考点08 同角三角函数的基本关系与诱导公式-2022年高考数学（文）一轮复习考点微

考点08同角三角函数的基本关系与诱导公式

1.（2017•全国高考真题（文））函数负x）=」sin（x+三）+cos（x-£）的最大值为

536

6人31

A.—B.1C.-D.一

555

【答案】A

【详解】

函数/（X）的最大值为

所以选A.

【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换

把函数化为y=Asin（s+9）+3的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、

函数名、结构等特征.

2.（2020•全国高考真题（理））若a为第四象限角，则（）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

【答案】D

【分析】

由题意结合:倍角公式确定所给的选项是否正确即可.

【详解】

方法一：山a为第四象限角，可得——+2k7i<a<2TT+2k7i,k&Z,

2

所以3〃+或兀<2a<4〃+4卜兀,keZ

此时2a的终边落在第三、四象限及>轴的非正半轴上，所以sin2c<0

故选：D.

TC

方法二：当。=一一时,cos2a=cos---->0,选项B错误;

6I3）

7t

当a=—时,cos2a=cos选项A错误;

3

由a在第四象限可得：sina<0,cosa>0,则sin2a=2sinacosa<0,选项C错误，选项D正确；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计

算求解能力.

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2a=1.

(2)商数关系：；'n/-=(anafay?+far,ZCZ).

cosa\乙j

2.三角函数的诱导公式

公式—•二三四五六

兀J

角2E+a（攵£Z）兀+。~a兀-a2~a2i«

正弦sina-sina一sinasinacosacosa

余弦cosa"cosacosa-cosasina—sina

正切tanatana-tana-tana

口诀奇变偶不变，符号看象限

1.（2020•福建福州市•高三月考）sinl55°sin55o-cos25ocosl25o=（）

1

AGRC.—D.B

2222

已知cos(W-a]+cos(乃+。)=应，则tana+―—=()

2.（2021•安徽高三其他模拟（文））

<2)tana

A.2B.-2C.-D.3

3

3.(2021•四川攀枝花市•高三一模(文))已知cos(5+a)=-2cosa,tanl^-ezj=()

C1

A.-3B.——C.-D.3

33

4.（2021•云南高三其他模拟（文））已知cos［尤一（）=（,则cos彗-x）=（）

4

A.

5

5.（2021•黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））当。€（0,兀）时，若cos（g-，）=一|,则sin（e+W）

的值为（）

4443

A.---B.—C.±—D.—

5555

6.（2020•正阳县高级中学高三月考（文））0.618被公认为是最具有审美意义的比例数字，是最能引起美感

的比例，因此被称为黄金分割.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在

V5-lfV5-l）

生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.他认为底与腰之比为黄金分割比*/三一”0.618的黄金

2I2J

三角形是''最美三角形”，即顶角为36。的等腰三角形，例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”

与一个正五边形组成的，如图，在其中一个黄金AAHC中，黄金分割比为生.根据以上信息，计算

sin1674°=()

A

B

3+75逐+12V5-14+小

A.DR.---------------------

8448

7.（2020•全国高三专题练习（文））若角A,B,C是8c的三个内角，则下列等式中一定成立的是（

)

A.cos(A+B)=cosCB.sin(A+B)=-sinC

AD.sinkc"

C.cos(y+C)=sinB

22

a=—g,且cosa<0,则sin(7i+a)=()

8.（2020•全国高三专题练习（文））若tan

B一述D,速

A.C

55-f5

,则cos(x7121\

9.（2020•江西省信丰中学高三月考（文））已知cos+sin)

A・考

B.-1C.0

sin(二一")+cos(7一a)、

10.（2020•西藏拉萨市•拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））设tana=3,则.TC71

sin——a+cos一+a

2)2)

()

A.3B.2C.1D.-1

已知sin（a+2）=’,则cos（色-a）的值等于（）

11.（2020•全国高三专题练习（文））

434

2&2V211

A.RC.—D.——

r333

12.(2020•全国高三专题练习(文))设函数〃x)=sin—x-^-0—\[3-x+6)且其图象

关于y轴对称，则函数y=/(x)的一个单调递减区间是()

13.(2020•重庆八中高三月考(文))已知。是第三象限角，且COS(»+6)=；,则tan，=()

A.当B.2C.25/2D.Ji。

14.(2020•湖北十堰市♦(文))如果两个方程的曲线经过若干次平移或对称变换后能够完全重合，则称这两

个方程为“互为镜像方程对“，给出下列四对方程：

③炉=4y与y?=4x④>=/与丁=》3-3%2+3%+2

则“互为镜像方程对''的是()

A.①②③B.①③©C.②③④D.①②(§)④

TT

15.(2016•上海高考真题(文))设aeH,。6[0,2乃].若对任意实数*都有豆11(3%-1)=411(3:+份，则

满足条件的有序实数对(a,b)的对数为.

