2024-2025学年高考数学一轮复习解题技巧方法第一章第11节原函数构造与“大同小异”教师版

原函数构造与“大同小异”学问与方法1.本节主要解决导函数不等式问题，题干通常会给出一个与有关的不等式，让我们求解一个与有关的不等式.这类题平常考试很常见，但真题考得不算多.解题的常规方法有构造法和特例法两种，常见的构造归纳如下：已知的不等式中所含结构构造函数的方向，，，，，，，，提示：中学并没有系统性地学习不定积分，高考对求导逆运算（构造原函数）的要求并不高，不须要钻研一些特殊困难的构造，驾驭常见的几种构造形式即可.2.导函数不等式问题除了有上述常规方法外，有时也可以采纳“大同小异”的方法取巧举个例子，假设题干给出，让我们求解不等式，则可以按以下步骤操作：（1）第一步，在这个已知条件中，在保证的系数为正的条件下（若为负，可先移项使其为正)，不等号是“>”，则“大同”；（2）其次步，干脆将后面的干脆丢掉，变成；（3）第三步，依据第一步得出的“大同”，将其变成；（4）第四步，解不等式得出即为本题答案.提示：①若在上述例子中，将已知条件由改为，则属于“小异”的状况，那么在处理不等式的时候，应当将其变成，从而解得结果.须要留意的是这一解题过程并不严密，属于阅历方法，不保证结果肯定正确，在考试时若想不到如何构造原函数，或者没有时间具体思索了，可以考虑这样做.至于为什么这样做大多数状况下都是对的，去看看本节的视频吧；②若让我们求解的与有关的不等式中只有1个函数值，那么题干的条件中通常会给出另一个函数值，此时干脆利用另一个已知的函数凑成函数值不等式即可；③若给出为奇函数，则不等式和的解集具有“相反拼接性”，若给出为偶函数，则不等式和的解集具有“原点对称性”，如下图所示. 典型例题【例1】函数的定义域为R，若，则不等式的解集为________.【解析】解法1：设，则，所以在R上，而，所以，从而，解得：.解法2：设，不难发觉，满意题干全部条件，代入可得，整理得：，解得：.解法3（大同小异法）：第一步，，属于“小异”的情形；其次步，将中的扔掉变成；第三步，依据第一步得出的“小异”，将再变成；第四步，解上面的不等式得出.【答案】变式1函数的定义域为R，若，且，则不等式的解集为________.【解析】解法1：设，则，所以在R上，，从而，所以，故，解得：.解法2：设，不难发觉，满意题干全部条件，代入可得，整理得，解得：.解法3（大同小异法）：第一步，，属于“小异”的情形；其次步，结合题干的将干脆变成；第三步，依据第一步得出的“小异”，将再变成；第四步，解上面的不等式得出.【答案】变式2函数的定义域为，且恒成立，则不等式的解集为________.【解析】解法l：设，则由题意，，所以在上，而，所以，从而，再考虑定义域的要求，应有，所以，从而.解法2：设，不难验证满意题干全部条件，代入可得，解得：，再考虑定义域的要求，应有，所以，从而.解法3（大同小异法）：第一步，，因为，所以，从而本题属于“大同”的情形；其次步，将变形成，留意到，所以将其变形成；第三步，依据第一步得出的“大同”，将变成；第四步，解上面的不等式可得；再考虑定义域的要求，应有，所以，从而.【答案】【反思】①在运用大同小异法时，若所给的含有的不等式中，的系数为负，则须要先将其变成正的，再来看是“大同”还是“小异”；②在要求解的不等式中，也要保证两个函数的系数为正，若都为负，则化为函数值的大小时不等号要反向.【例2】定义在R上的偶函数满意当时，，且，则不等式的解集为________.【解析】解法1：设，则也是偶函数，，且与同号，当时，，所以在上，从而函数的草图如图，故或或.解法2：当时，可设，简洁验证满意题干条件，此时，，解得：，当时，，由偶函数的对称性知，故原不等式的解集为.解法3（大同小异法）：先考虑的情形，第一步，，属于“大同”的情形；其次步，结合题干的可干脆变成；第三步，进而依据第一步得出的“大同”将其变成，据此结合为偶函数可得的大致图象如图；再考虑的情形，此时，，由图可知，，综上所述，不等式的解集为.【答案】变式定义在R上的函数满意当时，，则（）A. B. C. D.【解析】解法1：令，则，因为当时，，所以，从而在上，故，所以，从而，故选A.解法2：设，简洁验证满意题干条件，，故选A.【答案】A【例3】定义在R上的奇函数满意当时，，且，则使成立的x的取值范围为________.【解析】解法1：设，则，由题意，当时，，所以，从而在上，为奇函数为偶函数，故在上，又，所以函数的草图如图所示，当时，；当时，，所以使成立的x的取值范围为.解法2：当时，设，简洁验证满意题干条件，，由奇函数的对称性知当时，，所以使成立的x的取值范围为.解法3（大同小异法）：先考虑的情形，，属于“大同”的情形；其次步，结合将变成；第三步，依据第一步的“大同”，将变成，所以；再考虑的情形，因为为奇函数，由奇函数的“相反拼接性”可得，所以使成立的x的取值范围为.【答案】变式定义在上的函数满意，则（）A. B.C. D.【解析】解法1：设，则，从而是上的增函数，所以，即，从而，故选A.解法2：设，简洁验证满意，代入选项知选A.【答案】A【例4】函数满意，，且，则不等式的解集为________.