第二章-测量误差和测量结果处理(完整版)(传感器)

第二章测量误差和测量结果处理2.1误差2.2测量误差的来源2.3误差的分类2.4随机误差分析2.5系统误差分析2.6系统误差的合成2.7测量数据的处理

2.1误差测量：是以确定被测对象的量值为目标而进行的一组操作。是把未知量与已知标准量进行比对的过程。

只要有测量就必然存在误差。

误差存在原因：（1）检测系统(仪表)不可能绝对精确；（2）测量原理的局限；（3）测量方法的不尽完善；（4）环境因素和外界干扰的存在；（5）测量过程可能会影响被测对象的原有状态等使得测量结果不能准确地反映被测量的真值而存在一定的偏差，这个偏差就是测量误差。一、误差1．真值A0

一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值称作它的真值。电流单位安培，简称安，符号是:A.它的定义是：1安培是一恒定电流，若保持在处于真空中相距1米的两无限长，而圆截面可忽略的平行直导线内，则两导线之间产生的力在每米长度上等于2×10-7牛顿。

真值A0纯理论的物理量的真值实际上是无法测得的。

2．指定值As

（约定真值）

由于绝对真值是不可知的，所以一般由国家设立各种尽可能维持不变的实物标准(或基准)，以法令的形式指定其所体现的量值作为计量单位的指定值。指定值也叫约定真值，一般就用来代替真值，其值被公认为国际或国家基准。国际单位制的长度单位“米”(meter,metre)起源于法国。1790年5月由法国科学家组成的特别委员会，建议以通过巴黎的地球子午线全长的四千万分之一作为长度单位──米，1791年获法国国会批准。为了制造出表征米的量值的基准器，在法国天文学家捷梁布尔和密伸的领导下，于1792～1799年，对法国敦克尔克至西班牙的巴塞罗那进行了测量。1799年根据测量结果制成一根3．5毫米×25毫米短形截面的铂杆(platinummetrebar)，以此杆两端之间的距离定为1米，并交法国档案局保管，所以也称为“档案米”。这就是最早的米定义。

3．实际值A（相对真值）

由于无法直接和国家标准比对，在量值传递中，高一级标准所体现的值当作准确无误的值，即实际值，亦称相对真值。在实际测量中代替真值。如果更高一级测量仪器的误差为本级测量仪器误差1/3-1/10，就可以认为前者是后者的相对真值。

4．标称值计量或测量器具上标定的数值称为标称值（测量工具定度的精度）。由于制造和测量精度不够以及环境等因素的影响，标称值并不一定等于它的真值或实际值。为此，在标出测量器具的标称值时，通常还要标出它的误差范围或准确度等级。(如游标卡尺、螺旋测微器)5．示值（测量值或读数）由测量器具或检测仪器（或系统）指示或显示的被测参量的数值叫示值，也叫测量值或读数，它包括数值和单位。一般地说，示值与测量仪表的读数有区别，读数是仪器刻度盘上直接读到的数字。对于数字显示仪表，通常示值与读数是统一的。6．测量误差测得值与被测量真值之间的差值。在实际测量中，由于测量器具不准确、测量手段不完善、环境影响、各种人为因素等，都会导致测量结果与被测量真值不同。所以，人们只能根据需要和可能，将误差限制在一定范围内而不可能完全加以消除。

沃纳·卡尔·海森堡：德国物理学家（1901—1976）。海森堡于1927年提出“不确定性”，阐明了我们科学度量的能力在理论上存在的某些局限性，如果一个科学家用物理学基本定律甚至在最理想的情况下也不能获得有关他正在研究的体系的准确知识，那么就显然表明该体系的将来行为是不能完全预测出来的。根据测不准原理，不管对测量仪器做出何种改进都不可能会使我们克服这个困难！对某些成对的物理变量，例如位置和动量，永远是互相影响的。虽然都可以测量，但不可能同时得出精确值。

“不确定性”适用于一切宏观和微观现象，但它的有效性通常只限于微观物理学。由于在取得整个科学史上的最重要的成就之──量子力学的创立中所起的作用1932年获诺贝尔物理学奖。著有《量子论的物理原理》、《原子核物理学》等。

测不准原理（Uncertaintyprinciple），又称“不确定性原理”、“不确定关系”，是量子力学的一个基本原，本身为傅立叶变换导出的基本关系。该原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共轭量的误差（标准差）的乘积必然大于常数h/2π（h是普朗克常数）,是海森堡在1927年首先提出的，它反映了微观粒子运动的基本规律——以共轭量为自变量的概率幅函数（波函数）构成傅立叶变换对；以及量子力学的基本关系（E=h/2π*ω，p=h/2π*k），是物理学中又一条重要原理。研究误差的目的在于：1、正确认识误差产生的原因和性质，以减小测量误差。2、正确处理测量数据，得到接近真值的结果。3、合理地制定测量方案，组织科学实验，正确地选择测量方法和测量仪器，在条件允许的情况下得到理想的测量结果。4、在设计仪器时，由于理论不完善，如采用近似公式、忽略微小因素的作用等，从而导致仪器原理设计误差，它必然影响测量的准确性。因此在设计时，必须要用误差理论进行分析并适当控制这些误差因素，使仪器的测量准确度达到设计要求。7．单次测量和多次测量单次(一次)测量是用测量仪器对待测量进行一次测量的过程。在测量精度要求不高的场合，可以进行单次测量。单次测量不能反映测量结果的精密度，一般只能给出一个量的大致概念和规律。多次测量是用测量仪器对同一被测量进行多次重复测量的过程。依靠多次测量可以观察测量结果一致性的好坏即精密度。通常要求较高的精密测量都须进行多次测量，如仪表的比对、校准等。8.精度测量仪器的读数或测量结果与被测量真值相一致的程度。

精度高，表明误差小；精度低，表明误差大。因此，精度不仅用来评价测量仪器的性能，也是评定测量结果最主要最基本的指标。

精度又可用精密度、正确度和准确度三个指标加以表征。

(1)精密度精密度说明仪表指示值的分散性，表示在同一测量条件下对同一被测量进行多次测量时，得到的测量结果的分散程度。

它反映了随机误差的影响。精密度高意味着随机误差小，测量结果的重复性好。比如某电压表的精密度为0.1V，即表示用它对同一电压进行测量时，得到的各次测量值的分散程度在-0.1V~0.1V之间。

(2)正确度

正确度说明仪表指示值与真值的接近程度。所谓真值是指待测量在特定状态下所具有的真实值的大小。正确度反映了系统误差的影响。正确度高则说明系统误差小，比如某电压表的正确度是0.1V，则表明用该电压表测量电压时的指示值与真值之差不大于0.1V。

