2024中考数学试题研究《妙用中点》 课件

初中数学皇冠上的明珠—妙用中点目CONTENTS录01/知识梳理02/典例分析03/建立模型04/灵活运用妙用“中点”初中数学皇冠上的明珠【学习目标】要求：默读并体会。1.对与中点有关的性质进行整理复习，梳理与中点有关的知识，形成较完整的知识体系.2.通过对典型例题的观察、分析、推理、论证提升解决这一类问题的能力，体会证明的方法与技巧.3.激发探索的乐趣，体会成功的喜悦.CBDBCDABCDABCDABCDEABCDAOCBDOBDOC知识梳理【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(1)依题意,补全图形,并证明:AQ=BP;(2)求∠QAP的度数;(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.典例分析【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.典例分析△ABC是等腰直角三角形Q旋转前后图形全等△QCP是等腰直角三角形共(直角)顶点的两等腰直角三角形共顶点的旋转型全等【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(1)依题意,补全图形,并证明:AQ=BP;典例分析Q共顶点的两等腰直角三角形旋转型全等

【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(2)求∠QAP的度数;典例分析Q连接QP，由（1）可得△PCQ是等腰直角三角形，∴∠CQP＝∠CPQ＝45°．∴∠CQA＋∠PQA＝45°．∵∠APB＝45°，∴∠APQ＝∠CPB．由△BCP≌△ACQ可得∠CQA＝∠CPB．∴∠APQ＋∠PQA＝45°．∴∠QAP＝135°．

【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.典例分析QN猜想：题目中好多45°角测量，估算

分析：

QP=2NP策略（选择）

倍长(类倍长）中线中位线基本图典例分析【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.QN实施：加倍延(倍长中线）辅助线：延长PN至点M，使得NM=PN,连接MA,MB∵N为线段AB的中点，∴AN＝BN．∴四边形MAPB是平行四边形∴MA=PB，MA//PB．∴∠MAP＋∠APB＝180°．∵∠APB＝45°，∴∠MAP＝135°．∵∠QAP＝135°，∴∠MAP＝∠QAP．∵AQ=PB，∴AQ=MA．∵AP＝AP，∴△MAP≌△QAP．∴MP＝QP．∴QP＝2NP

典例分析【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.QN实施：加倍延(倍长中线）辅助线：延长PN至点M，使得NM=PN,连接MA,MB基本图平行四边形“转边、转角”翻折型全等“转边、转角”

典例分析【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.QN实施：加倍延(倍长中线）辅助线：延长PN至点M，使得NM=PN,连接MA∵N为线段AB的中点，∴AN＝BN．∵∠ANM＝∠BNP，∴△ANM≌△BNP．∴∠MAN＝∠PBN，AM＝BP．∴AM∥BP，AM＝AQ．∴……(同上种方法）典例分析【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.QN实施：加倍延(倍长中线）辅助线：延长PN至点M，使得NM=PN,连接MA基本图中心对称全等“转边、转角”翻折型全等“转边、转角”

实施：加倍延(倍长中线）辅助线：②延长PN至点M，使得NM=PN,连接MA基本图①延长PN至点M，使得NM=PN,连接MA,MB③过点A作AM//PB,交PN延长线于点M,连接MB④过点B作BM//PA,交PN延长线于点M,连接MA⑤过点A作AM//PB,交PN延长线于点M⑥过点B作BM//PA,交PN延长线于点M作平行(类倍长中线）构造全等加倍延(倍长中线)SAS作平行AAS、ASA【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.典例分析QN猜想：题目中好多45°角测量，估算

分析：

QP=2NP策略（选择）

倍长(类倍长）中线中位线基本图典例分析【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.实施：加倍延(构造中位线)QN辅助线：延长BP至点M，使得PM=PB,连接MA∵N为线段AB的中点，∴AN＝BN．∴MA=2PN．∵∠MAP＋∠APB＝180°．∵∠APB＝45°，∴∠MAP＝135°．∵∠QAP＝135°，∴∠MAP＝∠QAP．∵AQ=PB，∴AQ=PM．∵AP＝AP，∴△MAP≌△QPA．∴MA＝QP．∴QP＝2NP……证明同上典例分析【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.QN实施：加倍延(构造中位线）辅助线：基本图延长BP至点M，使得PM=PB,连接MA三角形中位线“转边”翻折型全等“转边、转角”

典例分析【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.实施：加倍延(构造中位线)辅助线：延长AP至点M，使得PM=PA,连接MBQN∵N为线段AB的中点，∴AN＝BN．∴MB=2PN．∵∠MPB＋∠APB＝180°．∵∠APB＝45°，∴∠MPB＝135°．∵∠QAP＝135°，∴∠MPB＝∠QAP．∵AQ=PB，∵AP＝MP，∴△MPB≌△PAQ．∴MB＝QP．∴QP＝2NP……证明同上典例分析【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.QN实施：加倍延(构造中位线）辅助线：基本图延长AP至点M，使得PM=PA,连接MB三角形中位线“转边”全等“转边”

实施：辅助线：基本图①延长BP至点M，使得PM=PB,连接MA②延长AP至点M，使得PM=PA,连接MB加倍延(构造中位线）作平行(构造中位线）③过点A作AM//NP,交BP延长线于点M④过点B作BM//NP,交AP延长线于点M构造三角形中位线加倍延(构造中位线)作平行(构造中位线）典例分析【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.实施：取中点(构造中位线)辅助线：取AP中点M，连接MNQN则PA=2PM∵N为线段AB的中点，∴AN＝BN．∴PB=2MN,MN//PB．∵∠NMP＋∠APB＝180°．∵∠APB＝45°，∴∠NMP＝135°．∵∠QAP＝135°，

典例分析【北京西城2023.1期末T27】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.实施：取中点(构造中位线)辅助线：取BP中点M，连接MNQN则PB=2PM∵N为线段AB的中点，∴AN＝BN．∴PA=2MN,MN//PA．∵∠NMP＋∠APB＝180°．∵∠APB＝45°，∴∠NMP＝135°．∵∠QAP＝135°，

实施：辅助线：基本图取中点(构造中位线)①取AP中点M，连接MN②取BP中点M，连接MN作平行(构造中位线）③过点N作NM//PB,交PA于点M④过点N作NM//P