则

6.cos0=,6*6(0,it),等于（）

4g7

A.，

9B-9

7

D

99

解析：选CVcos^=->0,6G(0,TT),

Asin0=yfl-co^0=

:.cos^^+24=cos[;r+g+2@]

=­cos^+2^=sin20=2sin伊cos0

2\[114g

=2X^-X-=—,选LC・

cos20°\/l—cos40°…、r

7-化简：一嬴不一的值为（）

C.gD.2

解析：选B依题意得

cos20。4一cos40°cosZOWZsi/ZO0

cos50°cos50°

gg

_Vsin2(Fcos20。_万3in40。_万加40。_亚

一cos50°-cos50°-sin40°-2・

44

8.已知sin(a-/?)cosa—cos(“一/?)sina=g,且/?是第三象限角，则cos^的值等于()

4

解析：选A由已知，得sin[(a—夕)-a]=sin(-/?)=g,

4

故sinp=

3

•・/在第三象限，Acos）?=--.

cos2a

cos2a

cos2a

10.在△ABC中，已知C,则△A3C的形状为（）

A.正三角形等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

A+BA+BA+BA+B

解析：选C在△ABC中，tan-^—=sinC=sin(A+B)=2sin--COS,:.2cos~2

7t

1,Acos（A+B）=0,从而4+8=5，即△A3。为直角三角形.

作（一看。则tan字

11.已知方程x12+4a*+3a+1=0(。>1)的两根为tana,tan0,且a.

的值为（）

B2

4

C3-2

解析：选A根据题意得tana+tan/?=-4a,tana'tan6=3。+1,；・tan(a+0=

tanc+tan0—4。4

1-tanatanp-3a3,

又•:a>\9Atana+tan//<0,tanatan/?>0,

Atana<0,tan/v0.

又昨(一今。；

：.a9眸0，

na+pa+fi

—T<_~—<0,:.tan<0

222

a+/?

2tan"

M得

由tan(a+y?)=

1-tan2

2

(z+2〃+夕

2tan2——+3tan———2=0,

22

a+p(

Atan-;—=-21tan

2V

12.已知0〈阵点Rl,4\/5）为角a的终边上一点，且sincosacos(~+/?

智,贝!I角片（）

7T7T

A•石B6

7T

c-D

43

解析：选DVP(l,4\/3),：.\OP\=1,

cosa

7

3\li3\fi

又sinacoscosasinP=~^^••sin(a-fl)=

nn

/0<fl<a<-9:.0<a—/?<-

13

・・cos(a-y?)=—,..sin/?=sin[a-(a-fl)]

=sinacos（a-^）—cosasin（a-//）

4河131355

=~xi4-7X-iT=T-

/J

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）

13.设向量a=g,sin",b=（cos0,；）,其中〃e4，：），若a〃儿贝！|〃=.

解析：若a〃5,则sin-cos伊=；,

即2sin0cos0—1,

Asin20=1,又1）,；•，=：•

答案U

-J-cosla

14.若tan'则FT

厂—2

解析：由tanQ+：）=1+tana\21cos2a=2sina=tan

=3+2应得tan«=T,--^T2sinacos««

出

2°

g

答案：y

_btan12°—3

15"(4cos2120-2)sin120-------------'

rsin12。_

融垢®Jf3cos12。3

解析：原式一2(2COS212。一l)sin12。

2\/3^sin12°—~~cos120)

cos1202x/jsin(-48。)

2cos24°sin12°2cos24°sin12°cos12°

-2\/5sin48°—2\/5siii48。

sin24°cos2401

Tsin48°

2

答案：一4\6

16.式子“cos（）（l+gtan10。）=1”,在括号里填上一个锐角，使得此式成立，则

所填锐角为.

,r1cos10°cos10°

解析：设cosa-(l+\/3tan10°)=1,则cosa=7==)==———

1+V3tan10°cos10o+\/3sin10°2sm40°

又a为锐角，故a=40°.

答案：40°

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

17.（本小题满分10分）已知且cos（«一手）=抵求cosa,sina的值.

解：因为」VaV（

o2

所以OVa一

63

因为

7：(n\n15\/3—8

cosy-sinla--lsin-=~.

6V6/634

JI4

18.(本小题满分12分)已知0<aq,sina=j

⑴求cos2(z+cos2a

(2)求tanQ一等)的值.

,.n4p3

解AT：(1)由Ovav?sin〃=g,得cos<z=g,

.sii^a+sin2asiiPcrh2sinacosa

…cos2a+cosla3cos2«-1

sina4

4

—一i

(5TT\tan以-131

tsnla.—，I=~~=7=二.

V4)1+tana.47

1+-

19.(本小题满分12分)设向量。=(\/5sinx,sinx),Z>=(cosx,sinx),0,

(1)若⑷=网,求x的值；

⑵设函数/(工)=。协，求/(X)的最大值.

解：⑴由|a|2=(\/5sinx)2+(sinx)2=4sin2x,

网2=(cosx)2+(sinx)2=l,

及\a\=\b\,得4sin2x=1.

又xc[o,7J,从而sinx=；,

所以x=?.

6