(3)准确度()

准确度是精密度和正确度的综合反映。准确度高，说明精密度和正确度都高，也就意味着系统误差和随机误差都小，因而最终测量结果的可信赖度也高。

在具体的测量实践中，可能会有这样的情况：正确度较高而精密度较低，或者情况相反，相当精密但欠正确。当然理想的情况是既正确，又精密，即测量结果准确度高。要获得理想的结果，应满足三个方面的条件：即性能优良的测量仪器、正确的测量方法和正确细心的测量操作。为了加深对精密度、正确度和准确度三个概念的理解，可以以射击打靶为例加以比喻。

用射击比喻测量以靶心比作被测量真值，以靶上的弹着点表示测量结果。其中图(a)弹着点分散而偏斜，对应测量中既不精密，也不正确，即准确度很低。图(b)弹着点仍较分散，但总体而言大致都围绕靶心，属于正确而欠精密。图(c)弹着点密集但明显偏向一方，属于精密度高而正确度差。图(d)弹着点相互很接近且都围绕靶心，属于既精密又正确因而准确度很高的情况。

二、误差的表示方法

1．绝对误差绝对误差定义为

式中△x为绝对误差，x为测得值，A0为被测量真值。前面已提到，真值A0一般无法得到，所以用指定值（约定真值）代替A0

，

也可用由高精度标准器所测得的实际值（相对真值）代替。因而绝对误差更有实际意义的定义是

对于绝对误差，应注意下面几个特点：

①绝对误差是有单位的量，其单位与测得值和实际值量纲相同。②绝对误差是有符号的量，其符号表示出测量值与实际值的大小关系，若测得值较实际值大，则绝对误差为正值，反之为负值。 ③绝对误差体现了测得值与被测量实际值间的偏离程度和方向。

④对于信号源、稳压电源等供给量仪器，绝对误差定义为

式中A为实际值，x为供给量的指示值(标称值)。与绝对误差绝对值相等但符号相反的值称为修正值，一般用符号c表示

测量仪器的修正值，可通过检定，由上一级标准给出，它可以是表格、曲线或函数表达式等形式。利用修正值和仪器示值，可得到被测量的实际值注：

1、前提条件：随机误差已被低偿或忽略随机误差对测量结果产生影响。

2、上式表明：可以修正系统误差对测量结果产生的影响。

例如由某电流表测得的电流示值为0.83mA，查该电流表检定证书，得知该电流表在0.8mA及其附近的修正值为－0.02mA，那么被测电流的实际值为在自动测量仪器中，修正值还可以先编成程序储存在仪器中，测量时仪器可以对测量结果自动进行修正。

绝对误差与被测量的真值之比，称为相对误差(或称为相对真误差)，用γ表示为

γ=

×100％

相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小和符号，没有单位。一般来说相对误差值越小，其测量精度就越高。

（1）相对真误差2、相对误差

(2)实际相对误差实际相对误差定义为

(3)示值相对误差示值相对误差也叫标称相对误差，定义为

如果测量误差不大，可用示值相对误差代替实际相对误差，但若相差较大，两者应加以区别。

(4)满度相对误差

在连续刻度的仪表中，用相对误差来表示整个量程内仪表的准确程度就有些不便。因为使用这种仪表时，在某一测量量程内，随着被测量的不同，求得的相对误差也将随着改变。满度相对误差定义为仪器量程内最大绝对误差

与测量仪器满度值(量程上限值)的百分比值

满度相对误差也叫作满度误差和引用误差。通过满度误差实际上给出了仪表各量程内绝对误差的最大值

我国常用电工仪表的准确度等级（精度等级

）S就是按满度误差分级的，分为：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5和5.0七级。若某仪表的准确度等级为S，它的满度相对误差不会超过S%，即

仪表精度等级的数字愈小，仪表的精度愈高。如0.5级的仪表精度优于1.0级仪表，而劣于0.2级仪表。

值得注意的是：精度等级高低仅说明该检测仪表的满度误差最大值的大小，它决不意味着该仪表某次实际测量中出现的具体误差值是多少。检测仪器（系统）精度等级的确定按选大不选小的原则套用标准化精度等级值。[例1]量程为0～1000V的数字电压表，如果其整个量程中最大绝对误差为1.05V，则有

由于0.105不是标准化精度等级值，因此该仪器需要就近套用标准化精度等级值。0.105位于0.1级和0.2级之间，尽管该值与0.1更为接近，但按选大不选小的原则该数字电压表的精度等级G应为0.2级。

[例2]某仪表的精度等级是S，它的满度值为Xm,被测量的实际值为A,求（1）测量的绝对误差（2）测量的实际相对误差[例3]某电压表s＝1.5，试算出它在0V～100V量程中的最大绝对误差。解：在0V～l00V量程内上限值xm＝100V，得到

一般讲，测量仪器在同一量程不同示值处的绝对误差实际上未必处处相等，但对使用者来讲，在没有修正值可资利用的情况下，只能按最坏情况处理，即认为仪器在同一量程各处的绝对误差是个常数且等于△xm，这种处理叫作误差的整量化。给出了仪表的等级精度和满度值，实质上给出了绝对误差测量中所用仪表的准确度不等于测量结果的准确度，只有在示值等于满度值时才相等，否则测量值的准确度数值低于仪表准确度等级的一般情况下，对于线性刻度类仪器，选择量程时应使指针尽可能接近满度值，可以减小测量中的实际相对误差，最好能工作在（2／3——1）的满度值范围内。1.结构螺旋弹簧IINS指针永久磁铁圆柱形铁心O'O线圈(1)固定部分马蹄形永久磁铁、极掌N、S极、圆柱形铁心、表盘等。(2)可动部分铝框及线圈，两根半轴O和O

，螺旋弹簧及指针。

极掌与铁心之间的空气隙的长度是均匀的，其中产生均匀的辐射方向的磁场。磁电式仪表结构2.工作原理(1)转动力矩T的产生(2)反作用力矩TC的产生

在线圈和指针转动时，螺旋弹簧被扭紧而产生反作用力矩TC。

线圈受到的转矩T=k1IFSNF

线圈通入电流

电磁力

F

线圈受到转矩T

线圈和指针转动，

弹簧的TC与指针的偏转角

成正比，即

TC=k2

当线圈受到的转矩T与弹簧的反作用力矩TC达到平衡时，可动部分停止转动，此时有T=TC

仪表的标度尺上作均匀刻度。

即指针的偏转角

结论:

指针偏转的角度与流经线圈的电流成正比。

3.阻尼力矩的产生当线圈通入电流而发生偏转时，铝框切割磁通，在框内感应出电流，其电流再与磁场作用，产生与转动方向相反的制动力，于是可转动部分受到阻尼作用，快速停止在平衡位置。由转动的铝框受磁场力的作用而产生的。因为线圈转动而带动铝框一起转动，使得穿过铝框的磁通发生变化，从而产生感应电流。这个感应电流方向始终与线圈中流过的电流的方向相反，因而感应电流在磁场中产生的力矩也始终与转动力矩方向相反，称为阻尼力矩。阻尼力矩减小了指针因为惯性作用而来回摆动的幅度，使指针很快停止在平衡位置上。因此阻尼力矩不影响指针的偏转角，只起到缩短指针摆动时间的作用。1、用满度相对误差来标定仪表的准确度等级[例]某电流表的量程为100mA，在量程内用待定表和标准表测量几个电流的读数如表所示。试根据表中测量数据大致标定该仪表的准确度等级。

解：由Δx=x-A计算出各点Δxi如表所示。

因为Δxm=80-78=2mA且xm=100mA，求得该表的最大满度相对误差为

γm=

×100%=

×100%=2%所以该表大致为2.5级表。当然，在实际中，标定一个仪表的准确度等级是要通过大量的测量数据并经过一定的计算和分析后才能完成的。【例】利用微差法测量一个10V电源，使用9V标称相对误差±0.1%的稳压源和一只准确度为S的电压表，如图所示。要求测量误差±0.5%,问：S=？[例]检定一个1.5级100mA的电流表，发现在50mA处的误差最大,为1.4mA，其它刻度处的误差均小于1.4mA，问这块电流表是否合格？解：求得该表的最大满度相对误差为γm=

×100%=

×100%=1.4%＜1.5%所以这块表是合格的。实际中，要判断该电流表是否合格，应在整个量程内取足够多的点进行检定。2、用满度相对误差来检定仪表是否合格3、指导我们在使用多量程仪表时，合理选择仪表量程

[例]某1．0级电流表，满度值xm＝l00uA，求测量值分别为x1＝100uA，x2＝80uA，x3

＝20uA时的绝对误差和示值相对误差。解：得绝对误差

前已叙述，绝对误差是不随测量值改变的。而测得值分别为100A、80A、20A时的示值相对误差各不相同，分别为

可见在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。由此我们应当注意到，测量中所用仪表的准确度并不是测量结果的准确度，只有在示值与满度值相同时，二者才相等(不考虑其他因素造成的误差，仅考虑仪器误差)。通常测得值的准确度数值低于仪表的准确度等级。为减小示值误差而使示值尽可能接近满度值的结论，只适用正向刻度的电压表、电流表等类型的仪表，对普通欧姆表，上述结论不成立。因为欧姆表是反向刻度且是非线性的。

[例]要测量100℃的温度，现有0.5级、测量范围为0～300℃和l.0级、测量范围为0～l00℃的两种温度计，试分析各自产生的示值误差。解：对0.5级温度计，可能产生的最大绝对误差

按照误差整量化原则，认为该量程内绝对误差，因此示值相对误差

同样可算出用l.0级温度计可能产生的绝对误差和示值相对误差

可见用1.0级低量程温度计测量所产生的示值相对误差反而小一些，因此选l.0级温度计较为合适。

由上例不难看出，检测仪表产生的测量误差不仅与所选仪表精度等级s有关，而且与所选仪表的量程有关。

通常量程m和测量值X相差愈小，测量准确度较高。所以，在选择仪表时，应选择测量值尽可能接近的仪表量程。

在实际测量操作时，一般应先在大量程下，测得被测量的大致数值，而后选择合适的量程再行测量，以尽可能减小相对误差。4、在一定量的测量中，满度相对误差可指导我们合理选择仪表的准确度等级。

[例]欲测量一个10V左右的电压，现有两块电压表，其中一块量称为100V，1.5级；另一块量程为15V，2.5级，问选用哪一块表好？解：用1.5级量程为100V的电压表测量10V电压时，最大相对误差为

γ1=

s1%=

×1.5%=15%

用2.5级量程为15V的电压表测量10V电压时，最大相对误差为

γ2=

s2%=

×2.5％=3.75％

测量10V电压时，采用2.5级量程为15V电压表测量的准确度高于用1.5级量程为100V电压表测量的准确度，且2.5级量程为15V电压表经济实用，所以应选择2.5级量程为15V的电压表。

如果选择合适的量程，即使使用较低等级的仪表进行测量，也可以取得比高等级仪表还高的准确度。因此，在选用仪表时，不要单纯追求仪表的级别，而应根据被测量的大小，兼顾仪表的级别和测量上限，合理地选择仪表。

1、仪表的准确度不等于测量结果的准确度，一般而言测量值的准确度数值低于仪表准确度等级，只有在示值X等于满度值M时才相等。2、为了减小示值误差，在测量时量程选择应尽可能接近满度值，一般示值以不小于满度值的2／3为宜。此规律适用于正向刻度的电压、电流类仪表。3、对于反向刻度的仪表，结论（2）不适用例欧姆表（反向非线性刻度）：当示值与欧姆表中值接近时，测量准确度最高。4、并不是选择的仪表精度越高，测量结果就越准确，还要考虑选用合适的量程。在实际测量中，一般先在大量程下测得被测量的大致数值，再选合适量程再行测量，以减小相对误差。(5)分贝误差在电子学及声学测量中，特别是通信系统测试中，通常并不直接测量或计算电路某测试点的电压或负载吸取的功率，而是计算它们与某一电压或功率基准量之比的对数。常用分贝来表示相对误差，称为分贝误差。A、电压、电流测量：

γ[db]=20lg(1+γx)[db]

注：γx=B、功率测量：

γ[db]=10lg(1+γx)[db]

解：测量的绝对误差为

Δx=96-100=-4μA

测量的实际相对误差为

γA=

=

×100%=-4%

分贝误差为

γdB=20lg［1+(-0.04)］=-0.355dB[例]某电流表测出的电流值为96μA，标准表测出的电流值为100μA，求测量的相对误差和分贝误差。

[例]

某电压放大器，当输入端电压Ui＝1.2mV时，测得输出电压Uo＝6000mV，设Ui误差可忽略，Uo的测量误差求：放大器电压放大倍数的绝对误差、相对误差及分贝误差。解：电压放大倍数电压分贝增益输出电压绝对误差因忽略Ui误差，所以电压增益绝对误差电压增益相对误差电压增益分贝误差实际电压分贝增益如果在测量中，使用的仪器是用分贝作单位，则分贝误差直接按来计算。三、容许误差 容许误差是指测量仪器在规定使用条件下可能产生的最大误差范围。容许误差有时就称作仪器误差，它是衡量电子测量仪器质量的最重要的指标。电子测量仪器的精度和稳定性等，都可用仪器的容许误差来表征。 我国部颁标准SJ943—82《电子测量仪器误差的一般规定》中规定：用工作误差、固有误差、影响误差和稳定误差等四项指标来描述电子测量仪器的容许误差。

