2022年中考数学复习：三角形与四边形综合 模拟试题汇编（含答案）

2022年中考数学专题复习：三角形与四边形综合模拟试题精选汇编

1.(2021•石家庄一模)如图，在边长为6的正方形*38中，点”为对角线3。上任

意一点(可与其。重合)，连接，"，将线段绕点/逆时针旋转90。得到线段

AN,连接朋V,DN,设BM=x.

(1)求证：4ABMQXADN-,

(2)当x=\历时，求"/V的长；

(3)嘉淇同学在完成(1)后有个想法：与也会存在全等的情况”，

请判断嘉淇的想法是否正确，若正确，请直接写出△48”与全等时x的值；若

不正确，请说明理由.

2.(2021•新华区模拟)如图，在中，/力。3=90°,AC=3,BC=4.动

点。从点/出发，以每秒3个单位长度的速度沿AC-CB-BA方向绕行一周，

动直线/从力C开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交48、BC千D、E

两点.当点尸运动到点力时，直线/也停止运动.

(1)求点尸到的最大距离；

(2)当点P在/。上运动时，

①求tan/a?E的值；

②把△ODE绕点E顺时针方向旋转，当点尸的对应点P落在即上时，皿的对应线

段ED恰好与垂直，求此时f的值.

(3)当点尸关于直线。后的对称点为"时，四边形也的能否成为菱形？若能，直接

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写出£的值；若不能，请说明理由.

3.(2021•裕华区模拟)如图，在矩形/笈8中，AB=8,BC=\2,点H在48上，

AE=5,尸是4D上一点，将矩形沿/石折叠，点”落在点4处.连接力G与咫相交

(2)若点4在NA4C的平分线上，求尸。的长；

(3)求点4,。距离的最小值，并求此时tanN/总的值;

(4)若点4在△月4。的内部，直接写出x的取值范围.

4.(2021•新华区模拟)已知：如图，。488中，E为。。的中点，连接/E并延长交

的延长线于点尸，连接力。、DF.

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(1)求证：AD=CF-,

(2)嘉琪说：“添加一个条件，能使四边形力是矩形“，你是否同意嘉琪的观点?

如果同意，请添加一个条件，并给出证明；如果不同意，请说明理由.

5.(2021•邯郸模拟)如图1,图2中，正方形的边长为6,点尸从点B出发沿

边BC-CD以每秒2个单位长的速度向点。匀速运动，以期为边作等边三角形BPQ,

使点。在正方形月B8内或边上，当点。恰好运动到40边上时，点尸停止运动.设

运动时间为f秒(f>0).

(1)当t=2时，点。到BC的距离=;

(2)当点尸在边上运动时，求。。的最小值及此时f的值；

(3)若点。在力。边上时，如图2,求出f的值；

(4)直接写出点Q运动路线的长.

6.(2021•蚌埠模拟)在中，^BAC=90°,。是3C的中点，E是40的中

点，过点力作/歹//3。交BE的延长线于点足

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(1)证明四边形力。。尸是菱形；

(2)若/。=4,43=5,求菱形力。。户的面积.

7.(2020•黄埔区模拟)如图，正方形488,点E,尸分别在力。，8上，且DE=

CF,力尸与BE相交于点G.

(1)求证：BE=AF;

(2)若40=4,DE=\,求/户的长.

8.（2021•新泰市模拟）在Rta/BC中，N/CB=90°,AC=BC,ZCAB=ZCBA

=45°,。为B。上一点，连接力。，过点。作CE14D于点E.

(1)如图1,过点B作用11BC交CE的延长线于点"，求证：XACD^XCBF：

(2)如图2,若。为6。的中点，的延长线交月B于点“，连接。跖求证：/

BDM=ZADC-,

(3)在(2)的条件下，若/反=4,CE=2,直接写出C"的长.

9.(2021•昆山市模拟)如图，在△月3。中，AB=CB,AABC=9G°,。为月B延长

线上一点，点E在边上，旦BE=BD,连接/E,DE,DC.

(1)求证：△ABE^XCBD、

(2)若NC4E=30°,求的度数.

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A

10.（2021•蓬安县模拟）如图，在△/BC和△08中，//=/。=90°,AC=BD,

力。与3。相交于点O.

（1）求证：4AB8XDCB，,

（2）△O3C是何种三角形？证明你的结论.

