2024云南中考数学二轮专题复习 题型四 圆的相关证明与计算（课件）

题型四圆的相关证明与计算例如图①，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边BC相交于点D，与边AB相切于点E，AC＝AE，连接OA交⊙O于点F，连接CF并延长交线段AB于点G.例题图①典例精讲一题多设问(1)求证：AC是⊙O的切线；例题图①【思维引导】已知点E是切点，第一反应是连接OE，证明∠OCA＝90°即可．(1)证明：如解图①，连接OE，∵⊙O与边AB相切于点E，∴OE⊥AB，即∠AEO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AE，OC＝OE，∴△ACO≌△AEO(SSS)，∴∠ACO＝∠AEO＝90°，又∵OC是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；例题图①(2)若AB＝5，tanB＝，求⊙O的半径；【思维引导】由AB和tanB可求得△ABC各边的长，想办法将半径放入直角三角形中，利用勾股定理即可求解．(2)解：如解图②，连接OE，则OE⊥AB.∵tanB＝

＝

，∴设AC＝4x，BC＝3x，∵AC2＋BC2＝AB2，∴16x2＋9x2＝25，解得x＝1.例题图①例题图①∴BC＝3，AE＝AC＝4，∴BE＝AB－AE＝1，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，OB＝BC－OC＝3－r，∵OB2＝OE2＋BE2，∴(3－r)2＝r2＋12，解得r＝

，∴⊙O的半径为

；(3)若CD＝3BD，求sin∠OAB的值；【思维引导】题干中没有告诉长度，只有比值，故需要利用比值设未知数，在Rt△OAB中，用同一未知数分别表示出∠OAB所对的直角边和斜边即可求解．解图③(3)解：如解图③，连接OE，则OE⊥AB.设BD＝a，则CD＝3a，∴OE＝OC＝OD＝

，BC＝CD＋BD＝4a.∴OB＝OD＋BD＝

.∴BE＝＝2a.∵∠OEB＝∠ACB＝90°，∠OBE＝∠ABC，∴△BEO∽△BCA.∴

＝

.∴

＝

.解得AC＝3a.∴OA＝＝

a.∴sin∠OAB＝

＝

＝

；解图③(4)如图②，若F是OA的中点，CG＝3，求阴影部分的面积；例题图②【思维引导】阴影部分为不规则的两个图形，不能直接求，也没法拆分，想办法将阴影部分放在规则图形内，利用和差法求解．(4)解：如解图④，过点O作OM⊥CF于点M，M∵F是OA的中点，∠ACO＝90°，∴OF＝CF＝OC，∴△OCF是等边三角形，∠AOC＝60°，∴∠CAO＝∠BAO＝30°，∠AOB＝120°，∴∠B＝30°，∴∠CGB＝90°，∵CG＝3，∴BG＝CG＝3.易证△OFM≌△AFG，∴FM＝FG，∴CM＝FM＝FG＝1，∴OF＝CF＝2，OM＝.∵S△BCG＝

BG·CG＝

，S△OCF＝

CF·OM＝，S扇形DOF＝

×π×22＝

.∴S阴影＝S△BCG－S△OCF－S扇形DOF＝

－

；例题图②M(5)如图③，若G是AB的中点，连接EF，求证：CF＝GE.例题图③【思维引导】由边角关系将问题转化为证明∠EGF＝∠EFG.利用全等和等腰三角形的性质求证即可．(5)证明：如解图⑤，连接OE，由(1)可知△ACO≌△AEO，∴∠ACO＝∠AEO＝90°，∠AOC＝∠AOE，又∵OC＝OE，OF＝OF，∴△COF≌△EOF(SAS)，∴∠OCF＝∠OEF，CE＝EF，∵OC＝OF＝OE，∴∠OCF＝∠OFC＝∠OFE＝∠OEF.∴∠GFE＝180°－∠OFC－∠OFE＝180°－2∠OCF，∵G是AB的中点，∠ACB＝90°，∴CG＝AG＝BG，∴∠GCB＝∠GBC，∴∠EGF＝180°－∠GCB－∠GBC＝180°－2∠OCF，∴∠GFE＝∠EGF，∴EF＝EG，∴CF＝GE.例题图③1.

如图，已知⊙O的直径为10，AB、CD都是⊙O的直径，BE⊥CD于点F，交⊙O于点E，在CD的延长线上取一点P，使得∠C＝∠DEP，连接AE.(1)求证：EP是⊙O的切线；第1题图针对训练(1)证明：如解图，连接OE，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∴∠C＋∠CDE＝90°，第1题图∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∵∠C＝∠DEP，∴∠DEP＋∠OED＝90°，即∠OEP＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EP是⊙O的切线；(2)若∠BAE＝60°，求线段DE的长；第1题图(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠BAE＝60°，∴BE＝

AB＝5.∵CD为⊙O的直径，CD⊥BE，∴EF＝BF＝

BE＝

，∵OE＝

AB＝5，∴OF＝＝

＝

，∴DF＝OD－OF＝

，∴DE＝＝

＝5；(3)若CF＝2EF，求△DEP的面积．第1题图(3)解：设EF＝x，则CF＝2x，∵⊙O的直径为10，∴OF＝2x－5，在Rt△OEF中，OE2＝EF2＋OF2，即52＝x2＋(2x－5)2，解得x＝4或x＝0(舍去)，∴EF＝4，CF＝8，OF＝3，∴DF＝CD－CF＝10－8＝2，第1题图∵∠OEP＝90°，CD⊥BE，∴∠OEF＋∠FEP＝∠EPF＋∠FEP＝90°，即∠OEF＝∠EPF，又∵∠EFP＝∠OFE＝90°，∴△OEF∽△EPF，∴

＝

，即

＝

，解得PF＝

，∴PD＝PF－DF＝

－2＝

.∴S△DEP＝

EF·PD＝

×4×

＝

.第2题图2.(2023自贡)如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E、交⊙O于点F，连接AD，FD.(1)求证：∠DAE＝∠DAC；(1)证明：如解图，连接OD.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵CE是⊙O的切线，∴OD⊥CE，∵AE⊥CD，∴AE∥OD，∴∠DAE＝∠ODA，∴∠DAE＝∠DAC;(2)求证：DF·AC＝AD·DC；第2题图(2)证明：如解图，连接BF.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵AE⊥EC，∴∠AFB＝∠E＝90°，∴BF∥EC，∴∠ABF＝∠C，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ADF＝∠C，第2题图∵∠DAF＝∠DAC，∴△DAF∽△CAD，∴

＝

，∴DF·AC＝AD·DC；(3)若sin∠C＝，AD＝，求EF的长．第2题图(3)解：∵sin∠C＝

，∴

＝

＝

，设OA＝OB＝OD＝r，则OC＝4r，AC＝5r，∴CD＝＝r，AE＝

r.∵AE∥OD，∴

＝

＝

，∴DE＝

CD＝

r，第2题图∵∠AED＝90°，∴AE2＋DE2＝AD2，即(

r)2＋(

r)2＝(4)2，解得r＝8或r＝－8(舍去