为了保证测量仪器示值的准确，仪器出厂前必须由检验部门对其误差指标进行检验，在使用期间，必须定期进行校准检定，凡各项误差指标在容许误差范围之内的，视为合格，否则就不能算做合格的仪器，其测量结果失去可靠性而只能供作参考。仪器的容许误差的表示方法可以用绝对误差，也可用相对误差。

l．工作误差

工作误差是在额定工作条件下仪器误差的极限值。外部、内部各种影响量最极端、最不利组合产生的误差最大值特点：使用方便，利用工作误差可直接估计测量结果误差的最大范围；实际使用中最不利组合的可能性很小。

结论：用工作误差来估计测量结果的误差相比实际值会偏大。2．固有误差固有误差是当仪器的各种影响量和影响特性处于基准条件时仪器所具有的误差。3．影响误差影响误差是当一个影响量在其额定使用范围内(或一个影响特性在其有效范围内)取任一值，而其它影响量和影响特性均处于基准条件时所测得的误差。例如温度误差、频率误差等。 只有当某一影响量在工作误差中起重要作用时才给出，它是该影响量误差的极限。4.稳定误差稳定误差是仪器的标称值在其他影响量和影响特性保持恒定的情况下，于规定时间内产生的误差极限。习惯上以相对误差形式给出或者注明最长连续工作时间。如：温度

[例]

用4位半数字电压表2V档和200V档测量1V电压，该电压表各档容许误差均为个字，试分析用上述两档分别测量时的相对误差。

解：

①用2V档测量，绝对误差为

为了便于观察，式中前一项是容许误差的相对值部分，后一项是绝对值部分即土1个字误差，此时后者影响较小，测量数值(显示值)为0．9996到1．0004V间，有效显示数字是四位到五位。相对误差为

②用200V档测量，绝对误差为

可见此时土1个字误差占了误差的绝大部分(为了便于观察，按科学计数法规定写成1.0×10-2，由于此时最末位士1个字误差或最末位为l时代表的数值是10mV或0．01V，因此此时电压表显示为0.99～1.01V，显示有效数字为二到三位。相对误差为可见，此时相对误差很大，没有充分发挥4位半数字电压表的较高准确度的优势。由上例不难看出，检测仪表产生的测量误差不仅与所选仪表精度等级S有关，而且与所选仪表的量程有关。在选用数字显示式测量仪表时，应尽可能使显示的位数多一些，以减小测量误差。通常量程L和测量值X相差愈小，测量准确度较高。所以，在选择仪表时，应选择测量值尽可能接近上限的仪表量程。

1.2测量误差的来源

一、仪器误差仪器误差又称设备误差，是由于设计、制造、装配、检定等的不完善以及仪器使用过程中元器件老化、机械部件磨损、疲劳等因素而使测量仪器设备带有的误差。仪器误差还可细分为：读数误差，包括出厂校准定度不准确产生的校准误差、刻度误差、读数分辨力有限而造成的读数误差及数字式仪表的量化误差(±l个字误差)；仪器内部噪声引起的内部噪声误差；元器件疲劳、老化及周围环境变化造成的稳定误差；仪器响应的滞后现象造成的动态误差；探头等辅助设备带来的其他方面的误差。

减小仪器误差的主要途径：根据具体测量任务，正确地选择测量方法和使用测量仪器，包括要检查所使用的仪器是否具备出厂合格证及检定合格证，在额定工作条件下按使用要求进行操作等。

量化误差是数字仪器特有的一种误差，减小由它带给测量结果准确度的影响的办法是设法使显示器显示尽可能多的有效数字。

二、使用误差使用误差又称操作误差，是由于对测量设备操作使用不当而造成的误差。

减小使用误差的最有效途径是提高测量操作技能，严格按照仪器使用说明书中规定的方法步骤进行操作。如：（1）指针式万用表测电阻时应校零，变换量程挡后也要先校零再测量。

（2）老式电子管示波器在使用之前应先预热、然后再校准，最后才能进行测量。

三、人身误差人身误差主要指由于测量者感官的分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等而对测量实验中的现象与结果判断不准确而造成的误差。

减小人身误差的主要途径有：

a、提高测量者的操作技能和工作责任心；

b、采用更合适的测量方法；

c、采用数字式显示的客观读数，以避免指针式仪表的读数视差。（或针式仪表加装镜面）

四、影响误差（环境误差）影响误差是指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。

主要影响因素：环境温度、湿度、大气压、电源电压、磁场变化和震动。 当环境条件符合要求时，影响误差通常可不予考虑。但在精密测量及计量中，需根据测量现场的温度、湿度、电源电压等影响数值求出各项影响误差，以便根据需要做进一步的数据处理。

五、方法误差方法误差是指所使用的测量方法不当，或测量所依据的理论不严密，或对测量计算公式不适当简化等原因而造成的误差，方法误差也称作理论误差。 例如当用于均值检波器测量交流电压时，平均值检波器输出正比于被测正弦电压的平均值U，而交流电压表通常以有效值U定度，两者间理论上应有下述关系：

式中，称为定度系数。由于和均为无理数，因此当用有效值定度时，只好取近似公式

显然两者相比，就产生了误差，这种由于计算公式的简化或近似造成的误差就是一种理论误差。

方法误差通常以系统误差(主要是恒值系统误差)形式表现出来。产生的原因：方法、理论、公式不当或过于简化。解决方法：通过理论分析和计算或改变测量方法来加以消除或修正。

[例]

测量仪表的负载效应，现重画于图中。图中虚框代表一台输入电阻Rv＝10MΩ，仪器工作误差(也称不确定度)为“±0.005％读数±2个字”的数字电压表，读数Uo＝l0.0025V。试分析仪器误差和方法误差。解；

即比值Rs/RV愈大，示值相对误差也愈大，这是一种方法误差。将RV＝10MΩ,Rs＝10kΩ代入得方法误差：电压表本身的仪器误差

测得值Uo与实际值Us间有确定的函数关系，只要知道，那么这里的方法误差可以得到修正。利用修正公式和有关数据，得到1.3误差的分类

一、系统误差

1、定义：在相同条件下，多次重复测量同一被测参量时，测量误差的大小和符号保持不变；或当条件改变时，误差按某种确定的规律变化，这种测量误差称为系统误差，简称系差。恒定系差：系差的大小、符号不变而保持恒定。 变值系差：系差的大小、符号发生变化。 变值系差包括：累进性系差 周期性系差 按复杂规律变化的系差

