专题21圆（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练

专题2.1圆（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】点和圆的位置关系：点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，；【知识点二】圆心角、弧、弦、弦心距的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【知识点三】垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【知识点四】圆周角定理：圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径.推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.【知识点五】直线和圆的位置关系：直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为，圆的半径为）相交：直线与圆有两个公共点，；相切：直线与圆有一个公共点，；相离：直线与圆无公共点，.【知识点六】切线定理：切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定方法：（1）直线与交点个数；（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定理.【知识点七】切线长定理：切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线是这两条切线的夹角.【知识点八】弦切角定理：弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上.【知识点九】确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.【知识点十】外心：外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等.锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半.【知识点十一】内心：内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2..三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则.直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则.【知识点十二】相交弦定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图1，是的两条弦且交于点，则.图1图2图3【知识点十三】切割线定理：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图2，是的切线，线段交于两点，则.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图3，线段交于两点，交于两点，则.【知识点十四】正多边形、弧长与扇形面积：正变形的圆心角为度.弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为.如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为.如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为.【考点目录】【考点1】圆的对称性➼➼➻圆及其相关概念【考点2】垂径定理➼➼➻定理的理解及证明与求值【考点3】圆心角与圆周角➼➼➻利用定理进行证明与求值【考点4】圆的确定➼➼➻四点共圆及圆的确定条件的理解【考点5】直线与圆的位置关系➼➼➻切线性质与判定的理解及综合【考点6】弧长与扇形面积➼➼➻用公式求值与证明【考点7】正多边形与圆【考点一】圆的对称性➼➼➻圆及其相关概念【例1】（2023上·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，、、．

（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______；（2）这个圆的半径为______；（3）直接判断点与的位置关系．点在______（内、外、上）；（4）在方格中，连接，，，将以原点O为位似中心，缩小为原来的，请在方格纸中画出缩小后的图形．【答案】（1）；（2）；（3）内；（4）见分析【分析】本题主要考查与圆有关的作图，垂径定理、点与圆的位置关系和位视变化，（1）连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点M即为圆的圆心点，由图即可求得点M的坐标；（2）连接，利用勾股定理得，即为圆的半径；（3）连接，由勾股定理得的长，与半径做对比即可判定与圆的位置关系；（4）根据位视的性质作图即可；（1）解：如图，

连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点M，则点M即为经过点A、点B和点C三点的圆弧所在圆的圆心点，M的坐标为；（2）连接，由勾股定理得，，则这个圆的半径为；（3）连接，由勾股定理得，，则点在内；（4）如图上图，即为所求；【举一反三】【变式1】（2019上·江苏泰州·九年级阶段练习）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，综上所述，四个说法中正确的只有1个，故选：A．【点拨】本题考查圆中有关定义，能够熟练掌握圆的有关知识是解答本题的关键．【变式2】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图，P是的直径延长线上一点，点D在上，交于点C，且，如果，则．

【答案】/度【分析】连接，根据圆的基本性质和已知可求得，则，再结合三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解．熟练掌握三角形外角的性质、等边对等角、圆的基础知识是解题的关键．解：连接，

∵，∴，∴∴∴.故答案为：【考点二】垂径定理➼➼➻定理的理解及证明与求值【例2】（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，都是的半径，．

（1）求证：；（2）若，求的半径．【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论；（2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可．解：（1）证明：∵，∴，∵，∴，，．（2）解：过点作半径于点，则，，∴，，，，在中，，在中，，，，即的半径是．

【点拨】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．【举一反三】【变式1】（2022·重庆·重庆八中校考一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，⊙O的半径为2，则△AOC的面积为（）A． B．2 C．2 D．4【答案】C【分析】根据垂径定理求出CE=CD=AC，则在Rt△ACE中存在特殊角，即∠CAO=30°，∠ACE=60°，根据OC=OA=，得到∠CAO=∠ACO=30°，则有∠OEC=30°，则在Rt△OCE中有OE=OC=，CE=OE=，则△AOC的面积得解．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴直径AB平分弦CD，E为CD中点，∴CE=CD=AC，∴∠CAO=30°，∴∠ACE=60°，又∵OC=OA=，∴∠CAO=∠ACO=30°，∴∠OEC=30°，∴Rt△OCE中有OE=OC=，CE=OE=，则△AOC的面积为：，故选：C．【点拨】本题主要考查了垂径定理以及解特殊直角三角形的知识，灵活运用垂径定理是解答本题的关键．【变式2】（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为cm．【答案】【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理和圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，，，，，，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．【考点三】圆心角与圆周角➼➼➻利用定理进行证明与求值【例3】（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证；（2）当时，求CE的长．【答案】（1）见分析（2）【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得，再由对顶角相等得，故可证明绪论；（2）根据可得由可得出连接AE，可证明，得出代入相关数据可求出，从而可求出绪论．解：（1）∵所对的圆周角是，∴，又，∴；（2）∵△是等边三角形，∴∵，∴∴∵∴，∴∴连接如图，∵∴∴∠又∠，∴△∴，∴∴，∴（负值舍去）∴，解得，【点拨】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2021·广东佛山·校考一模）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（

