重点04圆的综合(原卷版+解析)

重点04圆的综合近几年四川中考看，几乎年年会出现圆综合的题目，经常以解答题的形式出现，偶尔也会在选择题中，难度中等，属于各市中考考查的重点，主要是跟三角形与四边形等几何图形等综合起来考查。圆的基本性质，扇形的面积公式；圆周角定理，理解圆周角与圆心角的区别于练习；切线的两种证明方法（练圆心，证垂直；作垂直，证半径）；圆与相似综合，相似基本模型与辅助线的方法【中考真题】1．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．(1)求证：；(2)若，，求及的长．2．(2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C．(1)求证：；(2)若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积．3．(2023·四川巴中·统考中考真题）四边形内接于，直径与弦交于点，直线与相切于点．(1)如图1，若，且，求证：平分；(2)如图2，连接，若，求证：．4．(2023·四川广安·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径．5．(2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，点C是以AB为直径的上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且．(1)求证：DE是的切线；(2)若点F是OA的中点，，，求EC的长．6．(2023·四川广元·统考中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．【模拟题】1．(2023·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，为的直径，为弦，过点C的切线与的延长线交于点P，E为上一点，且，连接并延长交于点H．(1)求证：．(2)若，，求的长．2．(2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于，交于，于，点是弧的中点．(1)求证：是的切线；(2)若，是一元二次方程的两根，求和的长．3．(2023·四川南充·统考三模）如图，是的切线，是的直径，与交于D，弧上一点E，使得点D成为弧的中点，连接与交于F．(1)比较与的长度．并说明理由．(2)当，时，求的长．4．(2023·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，已知：是以为直径的半圆上一点，直线与过点的切线相交于点，点是的中点，直线交直线于点．(1)求证：是的切线；(2)已知，，，求．5．(2023·四川成都·校考三模）如图，在中，，以为直径作，过点B的切线交延长线于点D，点E为上一点，且，连接交于点F．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．6．(2023·四川乐山·统考二模）如图，是的直径，、分别与相切于点、，交的延长线于点，⊥交的延长线于点，交于点，连结．(1)求证：；(2)若，，求的半径和线段的长．7．(2023·四川绵阳·二模）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O外一点，AC、BC与⊙O分别交于D、E，且CE＝BE，过点E作AC垂线，垂足为点M，直线ME与AB延长线交于点F．(1)证明：MF与⊙O相切；(2)若⊙O半径为5，cos∠ACB，求BF的长度．8．(2023·四川乐山·三模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，∠D＝2∠A．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求证：DE＝DC；(3)若OD＝5，CD＝3，求AE的长．9．(2023·四川绵阳·校联考三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以OA为半径的⊙O经过点D，与AB交于点E．(1)求证：BD2＝BE•BA；(2)若cosB，AE＝4，求CD．10．(2023·四川眉山·统考三模）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F，且CE＝CF．(1)求证：直线AC是⊙O的切线；(2)若，求的值．重点04圆的综合近几年四川中考看，几乎年年会出现圆综合的题目，经常以解答题的形式出现，偶尔也会在选择题中，难度中等，属于各市中考考查的重点，主要是跟三角形与四边形等几何图形等综合起来考查。圆的基本性质，扇形的面积公式；圆周角定理，理解圆周角与圆心角的区别于练习；切线的两种证明方法（练圆心，证垂直；作垂直，证半径）；圆与相似综合，相似基本模型与辅助线的方法【中考真题】1．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．(1)求证：；(2)若，，求及的长．答案:(1)见解析(2)BF=5，【详解】（1）解：∵中，，∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，∵，∴∠B=∠BCF，∴∠A=∠ACF；（2）∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF∴AF=CF，BF=CF，∴AF=BF=AB，∵，AC=8，∴AB=10，∴BF=5，∵，∴，连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴，∴，∴，∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，∴∠FDE=∠B，∴DE∥BC，∴△FDE∽△FBC，∴，∴．2．(2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C．(1)求证：；(2)若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积．答案:(1)见解析(2)【详解】（1）证明：如图，连接，，，由圆周角定理得：，，与相切，，，，，；（2）解：如图：连接，弦平分半径，，，在中，，，，，，，，，．3．(2023·四川巴中·统考中考真题）四边形内接于，直径与弦交于点，直线与相切于点．(1)如图1，若，且，求证：平分；(2)如图2，连接，若，求证：．答案:(1)见解析(2)见解析【详解】（1）证明：连接，直线与相切于点，，，，，又，为等边三角形，又，平分，，平分；（2）证明：∵直线与相切于点，，，∵AC为直径，∴∠ABC=90°，∴∠OBC+∠ABO=90°，∴∠OBC=∠PBA，∵OB=OC，∴，，，，又，．4．(2023·四川广安·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径．答案:(1)见详解(2)【详解】（1）证明：连接OD，如图∵AB为⊙O的直径，∴，∴，∵OA=OD，∴，∵∠BDC=∠BAD，∴，∴，∴，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵，∴，∵△ABD是直角三角形，∴，∵，，∴△ACD∽△DCB，∴，∵，∴，∴，在直角△CDO中，设⊙O的半径为，则，∴，解得：；∴⊙O的半径为；5．(2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，点C是以AB为直径的上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且．(1)求证：DE是的切线；(2)若点F是OA的中点，，，求EC的长．答案:(1)见解析(2)【详解】（1）证明：如图，连结OC，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴DE是的切线；（2）解：在中，，，∴，∴，∴，∴，又∵点F为AO中点，

∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴．6．(2023·四川广元·统考中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．答案:(1)见详解(2)【详解】（1）证明：连接OD，OE，如图所示：∵，∴∠A=∠ODA，∵点E是边BC的中点，∴OE∥AB，∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE，∴∠DOE=∠COE，∵，∴△COE≌△DOE（SAS），∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接CD，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，即，∵AD＝4，BD＝9，∴，∴，在Rt△ADC中，由勾股定理得：，∴⊙O的半径为．【模拟题】1．(2023·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，为的直径，为弦，过点C的切线与的延长线交于点P，E为上一点，且，连接并延长交于点H．(1)求证：．(2)若，，求的长．答案:(1)见解析(2)【详解】（1）解：如图①，连接，在和中，，，，，，，又，，，与相切，，．（2）解：如图②，连接，为的直径，，，，，，，解得或（舍去），，为切线，．为的直径，，，又，，，设，则，，，，解，，，由（1）可得，，．2．(2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于，交于，于，点是弧的中点．(1)求证：是的切线；(2)若，是一元二次方程的两根，求和的长．答案:(1)见解析(2)CE＝6，AG＝4【详解】（1）证明：连接，如图，点是弧的中点，，，，，

，，，，为半径，是的切线；（2）解：连接，如图，，，，是一元二次方程的两根，，，，是的直径，，，∴，，，，，，，，，，，，，，，，，．3．(2023·四川南充·统考三模）如图，是的切线，是的直径，与交于D，弧上一点E，使得点D成为弧的中点，连接与交于F．(1)比较与的长度．并说明理由．(2)当，时，求的长．答案:(1)，理由见解析(2)2.8【详解】（1）解：．理由：连接．∵是的切线，∴，即．∴．∵是的直径，∴．∴．∴．∵D为的中点，∴＝．∴．∵，∴．∴．（2）解：∵，，∴．∴．∴．∴．由（1）知，且，∴．∴．∴．即的长为2.8．4．(2023·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，已知：是以为直径的半圆上一点，直线与过点的切线相交于点，点是的中点，直线交直线于点．(1)求证：是的切线；(2)已知，，，求．答案:(1)见解析(2)【详解】（1）证明：连接，，如图，是圆的切线，，，，，是的中位线，，，．，，．在和中，，，，，为圆的半径，是的切线；（2）解：连接，，如图，，，，，是圆的切线，是的切线，，．，，∽，，，．是的切线，，，∽，，设，则，，，负数不合题意，舍去．．5．(2023·四川成都·校考三模）如图，在中，，以为直径作，过点B的切线交延长线于点D，点E为上一点，且，连接交于点F．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．答案:(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵是的切线，∴，∵，∴，∵，∴，∴平分．（2）解：由（1）知，，∴，∵为的直径，∴，∴，即，∵，∴，即，∴，，∵，∴，，，∵，，∴∽，∴，即，解得：．6．(2023·四川乐山·统考二模）如图，是的直径，、分别与相切于点、，交的延长线于点，⊥交的延长线于点，交于点，连结．(1)求证：；(2)若，，求的半径和线段的长．答案:(1)见解析(2)半径为3，的长为2【详解】（1）证明：如图所示，连接，是的切线，，，，，，，，（2）解：在中，，，即，在中，，故的半径为3，，在和中，，，，即，，在中，，故的长为2．7．(2023·四川绵阳·二模）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O外一点，AC、BC与⊙O分别交于D、E，且CE＝BE，过点E作AC垂线，垂足为点M，直线ME与AB延长线交于点F．(1)证明：MF与⊙O相切；(2)若⊙O半径为5，cos∠ACB，求BF的长度．答案:(1)见解析(2)【详解】（1）证明：如图所示，连接OE，AE，∵AB是直径，∴，在和中，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵OE是半径，∴MF是的切线；（2）解：由（1）可知，，在中，，在中，，∴，∵，∴，，，解得，．8．(2023·四川乐山·三模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，∠D＝2∠A．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求证：DE＝DC；(3)若OD＝5，CD＝3，求AE的长．答案:(1)见解析(2)见解析(3)AE＝2【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，又∵∠D＝2∠A，∴∠D＝∠COB．又∵OD⊥AB，∴∠COB+∠COD＝90°，∴∠D+∠COD＝90°，即∠DCO＝90°，∴OC⊥DC，又点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）证明：∵∠DCO＝90°，∴∠DCE+∠ACO＝90°，又∵OD⊥AB，∴∠AEO+∠A＝90°，又∵∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC；（3）解：∵∠DCO＝90°，OD＝5，DC＝3，∴OC＝＝＝4，∴OA＝OC＝4，又DE＝DC＝3，∴OE＝OD﹣DE＝2，在Rt△AEO中，由勾股定理得：，∴AE＝2．9．(2023·四川绵阳·校联考三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以OA为半径的⊙O经过点D，与AB交于点E．(1)求证：BD2＝BE•BA；(2)若cosB，AE＝4，求CD．答案:(1)见解析(2)解析：（1）证明：连接OD，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠4＝