新教材高中数学第八章立体几何初步8-6-2直线与平面垂直二素养课件新人教A版必修第二册

8.6.2直线与平面垂直(二)

【情境探究】如图是马路旁的路灯灯柱,若将灯柱看作一条直线,地面看作平面,请回答下面的问题.必备知识生成1.灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系?提示:灯柱所在直线与地面所在平面垂直.2.灯柱所在的直线间是什么位置关系?提示:灯柱所在的直线都是平行的.【知识生成】1.直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线_____符号语言

⇒_____图形语言

作用证明两条直线_____平行a∥b平行2.直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时,这条直线上_________到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.3.平面到平面的距离如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都_____,我们把它叫做这两个平行平面的距离.任意一点相等关键能力探究探究点一直线与平面垂直的性质的应用【典例1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC,求证:MN∥AD1.

【思维导引】两直线垂直于同一平面⇒两直线平行.【证明】因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.【延伸探究】

1.本例中条件不变,求证:M是AB的中点.【证明】假设A1D与AD1交于点O,连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC,所以ON

CD

AB,所以ON∥AM.又由例题可知MN∥OA,所以四边形AMNO为平行四边形,所以ON=AM.因为ON=AB,所以AM=AB,所以M是AB的中点.【延伸探究】

1.本例中条件不变,求证:M是AB的中点.【证明】假设A1D与AD1交于点O,连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC,所以ON

CD

AB,所以ON∥AM.又由例题可知MN∥OA,所以四边形AMNO为平行四边形,所以ON=AM.因为ON=AB,所以AM=AB,所以M是AB的中点.2.本例中把条件“MN⊥平面A1DC”改为“M是AB的中点”,求证:MN⊥平面A1DC.【证明】连接A1M,CM,取CD中点P,连接NP,MP,由正方体AC1,M,N为中点,则A1M=CM,所以MN⊥A1C.又P为CD中点,所以PN∥A1D.因为CD⊥A1D,所以CD⊥PN.又MP⊥CD,MP∩PN=P,所以CD⊥平面MPN.因为MN⊂平面MPN,所以MN⊥CD.又A1C∩CD=C,所以MN⊥平面A1DC.【类题通法】1.线面垂直性质定理的作用线面垂直的性质提供了证明线线平行的依据.2.直线与平面垂直的其他性质(1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意一条直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面.(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.【定向训练】如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,直线a⊂β,a⊥AB.求证:a∥l.【证明】因为EA⊥α,α∩β=l,即l⊂α,所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β,a⊂β,所以EB⊥a,又a⊥AB,EB∩AB=B,所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理,得a∥l.探究点二直线与平面垂直的综合运用【典例2】斜边为AB的直角三角形ABC,PA⊥平面ABC.AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分别为垂足,如图.

(1)求证:EF⊥PB.(2)若直线l⊥平面AEF,求证:PB∥l.探究点二直线与平面垂直的综合运用【典例2】斜边为AB的直角三角形ABC,PA⊥平面ABC.AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分别为垂足,如图.

(1)求证:EF⊥PB.(2)若直线l⊥平面AEF,求证:PB∥l.【思维导引】(1)证明线线垂直,需要证明线面垂直,关键是确定相应的直线和平面.(2)利用线面垂直的性质得出线线平行.【证明】(1)因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又因为△ABC为直角三角形,所以BC⊥AC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.又因为AF⊂平面PAC,所以BC⊥AF.又AF⊥PC,且PC∩BC=C,所以AF⊥平面PBC.又PB⊂平面PBC,所以AF⊥BP.又AE⊥PB,且AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF.又EF⊂平面AEF,所以EF⊥PB.(2)由(1)知,PB⊥平面AEF,而l⊥平面AEF,所以PB∥l.【类题通法】线线、线面垂直问题的解题策略

(1)证明线线垂直,一般转化为证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.(2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.【定向训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD⊥平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【解析】(1)因为AD∥BC,所以∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角,因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD,在Rt△PDA中,AP=,所以cos∠DAP=,所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD,又因为AD∥BC,PD⊥BC,又PD⊥PB,BC∩PB=B,所以PD⊥平面PBC.(3)过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,在Rt△DCF中,可得DF=在Rt△DPF中,sin∠DFP=所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.1234方法总结易错提醒核心素养核心知识逻辑推理：线面垂直的的综合应用中的相互转化问题线面垂直的判断方法：（1）基本事实4；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）线面垂直的性质定理；直线与平面垂直（二）（1）注意线面垂直关系应用中的转化思想（2）注意求直线到面的距离、平行平面间的距离时转化思想的应用性质定理平行平面间的距离直线到面的距离应用课堂素养达标1.已知直线a,b,平面α,且a⊥α,下列条件中,能推出a∥b的是 (

)A.b∥α B.b⊂αC.b⊥α D.b与α相交【解析】选C.由线面垂直的性质定理可知,当b⊥α,a⊥α时,a∥b.2.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是 (

)

A.EF⊥平面α B.EF⊥平面βC.PQ⊥GE D.PQ⊥FH【解析】选B.因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.3.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 (

)A.相交 B.平行C.异面 D.相交或平行【解析】选B.由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们平行.4.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件________时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)

【解析】只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.答案:VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏3.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 (

)A.相交 B.平行C.异面 D.相交或平行【解析】选B.由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们平行.2.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是 (

)

A.EF⊥平面α B.EF⊥平面βC.PQ⊥GE D.PQ⊥FH【知识生成】1.直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线_____符号语言

⇒_____图形语言

作用证明两条直线_____平行a∥b平行关键能力探究探究点一直线与平面垂直的性质的应用【典例1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC,求证:MN∥AD1.

【思维导引】两直线垂直于同一平面⇒两直线平行.2.本例中把条件“MN⊥平面A1DC”改为“M是AB的中点”,求证:MN⊥平面A1DC.【证明】连接A1M,CM,取CD中点P,连接NP,MP,由正方体AC1,M,N为中点,则A1M=CM,所以MN⊥A1C.又