16.(2013•全国高考真题(文))已知sin2a2，则cos2(a+-)=(

34

]_

3

17.(2008•陕西高考真题(文))sin330°等于

3]_

A.B.C.D.

2222

18.(2010•全国高考真题(理))记cos(—80°)=3那么tanl(X)0=

71-A:2k

口。一声

k

57ri

19.(2013•广东高考真题(文))已知sin(y+a)=—,那么cosa=

2112

A.一一B.——C.-D.

5555

cos(a-——)

20.(2015•重庆高考真题(理))若tana=2tan-,则--------支-=()

5•/万、

sin(cr-y)

A.1B.2C.3D.4

基础练

1.D

【分析】

利用诱导公式和两角和的正弦公式求解即可得答案.

【详解】

因为sin155°=sin(180°-25°)=sin25°,cos125°=cos(90°+35°)=-sin35°,

所以sin155°sin55°-cos25°cos125°=sin25°cos35°+cos25°sin35°

=sin(25°+35。)=sin60。=4.

故选：D.

2.A

【分析】

用诱导公式化简，平方后求得sinacosa,求值式切化弦后易得结论.

【详解】

+cos(»+a)=^2,/.—sina-cosa=播

即sina+cosa=->/2,(sina+cosa)2=2,sinacosa--.

2

sinacosa1

二・tana+------=-------H—:--=-------—2,

tanacosasinasinacosa

故选：A.

3.B

【分析】

山诱导公式对条件化简求得tana=2,根据两角差的正切公式，代入问题里面，求得结果即可.

【详解】

71

cos—+a=-sina=-2cosa=>tana=2,

71

tan----tana1-21

则tan4

1+tan—冗­tana1+23

4

故选：B

4.B

【分析】

注意到？47-r一人=》一(卜-7T9T\，用诱导公式求解.

3

【详解】

71713

7T-x~~=-cosX——

I375

故选：B.

提升练

5.B

【分析】

先求得的取值范围，再由同角三角函数的平方关系可得sin[1--ej的值，最后由诱导公式，得解.

【详解】

解：•.•。€（0,兀），

2兀_（兀2兀）

3133J

（2TI327rzi，兀2兀、

<3）53U3）

（2n4

..sin----0,

13）5

..以幻.「（lit.（lit、4

..sin0+—=sin兀-----夕J]=sin——6——.

\3/\3JJ\3）5

故选：B.

【点睛】

方法点睛：三角恒等变换求值，常用的方法有：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.要根据已知

条件灵活选择方法求解.

6.B

【分析】

=垦1,然后由诱导公式求解.

利用正弦定理及正弦的：倍角公式求得cos36。

4

【详解】

sinABAC_sin36°_sin3601小-

在AABC中，由正弦定理可得一=

ACsinZABCsin7202sin36°cos3602cos3602

o

：.cos36=-=J—=sin16740=sin(4x360°+234°)=sin234°=sin(180°+54°)=

75-14

-sin54°=-sin(90°-36°)=-cos3€

4

故选：B..

【点睛】

关键点点睛：本题考查正弦定理和正弦的二倍角公式，考查诱导公式.本题考查关键是利用正弦定理把三

角函数值与黄金分割比联系起来，得cos36。=苴±L

4

7.D

【分析】

利用三角形的内角和公式、诱导公式逐一判断各个选项中的式子是否成立，从而得出结论.

【详解】

解：：角A,B,C是AABC的三个内角，.•.4+8=万一€',，cos(A+8)=cos(〃-C)=-cosC,故排

除A；

又5抽04+8)=5抽(左一0=5111。，故排除8；

,/sinB+C=sin冗'=cos—,故。满足条件；

222

AA

由于u+C有可能为钝角，故cos(—+C)可能小于零，而sin3>0,故C不一定成立；

22

故选：D.

【点睛】

本题主要考查三角形的内角和公式、诱导公式的应用，属于基础题.

8.A

【分析】

利用三角函数的定义求出sina,再由诱导公式得出结论.

