福建专用2025届高考数学一轮复习收官卷一含解析

Page172024届高考数学一轮复习收官卷（一）（福建版）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2024·福建·厦门一中模拟预料）已知集合，，，，则的元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】集合,,，，∴,∴的元素个数为．故选：．2．（2024·福建·上杭一中模拟预料）已知复数，则（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【详解】因为，所以，则，所以．故选：D．3．（2024·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）“”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，因为，所以是的必要不充分条件.故选：B.4．（2024·福建省厦门第六中学高三阶段练习）已知，则的值为（

）A． B．18 C． D．15【答案】A【详解】，代入可算得原式的值为.故选：A5．（2024·福建·厦门双十中学高一阶段练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形态可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：C.6．（2024·福建省福州格致中学高三阶段练习）已知函数的最小正周期为，其最小值为，且满意，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，其中.依题意；.所以，不妨设.所以，由，令，得，所以，，由于，所以.故选：C7．（2024·福建省永春第一中学高二期中）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事务“医生甲派往①村庄”；B表示事务“医生乙派往①村庄”；C表示事务“医生乙派往②村庄”，则（

）A．事务A与B相互独立 B．事务A与C相互独立C． D．【答案】D【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本领件，它们等可能，事务A含有的基本领件数为，则，同理，事务AB含有的基本领件数为，则，事务AC含有的基本领件数为，则，对于A，，即事务A与B相互不独立，A不正确；对于B，，即事务A与C相互不独立，B不正确；对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：D8．（2024·福建省福州第一中学高二期末）已知是自然对数的底数，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，因为，所以，即.设，则，当时，，当时，，所以，所以，当时等号成立，所以，所以.故选：D.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2024·福建三明·模拟预料）某人记录了某市2024年1月20日至29日的最低温度，分别为，，，，，，，，，（单位：℃），则关于该市这10天的日最低气温的说法中正确的是（

）A．众数为 B．中位数为C．平均最低气温为－4.8℃ D．极差为6【答案】AC【详解】解：依题意将数据从小到大排列为、、、、、、、、、，所以可得极差为，故D错误；众数为，故A正确；中位数为，故B错误；平均最低气温为℃，故C正确；故选：AC10．（2024·福建省宁化第一中学高一阶段练习）已知为的重心，，，则的可能取值为（

）A． B．1 C． D．【答案】CD【详解】如图，是的重心，记，则，，又，即，所以，当且仅当时等号成立，所以．即．只有CD满意．故选：CD．11．（2024·福建漳州·高二期末）已知动点P与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则下列结论正确的是（

）A．动点P的轨迹方程为B．C．直线与动点P的轨迹有两个公共点D．若，则的最小值为【答案】ABD【详解】设点，依题意，，化简整理得：，点P的轨迹是双曲线，左焦点，右焦点，实半轴长，所以动点P的轨迹方程为，A正确；F是右焦点，由双曲线的性质知，则当点P是右支的顶点时，取最小值，此时，B正确；由解得，即直线与动点P的轨迹只有一个公共点，C不正确；对于D，因F是右焦点，点M在双曲线右支的含焦点的一侧，要最小，点P必在双曲线右支上，由双曲线定义知，，当且仅当点P是线段与双曲线右支的交点时取“=”，即的最小值为，D正确.故选：ABD12．（2024·福建福州·高二期末）如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱A1D1、AA1的中点，G为面对角线B1C上一个动点，则（