）A．25 B．25 C． D．【答案】D【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC=∠BOC=60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．解：连OC，如图，∵C是的中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=60°，又∵OA=OC=OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴S四边形AOBC=．故选：D．【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质．【变式2】（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则∠B=度；的值等于．【答案】36【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE=∠DEA，证出∠BEC=∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO=∠BCO，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，证出∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∠CEB=2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO=x，EC=OC=OB=a，得出a2=x（x+a），求出OE=a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．解：∵AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴∠BEC=∠BCE，∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO=∠BCO，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∴∠CEB=2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠B=36°；∵∠ECO=∠B，∠CEO=∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴，∴CE2=EO•BE，设EO=x，EC=OC=OB=a，∴a2=x（x+a），解得，x=a（负值舍去），∴OE=a，∴AE=OAOE=aa=a，∵∠AED=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴△BCE∽△DAE，∴，∴．故答案为：36，．【点拨】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【考点四】圆的确定➼➼➻四点共圆及圆的确定条件的理解【例4】（2022上·广东广州·九年级统考期末）在正方形中，点在射线上（不与A、重合），连接，以为对角线作正方形（、、、按逆时针排列），连接、．（1）如图，当点在线段上时，求证：；（2）由正方形的性质可知，即，两点均在以为直径的同一个圆上，请直接回答：_________；（3）如备用图，当点在线段上时，判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见详解；（2）45；（3），理由见详解【分析】（1）证明，从而命题得证；（2）证得点、、、共圆，从而得出结论；（3）作交于，，进一步命题得证；解：（1）证明：四边形和四边形是正方形，，，，，，在和中，，，；（2）解：，点、、、共圆，；故答案为：45；（3）解：如图1，，理由如下：作交于，，，，由（1）（2）知：，，，，，，在和中，，，，，．【点拨】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．【举一反三】【变式1】（2023上·湖北武汉·九年级校考期末）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线上，由图可知线段的垂直平分线经过点，由此可得，过点M作于点D，连接，由勾股定理求出的长即可．解：设的外心为M，、，M必在直线上，由图可知，线段的垂直平分线经过点，，如图，过点M作于点D，连接，中，，，由勾股定理得：，即外接圆半径的长为．故选D．【点拨】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出外心的位置是解题的关键．【变式2】（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）已知在中，，，则的外接圆的半径是．【答案】【分析】通过作辅助线，可将求外接圆的半径转化为求的斜边长，再利用等腰三角形的性质即可．解：如图，作，垂足为D，则O一定在上，∴，设，即，解得．故答案为：．【点拨】此题主要考查等腰三角形外接圆半径的求法，正确利用勾股定理以及等腰三角形的性质是解题关键．【考点五】直线与圆的位置关系➼➼➻切线性质与判定的理解及综合【例5】（2022·宁夏·中考真题）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．（1）求证：直线是的切线；（2）求证：；（3）若，，求的长．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明ODAC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．解：（1）证明：连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴ODAC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．（2）证明：线段是的直径，，∴∠ADM＝180°－∠ADB＝，∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等边三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．【点拨】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022·广东深圳·统考中考真题）如图所示，已知三角形为直角三角形，，BC为切线，为切点，为直径，则和面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算即可．解：如图取中点O，连接．∵是圆O的直径．∴．∵与圆O相切．∴．∵．∴．∵．∴．又∵．∴．∵，，．∴．∴．∵点O是的中点．∴．∴．∴故答案是：1∶2．故选：B．【点拨】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．【变式2】（2022·江苏盐城·统考中考真题）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则°．【答案】35【分析】连接并延长，交于点，连接，首先根据圆周角定理可得，再根据为的切线，可得，可得，再根据圆周角定理即可求得．解：如图，连接并延长，交于点，连接．为的直径，，，为的切线，，，，．故答案为：35．【点拨】本题考查了圆周角定理，切线的性质，作出辅助线是解决本题的关键．【考点六】弧长与扇形面积➼➼➻用公式求值与证明【例6】（2022·福建·统考模拟预测）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．（1）求证：；（2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．【答案】（1）证明见分析；（2）【分析】（1）根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案；（2）连接，由（1）中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．解：（1）证明：∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，∴．（2）解：连接，如图，由（1）得，∵，∴，∴的长．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．【举一反三】【变式1】（2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据折叠，，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积菱形的面积，即可解：依题意：，∴∴四边形OACB是菱形∴连接OC∵∴∴是等边三角形同理：是等边三角形故由三线合一，在中：故选：B【点拨】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形【变式2】（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是（结果保留）【答案】【分析】如图，连接OD，OE，证明可得再证明可得再利用弧长公式进行计算即可．解：如图，连接OD，OE，∵∴∵与边AB相切于点D，∴∴的长故答案为：．【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的性质，三角形的内角和定理的应用，弧长的计算，求解是解本题的关键．【考点七】正多边形与圆➼➼➻求值与证明【例7】（2020·四川雅安·中考真题）如图，四边形内接于圆，，对角线平分．（1）求证：是等边三角形；（2）过点作交的延长线于点，若，求的面积．【答案】（1）见分析；（2）；【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠ADC=120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB=60°，∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，∴△ABC是等边三角形；（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD=90°∵∠ADC=120°，∴∠ADM=60°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD=1，AM=，∵CD=3，∴CM=CD+DE=1+3=4，∴S△ACD=CDAM=×3×=，在Rt△AMC中，∠AMD=90°，∴AC=，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=，∴BN=，∴S△ABC=××=，∴四边形ABCD的面积=+=，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC=180°，∵