2025版新教材高中数学第四章概率与统计4.1条件概率与事件的独立性4.1.3独立性与条件概率的关系课时作业新人教B版选择性必修第二册

4．1.3独立性与条件概率的关系必备学问基础练进阶训练第一层1．(多选)已知P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(2,5)，P(D)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(2,5)，P(AC)＝eq\f(2,15)，P(BC)＝eq\f(2,5)，P(BD)＝eq\f(3,8)，则()A．事务A与事务C相互独立B．事务A与事务B相互独立C．事务B与事务C相互独立D．事务B与事务D相互独立2．如图，一个质地匀称的正八面体的八个面分别标以数字1到8，随意抛掷一次这个正八面体，视察它与地面接触的面上的数字，设该数字为x.若设事务A＝“x为奇数”，事务B＝“x为偶数”，事务C＝“x为3的倍数”，事务D＝“x≤3”，其中是相互独立事务的是()A．事务A与事务BB．事务B与事务CC．事务A与事务DD．事务C与事务D3．下列A，B为独立事务的是________(写出全部正确选项的序号).①投掷骰子一次，A：投出点数为3，B：投出点数为2；②投掷骰子两次，A：第一次投出点数为3，B：其次次投出点数为5；③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，A：第一张抽中7，B：其次张抽中7；④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，A：第一张抽中红桃，B：其次张抽中黑桃．4．从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数．(1)写出此试验的样本空间；(2)求组成的两位数是偶数的概率；(3)推断事务“组成的两位数是偶数”与事务“组成的两位数是3的倍数”是否独立，并说明理由．5．国家大力提倡高校生自主创业．小李高校毕业后在同一城市开了A，B两家小店，每家店各有2名员工．五一期间，假设每名员工请假的概率都是eq\f(1,2)，且是否请假互不影响．若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂1人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业．(1)求有员工被调剂的概率；(2)求至少有一家店停业的概率．6．在某校举办的元旦有奖学问问答中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关环保学问的问题，已知甲回答对这道题的概率是eq\f(3,4)，甲、丙两人都回答错的概率是eq\f(1,12)，乙、丙两人都回答对的概率是eq\f(1,4).(1)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人同时回答这道题时恰有一人答错该题的概率．关键实力综合练进阶训练其次层7．(多选)下列四个命题正确的为()A．抛掷两枚质地匀称的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为eq\f(1,6)B．新高考改革实行“3＋1＋2”模式，某同学须要从政治、地理、化学、生物四个学科中任选两科参与高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为eq\f(1,2)C．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是eq\f(1,3)，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为eq\f(1,3)D．设两个独立事务A和B都不发生的概率为eq\f(1,9)，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事务A发生的概率为eq\f(2,3)8．(多选)抛掷两枚质地匀称的骰子，设事务A＝“第一枚出现奇数点”，事务B＝“其次枚出现偶数点”，事务C＝“两枚骰子出现点数和为8”，事务D＝“两枚骰子出现点数和为9”，则()A．A与B互斥B．C与D互斥C．A与D独立D．B与C独立9．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，假如“第一次摸得白球”记为事务A，“其次次摸得白球”记为事务B，那么事务A与B，A与eq\o(B,\s\up6(－))间的关系是()A.A与B，A与eq\o(B,\s\up6(－))均相互独立B．A与B相互独立，A与eq\o(B,\s\up6(－))互斥C．A与B，A与eq\o(B,\s\up6(－))均互斥D．A与B互斥，A与eq\o(B,\s\up6(－))相互独立10．甲、乙两队进行篮球竞赛，实行五场三胜制(先胜三场者获胜，竞赛结束)，依据前期竞赛成果，甲队的主客场支配依次为“客客主主客”，设甲队主场取胜的概率为0.5，客场取胜的概率为0.4，且各场竞赛相互独立，则甲队在0∶1落后的状况下最终获胜的概率为()A．0.24B．0.25C．0.2D．0.311．2024年2月6日，中国女足在亚洲杯赛场上以3∶2逆转击败韩国女足，胜利夺冠．之前半决赛中，中国女足通过点球大战6∶5惊险战胜日本女足．假设罚点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方一直扑点球，而且即使方向推断正确也有eq\f(1,2)的可能性扑不到球，不考虑其它因素，在一次点球大战中，门将在第一次射门就扑出点球的概率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,9)D．eq\f(1,18)12．某学校组织数学学问竞赛．竞赛共分为两轮，每位参赛选手均须参与两轮竞赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为赢得竞赛．已知在第一轮竞赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为eq\f(3,5)，eq\f(3,4)，在其次轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(1,2).甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响．(1)从甲、乙两人中选取1人参与竞赛，派谁参赛赢得竞赛的概率更大？(2)若甲、乙两人均参与竞赛，求两人中至少有一人赢得竞赛的概率．核心素养升级练进阶训练第三层13．甲、乙、丙三人组成一个小组参与电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜其次首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动马上结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参与三轮活动．已知每一轮甲猜对唱名的概率是eq\f(3,4)，乙猜对唱名的概率是eq\f(2,3)，丙猜对唱名的概率是eq\f(1,2)，甲、乙、丙猜对与否互不影响．(1)求该小组未能进入其次轮的概率；(2)该小组能进入第三轮的概率；(3)乙猜歌曲的次数不小于2的概率．14．某场学问竞赛竞赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保学问的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是eq\f(3,4)，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是eq\f(1,12)，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是eq\f(1,4)，若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．