【解析】解法1：设，则，所以在R上，且，从而解法2：设，简洁验证满意题干条件，代入可得，所以.解法3（大同小异法）：第一步，，属于“大同”的情形；其次步，结合题干的，将变形成；第三步，依据第一步的“大同”将再变形成；第四步，解上面的不等式得出.【答案】变式函数满意对随意的，都有，则（）A. B. C. D. 【解析】解法1：，设，则，所以在R上，从而，故，化简得：，故选B.解法2：设，简洁验证满意题干全部条件，此时，，故选B.【答案】B【例5】定义在上的函数满意恒成立，且，则不等式.的解集为________.【解析】解法1：，设，则，故在上，留意到，所，从而，故.解法2：设，简洁验证满意题干全部条件，代入可得，因为，所以，从而，故·解法3（大同小异法）：第一步，，且当时，，属于“大同”的情形；其次步，依据已知的，将干脆变形成；第三步，依据第一步的“大同”将变成，结合可得.【答案】变式定义在上的函数满意恒成立，则（）A. B.C. D.【解析】解法1：设，则，因为，所以，从而在上，所以，从而，化简得：.解法2：设，简洁验证满意题干全部条件，代入选项知选A.【答案】A强化训练1.（★★★）设是的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（）A. B. C. D.【解析】解法1：设，则由题意，，所以在R上，且，所以解法2：设，则，，满意题干全部条件，此时即为，也即，结合可解得：.解法3（大同小异法）：第一步，，属于“大同”的情形；其次步，结合将变成；第三步，依据第一步的“大同”将变成；第四步，解上面的不等式得出.【答案】C2.（★★★）设是的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为________.【解析】解法1：设，则在R上，，所以.解法2：设，简洁验证满意题干全部条件，此时，.解法3（大同小异法）：第一步，，属于“大同”的情形；其次步，结合将变形成，第三步，依据第一步的“大同”将变成；第四步，解上面的不等式得出.【答案】3.（2015·新课标Ⅱ卷·★★★★）设是定义在R上的奇函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】解法1：令，为奇函数为偶函数，且，当时，在上，由对称性知在上，结合可作出的草图如图1，下面据此求解不等式，当时，，由图可知，，当时，，由图可知，，综上所述，使得成立的x的取值范围是.解法2：当时，可取，简洁验证满意题意，结合为奇函数可作出其草图如图2，由图可知，使得成立的x的取值范围是.解法3（大同小异法）：先考虑的情形，第一步，，属于“小异”的情形；其次步，为奇函数且，可据此将变形成；第三步，依据第一步的“小异”将变成，所以；由奇函数“相反拼接性”可得当时，不等式的解为，从而使得成立的x的取值范围是.【答案】A【反思】这道题是2015年新课标Ⅱ卷理科选择题第12题，即使是选择压轴题，所考查的也就是简洁结构的原函数构造，由此可见高考对构造原函数的要求不高，在复习时我们以驾驭一些常见的构造为主.4.（★★★★）设是定义在R上的奇函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是________.【解析】解法1：设，则为偶函数，且，由题意，当时，，所以，故在上，由偶函数的对称性知在上，又，所以函数的草图如图，由图可知，当时，；当时，，综上所述，使得成立的x的取值范围是.解法2（大同小异法）：先考虑的情形，第一步，，属于“小异”的情形；其次步，为奇函数且，可据此将变形成；第三步，依据第一步的“小异”将变成，所以；由奇函数“相反拼接性”可得当时不等式的解为，从而使得成立的x的取值范围是.【答案】5.（★★★）定义在R上的函数的导函数为，满意当时，，且，则不等式的解集为________.【解析】解法1：设，则当时，在R上，又，所以，故.解法2：设，简洁验证满意题干全部条件，此时，.解法3（大同小异法）：第一步，，属于“大同”的情形；其次步，依据将干脆变形成；第三步，依据第一步的“大同”将变成；第四步，解上面的不等式可得.【答案】6.（★★★）定义在上的函数的导函数为，满意，且，则不等式的解集为________.【解析】解法1：设，则由题意，，所以在上，又，所以，从而.解法2：设，简洁验证满意题干全部条件，此时，.解法3（大同小异法）：第一步，，属于“大同”的情形；其次步，依据将变形成；第三步，依据第一步的“大同”将变成；所以不等式的解集为.【答案】7.（★★★）定义在R上的函数满意，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【解析】解法1：设，则，所以在R上，又，所以，从而.解法2：设，简洁验证满意题干全部条件，此时即为，解得：.解法3（大同小异法）：第一步，，属于“大同”的情形；其次步，依据将变形成；第三步，依据第一步的“大同”将变成，故选A.【答案】A8.（★★★）定义在上的函数满意，且，则不等式的解集为________.【解析】解法1：设，则由题意，，所以在上，又，所以，从而，故，解得：，所以不等式的解集为.解法2：设，简洁验证满意题干全部条件，代入可