【详解】

；tana=-;，且cosa<0,所以a为第二象限角，

•••可在a终边上取一点P(-2,1),则|OP|=V5,

..]小../、.yf5

••sina=-=---，••sin(兀+a)=-sina=----

755''5

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，在sina,cosa,tana中已知一个三角函数值，可以在其终边上

取一点，利用三角函数的定义求解其他两个函数值.

9.A

【分析】

利用诱导公式将cos,结合已知条件即可得到

答案.

【详解】

cosfx-->l+sinf--x^cosf--x>l+sinf--X+—

I6jI3J<6){62J

f£_Af£_Xf£_^空

=cos16Jcos16J2cos16)

故选：A

【点睛】

本题考查利用诱导公式化简求值，考查计算能力，属于基础题.

10.B

【分析】

先利用诱导公式和三角函数的基本关系式，化简得到sma+c°sa=tana+1,代入即可求解.

sma-cosatana-l

【详解】

sin(a-〃)+cos(;r-a)__sina-cos。_sina+cosa

由诱导公式，可得.(兀、(7t\cosa-sinasina-cosa

sin1-2---a)+cos1—2+a

sina+cosa

二cosa_tana+l3+1=2

sina-cosatana-13-1

cosa

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函

数的诱导公式和基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

11.C

【分析】

'Jijrl

根据(a+2)+(A-a)=W，将所求式子中的角变换后，利用诱导公式变形后，将己知的等式代入即可求

442

出值.

【详解】

TT1TTTTTT7TI

因为sin(a+—)=-,所以cos(——a)=cos[—-(a+—)]=sin(a+-)=-.

故选：C.

【点睛】

本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键，属于基础题.

12.C

【分析】

根据辅助角公式把/(%)化为"x)=2sin(gx+e-q),由“力的图象关于y轴对称，且网<]，可

得。的值.求出八%)的解析式，即求其单调递减区间.

【详解】

/(x)=sin(；x+e)_Gc(好(；工+6)=25E(3尤+6-5)的图象关于,，轴对称,

乂网<奉二。=一

Zo

.../(x)=2sin(*?_])c1

=-2cos—x.

2

由2女万-7i<—x<2k兀,keZ,可得4k兀-2/r<x<4ki,keZ.

2

当左=0时，/(力的单调递减区间是[一2巩0],

・'•/(x)在(一宗―今)递减，

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数的辅助角公式、诱导公式和三角函数的性质,属于中档题.

13.C

【分析】

先由诱导公式得出cos。=一L,再由同角三角函数关系式得出sin。和tan0的值即可.

3

【详解】

cos（万+6）=-cos9=；,所以cos6=-；,又夕是第三象限角,

所以sind=-Jl-cos?0=一/一11）=-'

2」

所以tan0=si."=2-=2\[2.

cos0_£

"3

故选：C.

【点睛】

本题考查诱导公式及同角三角函数关系，考查计算能力，属于基础题.

14.B

【分析】

对于①，根据诱导公式化为同名函数后可知，y=cos(x+g)可以通过平移变换得到，所以①是互为镜像

方程对方程；

对于②，将y=lnV化为分段函数后，可知②不是互为镜像方程对方程；

对于③，两个函数的图象关于旷=%对称，所以③是互为镜像方程对方程；

对于④，利用差的立方公式变形可知，④是互为镜像方程对方程

【详解】

ITITIT77r77t

对于①，因为y=cos(x+—)=sin(x+—+—)=sin(x+——),所以将y=sinx向左平移——可得

5521010

y=cos(x+g),所以①是互为镜像方程对方程；

_9iif21nxx>0°

对于②因为y=lnf=21nx,、八，所以y=21nx的图象是y=ln/的图象的一部分，故

121n(-x)x<0

②不是互为镜像方程对方程;

对于③因为/=分与V=4x关于y=x对称，所以③是互为镜像方程对方程;

对于④因为y=/—3/+3x+2=(x—+3,所以将y=V的图象向右平移1个单位，再向上平移3个

单位可得y=1一3/+3x+2的图象，故④是互为镜像方程对方程.

故选：B

【点睛】

本题考查了诱导公式，考查了图象的平移变换和对称变换，考查了差的立方公式，属于基础题.

真题练

15.B

【详解】

试题分析：sin(3x--)=sin(3x--+2^)=sin(3x+—),能如翔=解，驾,

333署

又sin(3x一方)=sin[万一(3x—y)]—sin(-3x+,(a,h)—(-3,?)，

注意到be[0,2%),只有这两组.故选B.

【考点】三角函数

【名师点睛】本题根据三角函数