11.（2021•南海区模拟）如图，在△/B。中，/3=力。，点。是5。的中点，点E在

AD±.求证：跳MCE（要求：不用三角形全等的方法）

12.（2021•碑林区校级四模）如图所示，点后在△月3。外部，点。在6。边上，DE交

ZC于尸，若Nl=N2=/3,AD=AB,求证：AC=AE.

13.（2021•兴平市一模）如图，在△力3C中，ZC=90°,力。平分/C4B,交。3于

点。，过点。作。E14B于点E.

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(1)求证：AC=AE\

(2)若/。=3,43=5,求的长.

14.(2021•竞秀区一模)如图，平行四边形中，AB=9,AD=13,tam4=背,

5

点尸在射线力。上运动，连接阳，沿/汨将△月咫折叠，得△APB.

(1)如图1,点尸在线段力。上，当N。/%'=20°时，2APB=度；

(2)如图2,当必」5。时，求线段%的长度；

(3)当点/'落在平行四边形的边所在的直线上时，求线段E4的长度；

(4)直接写出：在点尸沿射线力。运动过程中，的最小值是多少？

图1图2

15.(2021•皇姑区二模)如图，矩形/BCD的对角线交于点。，且DEIIAC,

CEIIBD.

(1)求证：四边形。。即是菱形；

(2)若NA4C=30°,AC=4,求菱形0c班的面积.

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参考答案

1.（1）证明：在正方形ASC。中，AB=AD,

由旋转的性质知：AM=AN,

；NBAD=/MAN=90°,

ZBAM=ZDAN,

在和

，AB=AD

"ZBAM=ZDAN,

AH=AD

：.4ABM9/\ADN<SAS）.

解：（2）是正方形/BCD的对角线，且/B=6,

••.BD=6V2»/月叱=45°,

ND=BD-BM=65/2-&=572,

由△力7VD得：ND=BM=V2,^ADN=AABM=45°,

ZMDN=ZADB+Zy17VL>=450+45°=90°,

在Rt^MCW中，MN=VMD2+ND2=7（5V2）2+（V2）2=V52=2'/13-

（3）正确；x=3V2.

理由如下：

如图：当/ML3。，易得△力3〃和a/izw是全等的等腰直角三角形，

ANDA=AAJ3M=45°,AN=AM,

I,正方形中，/_ADB=/_ABD=\^,

:.Z.NDM=90",

ZNAM=ZAMD=ZZNDM=90°,

四边形AMDN为矩形,

又，：AN=AM,

.•.矩形力朋LW为正方形，

:ANMD^XDAN<SAS）,

」.△TVMZ注（全等传递性），

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此时/lAf=-^-BD=-1-X6V^=3&.

当△月BAf与△MV。全等时x=3瓜

2.解：(1)当点P与点。重合时，点P到4S的距离最大,

设Rt△月B。斜边45上的高h,

•••//。3=90°,AC=3,BC=4,

^=VAC2+BC2=V32+42=5，

•••△/反?的面积=%良;2=方力。衣。，

.,AC-BC3X412

..n=------=-----=—,

AB55

即点尸到的最大距离是1昔9；

b

(2)①当点尸在/。上运动时，

设运动时间为fs,则有4P=3。CE=t,

•.,直线////。，

ZPDE=ZAPD,

如图1,过点。作OG1/C于点G,则四边形CH0G是矩形,

DG=CE=t,PG=AP-AG=3t-AG,

DGBC

tanA==

AG-AC

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._L_1

一AG-3，

•*.AG=^ty

4

3g

44

...tan/APD=^-=^~而，

铲

EPtanZPDE=^-;

y

（2）---EDLAB,

：.ABED+AB=90°,

•••/Z+NB=90°,

：.£BED=/.A,

•直线///月G

.,・直线UBG

：.ACEP^-APED=9Q°,乙PED+乙BED=9B°,

由旋转的性质，得：LPED=^PED,

：.ZCEP=/_BED,

ZCEP=N/,

又,：£ECP=LACB,

:ACEP^XCAB,

,CEPC

"AC=BC?

Q

解得：

XO

(3)四边形电的能成为菱形，理由如下：

.・•点尸是点尸关于直线。名的对称点，

垂直平分PF,

•••当依也垂直平分时，四边形PEFD为菱形.