图中描述了几种不同系差的变化规律： 直线（a）表示恒定系差 直线（b）属变值系差中累进性系差（递增）

曲线(c)表示周期性系差 曲线(d)属于按复杂规律变化的系差0

系统误差的特征

2、主要特点：

①测量条件不变，误差即为确切的数值，用多次测量取平均值的办法不能改变或消除系差。

②条件改变，误差也随之遵循某种确定的规律而变化，具有可重复性。

③只能用修正公式的办法来减小系统误差。

3、产生系统误差的主要原因：

（1）测量仪器方面的因素：仪器设计原理的缺陷；仪器零件制造偏差和安装不当；元器件性能不稳定等。如：把运算放大器当作理想运放，由被忽略的输入阻抗、输出阻抗引起的误差；刻度偏差及使用过程中的零点漂移等引起的误差。（2）测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。

(3)环境方面的因素：测量时的实际环境条件(温度、湿度、大气压、电磁场等)相对于标准环境条件的偏差，测量过程中温度、湿度等按一定规律变化引起的误差。

(4)测量人员方面的因素：由于测量人员的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一方向；动态测量时，记录快速变化信号有滞后的倾向。系差表明一个测量结果偏离真值的程度，常称系统偏差，在误差理论中，常用正确度表征系差的大小。系统误差越小，测量的正确度高。

二、随机误差

1、定义：随机误差又称偶然误差，在相同条件下多次重复测量同一被测参量时，测量误差的大小与符号均无规律变化，这类误差称为随机误差。就单次测量而言，随机误差没有规律，其大小和方向完全不可预定，但当测量次数足够多时，其总体服从统计学规律，多数情况下接近正态分布。

2、随机误差的特点

a、有界性

b、对称性

c、抵偿性

d、单峰性

的正态分布曲线由于随机误差的上述特点，可以通过对多次测量取平均值的办法，来减小随机误差对测量结果的影响，或者用其他数理统计的办法对随机误差加以处理。

表1．3—l是对某电阻进行15次等精度测量的结果。表中Ri为第i次测得值，R为测得值的算术平均值，定义为残差，由于电阻的真值R无法测得，我们用R

代替R，用ui表示随机误差的性质。为了更直观地考察测量值的分布规律，用图1．3—2表示测量结果的分布情况，图中小黑点代表各次测量值。表1.3—l图1.3—3电阻测量值的随机误差由表1．3—l和图1.3—3可以看出以下几点：①所有随机误差的绝对值都没有超过某一界限，反映了随机误差的有界性。②正误差出现了7次，负误差出现了6次，两者基本相等，正负误差出现的概率基本相等，反映了随机误差的对称性。

③∑vi＝0，正负误差之和为零，反映了随机误差的抵偿性。④误差的绝对值介于(0，0．1)、(0．1，0．2)、(0．2，0．3)、(0．3，0．4)、(0．4，0．5)区间，大于0.5的个数分别为6、3、2、1、2个和1个，反映了绝对值小的随机误差出现的概率大，绝对值大的随机误差出现的概率小，反映了随机误差的单峰性。这虽然仅是一个例子，但也基本反映出随机误差的一般特性。3、产生随机误差的主要原因：

(1)测量装置方面的因素：仪器元器件产生的噪声，零部件配合的不稳定、摩擦、接触不良等。

(2)环境方面的因素：温度的微小波动、湿度与气压的微量变化、光照强度变化、电源电压的无规则波动、电磁干扰、振动等。

(3)测量人员感觉器官的无规则变化而造成的读数不稳定等。

随机误差表示测量结果的分散性，用精密度表示随差的大小。精密度越高，随机误差越小。随差不能用修正或采取某种技术措施的办法来消除。

三、粗大误差

1、定义：在一定的测量条件下，测得值明显地偏离实际值所形成的误差也称为疏失误差，简称粗差。特点是误差数值大，明显歪曲了测量结果。

确认含有粗差的测得值称为坏值，应当剔除不用。因为坏值不能反映被测量的真实数值，我们通常研究的测量结果误差中仅包含系统和随机两类误差。

2、产生粗差的主要原因：

①测量方法不合理②读错读数③记录错误

④计算错误⑤仪器故障⑥干扰等因素引起

除粗差较易判断和处理外，在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的，需根据各自对测量结果的影响程度，作不同的具体处理：

①系统误差远大于随机误差的影响，此时可基本上按纯粹系差处理，而忽略随机误差。

②系差极小或已得到修正，此时基本上可按纯粹随机误差处理。③系差和随机误差相差不远，二者均不可忽略，此时应分别按不同的办法来处理，然后估计其最终的综合影响。1.4随机误差分析

随机误差是在相同条件下对同一参量进行多次测量时，误差的绝对值和符号均发生变化。随机误差是由没有规律的大量微小因素共同作用所产生的结果，因而这种变化没有确定的规律也不能事先预知，不易掌握，也难以消除。

随机误差使测量数据产生分散，即偏离它的数学期望。因此对单次测量而言，随机误差的大小和符号都是不确定的，没有规律性的；但随机误差具有随机变量的一切特点，它的概率分布通常服从一定的概率统计规律。因此，在进行多次测量后，可以用数理统计的方法，对其分布范围做出估计，得到随机影响的不确定度。

我们的任务就是要研究随机误差使测量数据按什么规律分布，多次测量的平均值有什么性质，以及在实际测量中对于有限次的测量，如何根据测量数据的分布情况，估计出被测量的数学期望、方差和被测量的真值出现在某一区间的概率等。总之，我们是用概率论和数理统计的方法来研究随机误差对测量数据的影响，并用数理统计的方法对测量数据进行统计处理，从而克服或减少随机误差的影响。

一、测量值的数学期望和标准差1．数学期望设对被测量x进行n次等精度测量，得到n个测得值，由于随机误差的存在，这些测得值也是随机变量。定义n个测得值(随机变量)的算术平均值为式中也称作样本平均值。

当测量次数时，样本平均值的极限定义为测得值的数学期望式中称作总体平均值。

假设上面的测得值中不含系统误差和粗大误差，则第i次测量得到的测得值xi与真值之间的绝对误差就等于随机误差

对于有限次测量，随机误差的算术平均值：当时，上式中第一项即为测得值的数学期望Ex，

当时，上式中第一项即为测得值的数学期望Ex，所以

由于随机误差的抵偿性，当测量次数n趋于无限大时，趋于零：

即随机误差的数学期望等于零，即即测得值的数学期望等于被测量真值A。

实际上不可能做到无限多次的测量，对于有限次测量，当测量次数足够多时近似认为

在实际测量中，采用某些技术措施基本消除系统误差的影响并且剔除粗大误差后，虽然有随机误差存在，但可以用多次测量值的算术平均值作为最后测量结果，并称之为被测量的最佳估值或最可信赖值。

