新教材适用2024-2025学年高中数学第10章概率10.1随机事件与概率10.1.3古典概型学案新人教A版必修第二册

10.1.3古典概型课标要求理解古典概型，能运用古典概型计算概率．能在实际问题中建立古典概型模型．素养要求通过详细实例的探究理解古典概型，发展数学抽象及数学运算素养.学问点1事务的概率对随机事务发生_可能性大小__的度量(数值)称为事务的概率，事务A的概率用_P(A)__表示．学问点2古典概型一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有_有限个__；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性_相等__.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为_古典概率__模型，简称_古典概型__.学问点3古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事务A包含其中的k个样本点，则定义事务A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).[拓展](1)随机试验E中的样本点①任何两个样本点都是互斥的；②任何事务(除不行能事务)都可以表示成某些样本点的和．(2)求解古典概型问题的一般思路①明确试验的条件及要视察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出全部样本点)；②依据实际问题情景推断样本点的等可能性；③计算样本点总个数及事务A包含的样本点个数，求出事务A的概率．练一练：1．袋中装有红白球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，全部的样本点个数是_8__.[解析]从装有红白两球的袋中有放回的取出，全部取法有：共8个样本点．2．从1,2,3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事务A，则P(A)＝eq\f(2,3).[解析]从1,2,3中任取两个数字，全部可能的结果有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，其中含有2的结果有2个，故P(A)＝eq\f(2,3).题型探究题型一古典概型的推断典例1下列试验是古典概型的是_①②④__.①从6名同学中选出4人参与数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．[分析]紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行推断．[解析]①②④是古典概型，因为符合古典概型的特征．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．[归纳提升]推断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征——有限性和等可能性．对点练习❶下列是古典概型的是(C)A．随意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本领件时B．求随意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本领件时C．从甲地到乙地共n条路途，求某人正好选中最短路途的概率D．抛掷一枚匀称硬币首次出现正面为止[解析]A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本领件是无限的，故B不是；C项满意古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本领件可能会无限个，故D不是.题型二古典概型的概率计算典例2(2024·福建省泉州市期末)将一颗骰子先后抛掷2次，视察向上的点数，事务A：“两数之和为8”，事务B：“两数之和是奇数”，事务C：“两个数均为偶数”．(1)写出该试验的样本空间Ω，并求事务A发生的概率；(2)求事务B发生的概率；(3)事务A与事务C至少有一个发生的概率．[解析](1)将一颗骰子先后抛掷2次，视察向上的点数，Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36个样本点，事务A：“两数之和为8”，如图1所示，A＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，A包含5个样本点，图1∴事务A发生的概率为P(A)＝eq\f(5,36).(2)事务B：“两数之和是奇数”，如图2所示，B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，}图2∴事务B发生的概率P(B)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).(3)事务C：“两个数均为偶数”，C＝{(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，事务A与事务C至少有一个发生包含的样本点有11个，如图3所示，即A＋C＝{(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,3)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，图3∴事务A与事务C至少有一个发生的概率为P(A＋C)＝eq\f(11,36).[归纳提升]1.将全部的样本点用有序实数组一一列举出来，此时有几粒骰子每个实数组中就包含几个数．2．对于抛掷两粒匀称的骰子的试验，样本点(共36个)可以用列表法或坐标系法(x轴、y轴分别表示抛掷两粒骰子的结果)表示出来．这两种方法在求向上的点数之和(或差)的概率时很便利．对点练习❷某旅游爱好者安排从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．[解析](1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事务所包含的样本点有：{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个，则所求事务的概率为P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9个．包括A1但不包括B1的事务所包含的样本点有：{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2个，则所求事务的概率为P＝eq\f(2,9).题型三古典概型中的无放回抽取、有放回抽取和同时抽取的概率典例3口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求：(1)从中随意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；(2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率．[解析](1)随意摸出两个小球的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以摸出的是红球和白球的概率为eq\f(1,3).(2)样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，而事务“摸出一红一白”包括(红，白)，(白，红)2个样本点，所以两次摸出的球是一红一白的概率是eq\f(2,9).[归纳提升]无放回抽取、有放回抽取和同时抽取的概率1．“有放回抽取”和“无放回抽取”的概率求解问题是初学者特殊简单出错的，而且也是特殊经典的题型，学习时要留意区分是“有放回抽取”还是“无放回抽取”．“有放回”是指抽取物体时，每次抽取之后，都把抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的．“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，把抽取的物体放到一边，并不放回原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体总数较前一次被抽取的物体总数少．2．有放回抽取和无放回抽取的区分在于，同一件物品“有放回抽取”可能被抽到两次，而“无放回抽取”最多被抽到一次．这正是“有放回抽取”的样本空间包含的样本点数量比“无放回抽取”样本空间包含的样本点数量多的缘由．3．同时抽取的实质是把不同性质的两(多)组元素混合在一起抽取，没有先后依次，只考虑配对，所以对应样本空间包含的样本点数量一般要比“逐个不放回抽取”对应的样本空间包含的样本点数量要少．对点练习❸一个袋中装有四个形态、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．[解析](1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本领件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事务有：1和2,1和3，共2个，因此所求事务的概率为P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先从袋中随机取一个球，登记编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，登记编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满意条件n<m＋2的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共13个．所以，满意条件n<m＋2的事务的概率为P＝eq\f(13,16).易错警示对“有序”与“无序”推断不准而致错典例4甲、乙两人参与普法学问竞赛，共有5道不同的题目，其中3道选择题，2道填空题，甲、乙两人依次抽取1道题．求甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率．[错解]因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，且甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有10个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).[错因分析]错解中忽视了甲、乙两人依次抽取1道题与依次有关，甲从5道题中任抽1道题有5种方法，乙从剩下的4道题中任抽1道题有4种方法，所以基本领件总数应为20.[正解]因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，而甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有20个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).[误区警示]在计算基本领件的总数时，若分不清“有序”和“无序”，将会出现“重算”或“漏算”的错误．突破这一思维障碍的方法是交换次序，看是否对结果造成影响，有影响是“有序”，无影响是“无序”．对点练习❹小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．[解析]将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事务A＝“所选的题不是同一种题型”，则事务A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共12个样本点，所以P(A)＝eq\f(12,20)＝0.6.(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事务B＝“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个，所以P(B)＝eq\f(12,25)＝0.48.1．下列试验中是古典概型的是(B)A．在相宜的条件下，种下一粒大豆，视察它是否发芽B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内随意一点都是等可能的D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环[解析]依据古典概型的特点，A项中，种子发芽与否的概率不相等；B项中，摸到每个球的概率相等，且只有4球；C项中，点落在圆内的结果数量是无限的；D项中，射击命中环数的概率也不肯定相等．故只有B项是古典概型．2．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参与竞赛，则参与竞赛的都是女生的概率为(A)A.eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,5)[解析]依题意记三名男生分别为a、b、c，两名女生分别为A、B，从中随意选两名同学有ab、ac、aA、aB、bc、bA、bB、cA、cB、AB，共10种状况，其中都是女生的只有AB这1种状况，故参与竞赛的都是女生的概率P＝eq\f(1,10).故选A.3．某小说有三册，随意排放在书架的同一