•.•直线////C,

XDBEsXABC,

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瓯

=

DE一正

Ac

DE

4-1

3

4

：

2所示

如图

接本

时，连

。上

在月

点尸

①当

,

-3f

=3

点。£

,则有

分DE

直平

尸垂

若。

3

-3f,

）=3

（4T

.•噂

o

4

：t等

解得

形;

成四边

，构不

x轴上

都在

三点

、E

P、F

时，

6。上

点尸在

②当

时，

A4上

点尸在

③当

：

3所示

如图

跳；

连接

侧，

/的右

直线

。在

若点

3

3

-7）,

4（3t

-t）=

v（4

得：

①可

类比

b

o

；

：啮

解得

；

边形

凸四

不成

点构

。四

、F、

P、E

侧，

/的左

直线

尸在

若点

形.

为菱

EFD

形P

四边

时，

或黑

f为言

，当

所述

综上

页

共25

0页

第1

•.・四边形是矩形，

••."=90°,

-：AJ3=8,BC=12,

•■•^c，=VAB2+BC2=V82+122=4Vi3-

故答案为：4Ji

(2)如图1中，,•・44'平分NA4C,

：./_EAA'=/_FAA',

由翻折可知，AA,工EF,

：./_EAA'+£AEF=9(r,/.AFE+Z.FAA'=90°,

£AEF=£AFE,

：.AE=AF=5,

：.CF=AC-AF=45/13-5.

(3)如图2中，连接。区DA'.

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图2

在RtAADE中，/EAD=9G°,AE=5,AD=BC=V2,

•'•^=VAE2+AD2=V52+122=13，

-：EA=EA'=5,

：.DA'>DE-EA'=8,

■.DA'的最小值为8,

此时E,A',。共线，设R4=E4'=x,则有(12-力2=弟+82,

解得x=¥，

tanZAPE==IO_=春.

Ar-z-N

(4)如图3-1中，当点4落在/C上时,

图3-1

•.•/4£74/屈4。=90',N/CB+N及4c=90°,

：.£AEP=£ACB,

tanZAEP=tanZACB,

PA=AB

-AE

B8C

P5A-

=

12

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•・"当

如图3-2中，当点4落在3。上时，过点P作PHLBC于H,贝I］勿=40=8,PA

图3-2

在RtZ\6£>r中，BE=3,EA'=胡=5,

­•BA，=7A7E2-BE2=V52-32=4，

-：/_B=/_EA'P=/_PHA'=90°,

：./_BA'E+/.PA'7/=90°,/_PA'H+/_A'9=90°,

E=NA'PH,

:ABA'ES/\HPA，,

.BE_BAy

,,NH~PH'

,3_4

"A7H、'

.-.A'H=6,

：.AP=BH=BA'+A'H=10.

观察图像可知当芈<xvl。时，点4在△48。的内部.

4.证明：（1）,四边形ZB8是平行四边形，

：.ADIIBC,AD=BC.

ZDAE=ZCFE,/_ADE=/_FCE,

・・・E为。。的中点，

ED=EC.

：AADE^/\FCE〈AAS）,

：.AD=CF.

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（2）答：同意.

当。。=/歹时，四边形力。功>是矩形.

理由如下:

■：AD\\CF,AD=CF,

，四边形/。/刃是平行四边形.

■：DC=AF,

四边形/。阳是矩形.

5.解：（1）如图1,由运动知，BQ=2t=4,

过点。作QHLBC于H,

•.•△6PQ是等边三角形,

；.BP=BQ=4,±PBQ=6G°,

在Rt△班归中，PH=BP>sin£PBQ=4X号=2弧,

故答案为2M;

解：（2）点尸在BC边上运动时，有/变。=60°,

根据垂线段最短，当CQL3Q时，CQ最小.

如图，在直角三角形BC0中，NQBC=6G：

23。。=30°

•••^<2=yBC=3

:.BP=BQ=3,

-'-t=2

CQ=B（2*tanZQBC=35/^;

(3)若点。在月。边上，则C尸=2£-6,

•：BA=BC,BQ=BP,ZA=ZC=90°,

••・RtZ\A4Q^RtZ\BCP(HL)

\AQ=CP=2t—6,

:.DQ=DP=\2-2t,

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•：BP=PQ,

在Rt2\PD0和RtZ\BC尸中，由勾股定理可得，D(f+DI^=Q户,BC?+C9=B/

：.2(12-2。2=62+(2f-6)2

解得：11=9+3百(不合题意，舍去)，t2=9-3V3

.-.t=9-3V3;