2．剩余误差

当进行有限次测量时，各次测得值与算术平均值之差，定义为剩余误差或残差：对上式两边分别求和，有

当n足够大时，残差的代数和为零，这一性质可用来检验计算的算术平均值是否正确。

3．方差与标准差

随机误差反映了实际测量的精密度即测量值的分散程度。由于随机误差的抵偿性，因此不能用它的算术平均值来估计测量的精密度，而应使用方差进行描述。方差定义为时测量值与期望值之差的平方的统计平均值，即

因随机误差，故

δ取平方的目的是，不论δ是正是负，其平方总是正的，这样取平方后再进行平均才不会使正负方向的误差相互抵消，从而可以用来描述随机误差的分散程度。且求和取平均后，个别较大的误差在式中所占的比例也较大，使得方差对较大的随机误差反映较灵敏所以它是表征精密度的参数。二、随机误差的正态分布1．正态分布

（1）在大多数情况下，测得值在其期望值上出现的概率最大，随着对期望值偏离的增大，出现的概率急剧减小。（2）随机误差等于零的出现概率最大，随着随机误差绝对值的加大，出现的概率急剧减小。测得值和随机误差的这种统计分布规律，称为正态分布。

设测量值xi落在区间（x，x+dx）内的概率为P（x<xi<x+dx)，当△x→0，P与△x的比值的极限存在，即则P（x）为测量值在x点上的概率密度函数。对于正态分布的随机误差，有对于正态分布的xi，其概率密度函数为的正态分布曲线的正态分布曲线

由图1．4-2可以看到如下特征：①

愈小，愈大，说明绝对值小的随机误差出现的概率大；相反，绝对值大的随机误差出现的概率小，随着的加大，很快趋于零，即超过一定界限的随机误差实际上几乎不出现(随机误差的有界性)。

②大小相等符号相反的误差出现的概率相等(随机误差的对称性和抵偿性)。

③

愈小，正态分布曲线愈尖锐，表明测得值愈集中，精密度高；反之愈大，曲线愈平坦，表明测得值分散，精密度低。正态分布又称高斯分布，在误差理论中占有重要的地位。由众多相互独立的因素的随机微小变化所造成的随机误差，大多遵从正态分布，例如信号源的输出幅度、输出频率等，都具有这一特性。小结：随机误差

①有界性：绝对值很大的误差出现的概率接近于零，即随机误差的绝对值不会超过一定界限。②对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相同。③抵偿性：当测量次数n→∞时，全部误差的代数和趋于零。

④单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。

2、非正态分布测量中的随机误差除了大量满足正态分布外，还有一些不满足正态分布，统称为非正态分布。常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。其中均匀分布的应用仅次于正态分布。表中列出了三种分布的概率密度函数、数学期望、标准差和适用条件。可以看出，这三种分布都服从对称性、有界性和抵偿性。

表2-2几种常见的非正态分布

3．极限误差对于正态分布的随机误差，随机误差落在区间的概率为同样可以求得随机误差落在和范围内的概率为：

随机误差绝对值大于3σ的概率(可能性)仅为0.003或0.3％，实际上出现的可能极小，因此定义

如果在测量次数较多的等精度测量中，出现时，必须予以仔细考虑。通常将的测得值判为坏值，予以剔除。坏值判别准则---------莱特准则适用条件：（1）莱特准则只适用于测量次数较多（n>25）、测量误差分布接近正态分布的情况使用。（2）当等精度测量次数较少（n≤20）时，采用基于正态分布的莱特准则，其可靠性将变差，且容易造成鉴别值界限太宽而无法发现坏值。（3）当测量次数n<10时，莱特准则将彻底失效，不能判别任何粗大误差。莱特准则：n次等精度测量，X1、X2…….Xn，若此Xi值为坏值，予以剔除。1、有限次测量的数学期望的估计值——算术平均值被测量x的数学期望就是当测量次数n→∞时，各次测量值的算术平均值。在实际等精度测量中，当测量次数n为有限次时，常用算术平均值作为被测量的数学期望或被测量的估计值，用

表示，即三.有限次测量的数学期望和标准差的估计值

可以证明，算术平均值是被测量数学期望的无偏估计值和一致估计值。

用算术平均值作为测量结果是否可以减小随机误差的影响呢？我们可以通过计算算术平均值的标准差来回答这个问题。当测量次数n有限时，统计特征本质上是随机的，所以，所有算术平均值本身也是一个随机变量。根据正态分布随机变量之和的分布仍然是正态分布的理论，也属于正态分布。

2．算术平均值的标准差

在相同条件下，对同一被测量分成m组，每组重复n次测量，则每组测得值都有一个平均值。由于随机误差的存在,这些平均值有一定的分散性，即算术平均值与真值间也存在着随机误差。

由概率论中方差运算法则，可求出算术平均值的标准差

根据概率论中“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之和”的定理可推导出的方差为

即

n次测量值的算术平均值的方差是总体或单次测量值的方差的1／n，或者说算术平均值的标准差是总体或单次测量值的标准差的1/倍。这是由于随机误差的抵偿性，在计算的求和过程中，正负误差相互抵消；测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差的影响。3.算术平均值的标准差估计值（贝塞尔公式）随机误差，其中xi为第i次测得值，A为真值，为xi的数学期望，且

采用测量值数列的标准差来表征测量值的分散程度

当n为有限值时，用残差来近似或代替真正的随机误差

对νi求和，则得到

贝塞尔公式适用于有限次等精度测量。在n为有限值时，用贝塞尔公式计算的结果仍然是标准偏差的一个估计值，用符号

表示有限次测量时标准差的最佳估计值，即

或小结：

在有限次分组测量中，以表示各组算术平均值标准差的最佳估值

因为实际测量中n只能是有限值，所以就将和叫作测量值的标准差和测量平均值的标准差。或测量平均值标准差最佳估计值:

(平均值离散程度表征)测量平均值标准差:（有限次测量）下面列出前面所定义的各种标准差的符号公式及所表示的不同意义，以便在使用时不致于混淆。总体测量值标准差:(测量值离散程度表征)