4．1.3独立性与条件概率的关系必备学问基础练1．答案：AD解析：对于A：因为P(A)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(2,5)，P(AC)＝eq\f(2,15)，P(A)·P(C)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15).所以P(AC)＝P(A)·P(C)，所以事务A与事务C相互独立，故A正确；对于B：因为P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(2,5)，P(A)·P(B)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，所以P(AB)≠P(A)·P(B)，所以事务A与事务B并不相互独立，故B错误；对于C：因为P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(2,5)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(BC))＝eq\f(2,5)，P(B)·P(C)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,5)＝eq\f(3,10)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(BC))≠P(B)·P(C)，所以事务B与事务C并不相互独立，故C错误；对于D：因为P(B)＝eq\f(3,4)，P(D)＝eq\f(1,2)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(BD))＝eq\f(3,8)，P(B)·P(D)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)，所以P(BD)＝P(B)·P(D)，所以事务B与事务D相互独立，故D正确．故选AD.2．答案：B解析：由题意可得A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}，C＝{3，6}，D＝{1，2，3}，AB＝∅，BC＝{6}，AD＝{1，3}，CD＝{3}，由古典概型概率公式可得：P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(1,4)，P(D)＝eq\f(3,8)，P(AB)＝0，P(BC)＝eq\f(1,8)，P(AD)＝eq\f(1,4)，P(CD)＝eq\f(1,8)，所以P(AB)≠P(A)P(B)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(AD)≠P(A)P(D)，P(CD)≠P(C)P(D)，故ACD错误，B正确．故选B.3．答案：②④解析：①投掷骰子一次，A：投出点数为3，B：投出点数为2，则P(A)＝eq\f(1,6)，P(B)＝eq\f(1,6)，P(AB)＝0，则P(AB)≠P(A)P(B)，则A，B不为独立事务；②投掷骰子两次，A：第一次投出点数为3，B：其次次投出点数为5，则P(A)＝eq\f(1,6)，P(B)＝eq\f(1,6)，P(AB)＝eq\f(1,36)，则P(AB)＝P(A)P(B)，则A，B为独立事务；③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，A：第一张抽中7，B：其次张抽中7；则P(A)＝eq\f(4,52)＝eq\f(1,13)，P(B)＝eq\f(51×4,52×51)＝eq\f(1,13)，P(AB)＝eq\f(4×3,52×51)＝eq\f(1,221)，则P(AB)≠P(A)P(B)，则A，B不为独立事务；④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，A：第一张抽中红桃，B：其次张抽中黑桃．则P(A)＝eq\f(13,52)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(13,52)＝eq\f(1,4)，P(AB)＝eq\f(13×13,52×52)＝eq\f(1,16)，则P(AB)＝P(A)P(B)，则A，B为独立事务．4．解析：(1)从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数，则此试验的样本空间为{12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54}．(2)组成的两位数是偶数的共有8种状况，样本空间共有20种状况，则组成的两位数是偶数的概率为eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).(3)组成的两位数是3的倍数的共有8种状况，样本空间共有20种状况，则组成的两位数是3的倍数的概率为eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，组成的两位数是偶数且为3的倍数共有4种状况，样本空间共有20种状况，则组成的两位数是偶数且为3的倍数的概率为eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).记“组成的两位数是偶数”为事务A;记“组成的两位数是3的倍数”为事务B，则“组成的两位数是偶数且为3的倍数”为事务AB，则P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(1,5).由eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,25)≠eq\f(1,5)，可得P(A)·P(B)≠P(AB)，则事务“组成的两位数是偶数”与事务“组成的两位数是3的倍数”不相互独立．5．解析：(1)记事务Ai＝“A家小店有i名员工请假”，Bi＝“B家小店有i名员工请假”，其中i＝0，1，2，由题设知，事务Ai，Bi相互独立，且P(A0)＝P(B0)＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4)，P(A1)＝P(B1)＝2·(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,2)，P(A2)＝P(B2)＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4)，记事务C＝“有员工被调剂”，则C＝A0B2＋A2B0，且A0B2，A2B0互斥，所以P(C)＝P(A0B2＋A2B0)＝P(A0)P(B2)＋P(A2)P(B0)＝2×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,8)，故有员工被调剂的概率为eq\f(1,8).(2)记事务D＝“至少有1家店停业”，则D＝A2B1＋A1B2＋A2B2，且A2B1，A1B2，A2B2互斥，所以P(D)＝P(A2B1＋A1B2＋A2B2)＝P(A2B1)＋P(A1B2)＋P(A2B2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16)，故至少有一家店停业的概率为eq\f(5,16).6．