AQ'D

(4)如图,

B

当点。在6C上从点6运动到点。时，点。从点3运动到点Q,

•.•△加。是等边三角形，

：.BQ=BC,£QBC=60°

当点尸在8上从点。运动到如图所示的点尸时，点。从如图所示的点Q运动到Q,

・・.△3PQ是等边三角形，

：.BP=BQ,/PBQ=60°=ZQBC,

：.ZPBC=ZQBQ,

•：BQ=BC,

:ABQQ9XBCP,

:.QQ=CP,

•・・点。的运动路线长等于点。的运动路线长，

由⑶知，U9-3百，

..•点。的运动路线长等于2(9-3加)=18-673

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AD

1/\|

B图1C

6.(1)证明：如图，-：AFIIBC,

ZAFE=ZDBE,

••,E是4D的中点，40是8。边上的中线,

/.AE=DE,BD=CD,

在△4FE和△OBE中，

，ZAFE=ZDBE

,ZFEA=ZBED,

AE=DE

：./\AFE^/\DBE(AAS);

：.AF=DB.

■：DB=DC,

：.AF=CD,

•••四边形是平行四边形，

•.•/期。=90°,。是的中点，

：.AD=DC=^BC,

四边形40。户是菱形；

(2)解：连接。月

■：AFHBC,AF=BD,

四边形/囱卬是平行四边形，

：.DF=AB=5,

••,四边形尸是菱形，

：.S=^-AODF=\G.

2

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：.ABAE=/_ADF=90Q,AB=AD=CD,

,:DE=CF,

・・.AE=DF,

在△A4E和9中，

'AB=AD

<ZBAE=ZADF,

AE=DF

：.j\BAE^/\ADF(SAS),

；,BE=AF・,

(2)解：••・4B=4,四边形4s8是正方形，

.\AD=4,

•・・DE=1,

.\AE=3,

BE=^AB2+AE2=742+32=5»

4BAE^4ADF,

：.BE=AF=5.

8.(1)证明：.•.4914C,CELAD,

：.ZAEC=ZCBF=ZACB=90°,

:.NCAIXNACE=NBCRNACE=9G°,

ZCAD=ZBCF,

又♦.•/C=3C,

.'.^ACD^^CBF(ASA);

(2)证明：过点B作成'18。交CH的延长线于点F,如图2所示:

由(1)得：XACD^XCBF,

：./_ADC=AF,CD=BF,

YD为BC的中点，

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CD=BD,

:.BD=BF,

AACB=90°,AC=BC,

.\^ABC=45°,

•・"CB斤=90°,

：〃FBM=90°-45°=45°,

/.ZDBM=ZFBM,

又

：.l\BDM^/\BFM（SAS）,

・•.ZBDM=ZF,

・,.ZBDM=ZADC;

（3）解：连接。区如图3所示：

-：CE\_AD,AE=4,CE=2,

22=

BC=AC=7AECEV42+22=2收，

由（2）得：BD=BF,CD=BD=^BC=yf5,/\BDM9/\BFM,

22=

：,DM=FM,^=7AC-K：D7（2V5）2+（V5）2=5>

:.DE=AD-AE八

,:NDBF=9G°,

是等腰直角三角形，

DF=\^10>

22=

^=VDF-DEV（V10）2-l2=3，

设DM=FM=x,贝I」EM=3-x,

在中，由勾股定理得：12+（3-x）2=/，

R

解得：x=—,

54

••・石河=3一』=W，

33

410

・•.CM=CE+EM=2+W='

33

第18页共25页

c

JD

9.(1)证明:

•••/4SC=90°,

ZZ?BC=90°,

在和△C3Z5中

'AB=CB

<ZABE=ZCBD

BE=BD

:.XABE^XCBD(SAS);

(2)解：

■：AB=CB,N/3C=90°,

Z5G4=45°,

：.AAEB=/_CAE+/_BCA=300+45°=75°,

,:XABE^XCBD,

:.乙BDC=LAEB=N5°.

10.证明：(1)在△/BC和△08中，//=/。=90°

AC=BD,BC为公共边，

；.Rt△月BgRtZXOCB(HL);

(2)△O3C是等腰三角形,

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•・・RtZ\40C9Rt△。困

・・・2ACB=2DBC,

/.OB=OCy

「.△OB。是等腰三角形.

11.证明：.・.48=4。，点。是3。的中点,

：.ADA_BC,BD=CD,

BE=CE,

12.解；如图所示:

•：ABAC=+ADAC,

/.DAE=/.2+Z.DAC,

：.Z.BAC=/_DAE,

又•.22+//收+/E=180°,

Z3+ZPFC+ZC=180°,

Z2=Z3,ZAFE=