总体测量值标准差最佳估计值:（有限次测量）四、有限次测量下测量结果的表达

对于精密测量，常进行多次等精度测量，在基本消除系统误差并从测量结果中剔除坏值后，测量结果的处理可按下述步骤进行：

1、列出测量数据表；

2、计算算术平均值，残差及；

3、计算标准差估计值；

4、按莱特准则判断有无坏值。有坏值予以剔除，然后重复1-4步，直到无坏值为止（每次只能剔除一个坏值）

5、计算算术平均值的标准差

6、最终测量结果表达式：

[例]

用电压表对某一电压测量10次，设已消除系统误差及粗大误差，测得数据及有关计算值如表，试给出最终测量结果表达式。解：计算得到，表示的计算正确。进一步计算得到：因此该电压的最终测量结果为1.5系统误差分析

一、系统误差的特性

排除粗差后，测量误差等于随机误差和系统误差的代数和

假设进行n次等精度测量，并设系差为恒值系差或变化非常缓慢即，则的算术平均值为

当n足够大时，由于随机误差的抵偿性，的算术平均值趋于零，得到

若测量次数足够多，则各次测量绝对误差的算术平均值等于系差。这说明测量结果的准确度不仅与随机误差有关，更与系统误差有关。

系差最显著的特点就是在一定的条件下，其数值服从某一确定的函数规律。这个规律原则上可以结合有关专业知识，通过理论分析和实验的方法加以掌握，由于系差的特点，因此在处理方法上与随差截然不同。虽然系差是一种按确切函数规律变化的误差，但由于常常涉及到具体测量对象及原理的分析，因此在许多情况下处理起来往往比没有确切的规律的随差还要困难。由于系差伴随着随差同时出现，因此在不同程度上对随差的分布产生影响，因此可以根据随差被影响的程度来推测被测量中是否含有不可忽视的系差，这就是用统计学理论研究系差的方法。二、系统误差的判断1．理论分析法因测量方法或测量原理引入的系差，可理论计算及分析的方法加以修正。

2．校准和比对法

常用校准的方法来检查恒定系统误差是否存在，通常用标准仪器或标准装置来发现并确定系统误差的数值，或依据仪器说明书上的修正值，对测量结果进行修正。还可用实验比对的方法来判断是否存在不变的系统误差，即改变产生系统误差的条件进行不同的测量。例如，用两台仪器对同一量分别进行多次测量，然后分别计算平均值，若两个平均值相差较大，可认为存在系统误差。

3、改变测量条件法有些恒值系差在一定条件下为确定不变的值，当测量条件改变时为另一恒定的值，即属于随测量条件改变的恒值系差。利用这一特性，有意改变测量条件（更换测量人员、测量环境、测量方法等），分别测出两组数据，然后比较二者差异，便可判断是否有系差。

系统误差的判断4．残差观察法

将所测得的数据及其残差按测得的先后次序列表或作图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化情况，从而判断是否存在系统误差及其规律。但此方法只适用于系统误差比随机误差大的情况，当系统误差比随机误差小时，就不能通过残差法来发现系统误差。

为了直观，通常将剩余误差制成曲线，如图1．5—1所示： 图(a)表示剩余误差大体上正负相同，无明显变 化规律，可以认为不存在系差；

图(b)呈现线性递增规律，可认为存在累进性系差； 图(c)中大小和符号大体呈现周期性，可认为存 在周期性系差； 图(d)变化规律复杂，大体上可认为同时存在线性递 增的累进性系统误差和周期性系统误差。

剩余误差法主要用来发现变值系统误差。5．公式判断法通常有马林科夫判据和阿卑—赫梅特判据，可分别用来判定有无累进性系差和周期性系差。（1）马林科夫判据（累进性系差）对某物理量进行n次等精度测量，A、测量数据按先后顺序排列：X1、X2、……..XnB、测量数据对应的残差按先后顺序排列：V1、V2、….VnC、若n为偶数前后各半，若为奇数中间值可不要，求出差值：n为偶数：n为奇数：判断：若则有累进性系统误差。（2）阿卑—赫梅特判据（周期性系差）对某物理量进行n次等精度测量，A、测量数据按先后顺序排列：X1、X2、……..XnB、测量数据对应的残差按先后顺序排列：V1、V2、….Vn判断：若则有周期性系统误差。三、减小系统误差的方法1、针对产生系统误差的主要原因采取对应措施，消除系统误差产生的根源1）依据正确的原理，采用正确的测量方法2）选择正确的和满足测量准确度要求的仪表3）采用数字显示仪器，减小由于刻度不准及分辨力不高等因素带来的系统误差。

4）测量仪器定期检定、校准，测量前要正确调节零点，应按操作规程正确使用仪器。精密测量，测量环境的影响不能忽视，必要时应采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。5）提高测量人员的素质，消除带来系统误差的主观原因。2、利用修正值或修正因数加以消除修正法是预先通过检定、校准或计算得出测量器具的系统误差的估计值，作出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同、方向相反的值作为修正值，将实际测量结果加上相应的修正值，即可得到已修正的测量结果。实际测量中，可根据测量仪器检定书中已经给出的校正曲线、校正数据或利用说明书中的校正公式对测得值进行修正，是常用的消除系统误差的办法。

如米尺的实际尺寸不等于标称尺寸，若按照标称尺寸使用，就要产生系统误差。因此，应按经过检定得到的尺寸校准值(即将标称尺寸加上修正值)使用，即可减少系统误差。值得注意的是，修正不可能达到理想，因此系统误差不可能完全消除。

3、削弱恒值系统误差的典型测量技术

削弱和消除恒值系差的测量技术，比较典型的有：零示法、代替法、交换法（对照法）、微差法（1）零示法将被测量与已知量标准量相比较，当两者的效应相互抵消时，指零仪器示值为0，到达平衡，这时已知量的数值就是被测量的数值平衡状态判断准确与否，取决于指示器的灵敏度。电位差计是采用零示法的典型例子，其中Es为标准电压源，RS为标准电阻，Ux为待测电压，p为零示器，一般用检流计。调RS使ID＝0，则被测电压Ux＝Us，即被测量Ux的数值仅与标准电压源Es及标准电阻R2、Rl有关，只要标准量的准确度很高，被测量的测量准确度也就很高。零示法广泛用于阻抗测量(各类电桥)、电压测量(电位差计及数字电压表)、频率测量(拍频法、差频法)及其他参数的测量中。（2）替代法（置换法）在一定的测量条件下，选择一个适当大小的标准已知量去替代测量电路中原来接入的被测物理量，并保证仪器的示值不变，则被测量的数值等于标准已知量。 由于替代前后整个测量系统及仪器示值均未改变，因此测量中的恒定系差对测量结果不产生影响，测量准确度主要取决于标准已知量的准确度及指示器灵敏度。