解析：(1)设A为“甲回答对这道题”，B为“乙回答对这道题”，C为“丙回答对这道题”，则P(A)＝eq\f(3,4)，而P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,12)，故[1－P(A)][1－P(C)]＝eq\f(1,12)，故P(C)＝eq\f(2,3)，又P(BC)＝P(B)P(C)＝eq\f(1,4)，故P(B)＝eq\f(3,8).故乙回答对这道题的概率为eq\f(3,8)，丙回答对这道题的概率为eq\f(2,3).(2)“甲、乙、丙三人同时回答这道题时恰有一人答错该题”可表示为ABeq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))BC＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C，而P(ABeq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))BC＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(3,4)×eq\f(3,8)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(3,8)×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(5,8)×eq\f(2,3)＝eq\f(15,32).关键实力综合练7．答案：ABD解析：对于A：抛掷两枚质地匀称的骰子，总的基本领件数为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种，其中向上点数之和不小于10的有，(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6种，则向上点数之和不小于10的概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，故A正确；对于B：某同学须要从政治、地理、化学、生物四个学科中任选两科参与高考有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6种，选出的两科中含有政治学科的有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝3种，则选出的两科中含有政治学科的概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故B正确；对于C：该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，则前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所以该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为(1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27)，故C错误；对于D：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－P（A））（1－P（B））＝\f(1,9),P（A）（1－P（B））＝P（B）（1－P（A））))，解得P(A)＝P(B)＝eq\f(2,3)，故D正确．故选ABD.8．答案：BC解析：对于A，记(x，y)表示事务“第一枚点数为x，其次枚点数为y”，则事务A包含事务(1，2)，事务B也包含事务(1，2)，所以A∩B≠∅，故A与B不互斥，故A错误；对于B，事务C包含的基本领件有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)共5件，事务D包含的基本领件有(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)共4件，故C∩D＝∅，即C与D互斥，故B正确；对于C，总的基本领件有6×6＝36件，事务A的基本领件有3×6＝18件，故P(A)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2)，由选项B知P(D)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9)，而事务AD包含的基本领件有(3，6)，(5，4)共2件，故P(AD)＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18)，所以P(AD)＝P(A)P(D)，故A与D独立，故C正确；对于D，事务B的基本领件有6×3＝18件，故P(B)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2)，由选项B知P(C)＝eq\f(5,36)，而事务BC包含的基本领件有(2，6)，(4，4)，(6，2)共3件，故P(BC)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，所以P(B)P(C)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,36)＝eq\f(5,72)≠eq\f(1,12)＝P(BC)，故B与C不独立，故D错误．故选BC.9．答案：A解析：由于是有放回地摸球，事务A的发生并不影响事务B的发生，故A与B，A与eq\o(B,\s\up6(－))均相互独立．故选A.10．答案：A解析：由题意可知，甲队在第一场竞赛输了，若甲队在0∶1落后的状况下最终获胜，分以下几种状况探讨：①甲队在其次、三、四场竞赛都获胜，概率为P1＝0.4×0.52＝0.1；②甲队在其次场竞赛输了，在第三、四、五场竞赛获胜，概率为P2＝0.6×0.52×0.4＝0.06；③甲队在其次、四、五场竞赛获胜，在第三场竞赛输了，概率为P3＝0.4×0.52×0.4＝0.04；④甲队在其次、三、五场竞赛获胜，在第四场竞赛输了，概率为P4＝0.4×0.52×0.4＝0.04.综上所述，所求概率为0.1＋0.06＋0.04×2＝0.24.故选A.11．答案：B解析：由题意可得门将在第一次射门就扑出点球的概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).故选B.12．解析：(1)设事务A1表示“甲在第一轮竞赛中胜出”，事务A2表示“甲在其次轮竞赛中胜出”，事务B1表示“乙在第一轮竞赛中胜出”，事务B2表示“乙在其次轮竞赛中胜出”，则A1A2表示“甲赢得竞赛”，P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,5)，B1B2表示“乙赢得竞赛”，P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)，∵eq\f(2,5)>eq\f(3,8)，∴派甲参赛赢得竞赛的概率更大．(2)设C表示“甲赢得竞赛”，D表示“乙赢得竞赛”，由(1)知P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－P(A1A2)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝1－P(B1B2)＝1－eq\f(3,8)＝eq\f(5,8)，∴C∪D表示“两人中至少有一个赢得竞赛”，∴P(C∪D)＝1－P(eq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝1－eq\f(3,5)×eq\f(5,8)＝eq\f(5,8)，所以两人至少一人赢得竞赛的概率为eq\f(5,8).核心素养升级练13．解析：(1)设该小组未能进入其次轮为事务A，则P(A)＝1－eq\f(3,4)×e