）A．三棱锥的体积为定值B．线段B1C上存在点G，使平面EFG//平面BDC1C．当时，直线EG与BC1所成角的余弦值为D．三棱锥的外接球半径的最大值为【答案】ACD【详解】对A，，故A正确；对B，如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，，所以，令x=1，则.设，所以，若平面EFG//平面BDC1，则，故B错误；对C，设EG与BC1所成角为，此时，，所以.故C正确；对D，因为平面，且，所以依据球的性质简单推断，三棱锥的外接球球心在过线段EF的中点且垂直于平面的直线上，记球心为，由，易得,则外接球半径，而，则当时，，即.故D正确.故选：ACD.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，其次空3分．）13．（2024·福建省漳州第一中学高三阶段练习）若f（x）是R上的偶函数，且在（0，）上单调递减，则函数f（x）的解析式可以为f（x）=___________.（写出符合条件的一个即可）【答案】-（答案不唯一）【详解】若，则，故f（x）为偶函数，且易知f（x）在（0，+∞）上单调递减，故f（x）在（0，）上单调递减，符合条件.故答案为：.14．（2024·福建龙岩·高一期中）甲、乙两艘渔船从点A处同时出海去捕鱼，乙渔船往正东方向航行，速度为15公里每小时，甲渔船往北偏东30°方向航行，速度为20公里每小时，两小时后，甲渔船出现故障停在了B处，乙渔船接到消息后，立即从所在地C处开往B处进行救援，则乙渔船到达甲渔船所在位置至少须要______小时.（参考数据：取）【答案】2.4【详解】由题可知AB＝40，AC＝30，∠BAC＝60°由余弦定理，得，得，乙渔船到达甲渔船所在位置须要的时间为小时.故答案为：2.415．（2024·福建省福州第一中学高三阶段练习）已知随机变量X听从正态分布，，，则的最小值为____________．【答案】25【详解】解：随机变量听从正态分布，，由，得，又，，且，，则．当且仅当，即，时等号成立．的最小值为25．故答案为：25．16．（2024·福建泉州·高三开学考试）已知：若函数在上可导，，则.又英国数学家泰勒发觉了一个恒等式，则___________，___________.【答案】

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##【详解】解：因为，令，即，所以；又，所以，所以，所以所以故答案为：；四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17．（2024·福建省厦门集美中学高三阶段练习）如图所示，在平面四边形中，，设.(1)若，求的长；(2)当为何值时，△的面积取得最大值，并求出该最大值.【答案】(1)(2)，面积最大值为（1）在中，由余弦定理得，所以在,由正弦定理得，所以（2）由第(1)问知，在中，所以，所以,在,由正弦定理得，所以因为所以因为所以所以当即时，此时△的面积取得最大值为.18．（2024·福建省宁德第一中学高二阶段练习）在等比数列中，，公比，且，又4是与的等比中项．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前21项和．【答案】(1)(2)（1）解：因为，可得，即，又因为，所以，因为4是与的等比中项，所以，即与是方程的两个根，且，所以，即，解得，所以数列的通项公式为.（2）解：由，可得，则，则数列的前项和为，当时，，所以；当时，，所以.19．（2024·福建泉州·模拟预料）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众宠爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度℃关于时间的回来方程模型，通过试验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间改变的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图．73.53.85表中：(1)依据散点图推断，①与②哪一个更相宜作为该茶水温度y关于时间x的回来方程类型?（给出推断即可，不必说明理由）(2)依据（1）的推断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的回来方程：(3)已知该茶水温度降至60℃口感最佳，依据（2）中的回来方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约须要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?附：①对于一组数据，其回来直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：②参考数据：．【答案】(1)②(2)(3)7.5分钟【详解】（1）依据散点图推断，其改变趋势不是线性的，而是曲线的，因此，选②更相宜此散点的回来方程.（2）由有：，两边取自然对数得：，设，，，则化为：，又，，，，，回来方程为：，即.（3）当时，代入回来方程得：，化简得：，即，又，约化为：，即大约须要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感.20．（2024·福建省福州其次中学高二阶段练习）如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，.(1)证明：平面平面；(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角余弦值为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)（1）证明：取的中点，连接交于，连接，，因为是菱形，所以，且是的中点，所以且，又，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以，又因为，，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）∵，平面，∴平面，且，∴以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，设在棱上存在点使得平面与平面的夹角余弦值为，，，，，，，，0，，，，，，0，，，，则设，0，，，，，所以，，，，，，，设平面的一个法向量为，，，则，即，令，，得，，，设平面的一个法向量为，，，则，即，取，得，，，，解得，此时，∴，∴点到平面的距离.21．（2024·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知圆的方程为，设，，过点作直线，交圆于，两点，点，不在轴上.(1)若过点作与直线垂直的直线，交圆于，两点，记四边形的面积为，求的最大值；(2)若直线，相交于点，试探讨点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【答案】(1)最大值为7(2)是在定直线，定直线为（1）设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，①若，则直线斜率不存在，则，，则，②若，则直线得方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，则，，当且仅当，即时，取等号，综上所述，因为，所以的最大值为7；（2）设，，联立消得，则，，直线的方程为，直线的方程为，联立，解得，则，所以，所以点在定直线上.22．（2024·福建省福州高级中学高二期末）设函数.(1)若，求函数在点处的切