替代法测量电阻替代法在精密电阻电桥中的应用实例。

首先接入未知电阻Rx，调节电桥使之平衡，此时有

由于都有误差，若利用它们的标称值来计算Rx，则Rx也带有误差，即进一步计算，得到

为了消除上述误差，现用可变标准电阻RS代替Rx，并在保持不变的情形下通过调节RS

，使电桥重新平衡，因而得到

可见测量误差△RS

，仅决定于标准电阻的误差△RS，而与的误差无关。

（3）交换法（对照法）适于在对称的测量装置中用来检查其对称性是否良好，或从两次测量结果的处理中，消弱或消除系统误差。以等臂电桥为例说明这种方法。

对照法测电阻

（a)电桥平衡时：当R1，R2有误差△R1，△R2时

(b)交换位置，调节Rs使电桥至平衡。设此时标准电阻阻值为Rs2

如果，则(等臂电桥)

x的示值相对误差为由于

，所以

，又由于

，所以（4）微差法

微差法又叫虚零法或差值比较法，实质上是一种不彻底的零示法。微差法是允许标准量s与被测量x的效应不完全抵消，而是相差一微小量，来得到待测量【例】利用微差法测量一个10V电源，使用9V标称相对误差±0.1%的稳压源和一只准确度为S的电压表，如图所示。要求测量误差±0.5%,问：S=？4、削弱和消除变值系统误差的测量技术（1）采用交叉读数法减小线性系统误差（累进型系统误差）

交叉读数法（对称测量法、对称读数法）：在时间上将测量顺序等间隔对称安排，取各对称点两次交叉读入测量值，然后取其算术平均值作为测量值，即可有效地减小测量的线性系统误差（累进型系统误差）。

（2）采用半周期法减小周期性系统误差

对周期性系统误差，可以相隔半个周期进行一次测量，如图2-2所示。

取两次读数的算术平均值，即可有效地减小周期性系统误差。因为相差半周期的两次测量，其误差在理论上具有大小相等、符号相反的特征，所以这种方法在理论上能很好地减小和消除周期性系统误差。5、消除或削弱系统误差的其他方法

（1）系统误差的随机化处理利用同一类型测量仪器的系统误差具有随机特性的特点，对同一被测量用多台仪器进行测量，取各台仪器测量值的平均值做为测量结果。此外，某些按复杂规律变化的系差也可按随差的处理方法处理。（2）智能仪器中系统误差的消除在智能仪器中，可利用微处理器的计算控制功能，消弱或消除仪器的系统误差。直流零位校准、自动校准四、系统误差的消除准则

无论采用什么方法,都不能完全把系统误差消除干净,终会残留一部分系差。设最后残留的系差为,根据保留有效数字的四舍五入原则,只有当︳︳不超过总误差的有效数字最后一位所在单位的一半时,即可舍去不计,则推出消除系差的具体准则为当误差用两位有效数字表示时:

︳︳＜当误差用一位有效数字表示时:1.6系统误差的合成

在测量中通常可以用系统误差ε及随机误差的标准差σ(x)来反映测量结果的正确度和精密度，在国际通用计量学术语中，用测量不确定度来表征被测量之值可能的分散程度，即测量结果的误差大小。但是，在实际测量中，误差常常来源于很多方面。例如用n个电阻串联，则总电阻的误差大小就与每个电阻的误差大小有关。

又如，用间接法测电阻上的功率，通常只需测得这个电阻的阻值、电压、电流这三项中的两项，然后计算电阻消耗的功率。这时，功率的误差就与各直接测量量的误差有关。不管某项误差是由若干因素产生的还是由于间接测量产生的，只要某项误差与若干分项有关，这项误差就叫总误差，各分项的误差叫分项误差或部分误差。

在测量工作中，常常需要从以下两个方面考虑总误差与分项误差的关系：一方面是如何根据各分项误差来确定总误差，即误差合成问题；另一方面，当技术上对某量的总误差限定一定范围以后，如何确定各分项误差的数值，即误差的分配问题。正确地解决这两个问题可以指导我们设计出最佳的测量方案。在注重测量经济、简便的同时，提高测量的准确度，使测量总误差降低到最小。

一、

误差传递公式

误差的合成是研究如何根据分项误差求总误差的问题。由于分项与总项的函数关系是各种各样的，例如可以是和差关系、积商关系、乘开方关系、指数对数关系等等，只给出一个普遍适用的公式——误差传递公式。

设最终测量结果为y，各分项测量值为

它们满足函数关系

设各xi间彼此独立，xi绝对误差为△xi

，y的绝对误差为△y，则由泰勒级数展开略去上式右边高阶项，得因此

已知各分项误差，并有确定的函数时，可以分析和计算总的合成误差。

在实际应用中，各分项误差的符号不定，通常采用保守的办法估算误差绝对误差传递公式相对误差传递公式类似，可以得到：

二、常用函数的合成误差

1．和差函数的合成误差设两式相减得绝对误差当△x1、△x2符号不能确定时，有相对误差

[例]

电阻R1＝1kΩ，R2＝2kΩ，相对误差均为±5％，求串联后总的相对误差。解：串联后电阻串联后电阻的相对误差

[例]

用指针式频率计测量放大电路的频带宽度，仪器的满度值fm＝10MHz，准确度±1％，测得高端截止频率fh＝10MHz，低端截止频率fl＝9MHz，试计算频带宽度的合成误差?

解：仪器的最大绝对误差即频带宽度的相对误差

由此可见，所用仪器为1.0级，准确度已很高，但最终测量结果的相对误差却很大。这是由于fk、fl比较接近的缘故，属于测量方法不当(差函数慎用)，应利用扫频仪等来测量。

2．积函数的合成误差设，绝对误差为相对误差

[例]

已知电阻上电压及电流的相对误差分别为则功率的，计算功率，则P的相对误差是多少?

解：由积函数误差合成公式得

3．商函数的合成误差设绝对误差分别为若都带有正负号，则相对误差

[例]

用间接法测电阻上直流电流。已知电阻lkΩ

，标称值相对误差，电压表测得该电阻端电压U＝2.0V，相对误差。求流过该电流I及其相对误差。解得相对误差

4.幂函数的合成误差设为常数，将积函数的合成误差公式略加推广得当带有正负号时

[例]

电流流过电阻产生的热量Q＝0.24I2Rt，若已知求。

解：直接引用式(2．6-14)、(2．6-19)结论，有

5．积商幂函数的合成误差设，式中k、m、n、p均为常数，综合上述各函数合成误差公式，直接得到当都有正负号时，有

[例]

用电桥法测电阻，，已知