三铰拱课件讲解

三

铰

拱一、拱的构成及其受力特点组成：杆件多为曲杆（也有折线杆），至少有两个水平约束，支座不能自由移动。受力特点：在（向下的）竖向荷载作用下，支座产生（向内的）水平推力。因为有水平推力的存在，拱轴上各个截面上的弯矩通常比相应的曲梁（或简支梁）小。拱的优点：拱轴截面中的弯矩较小，以承受轴向压力为主。可以用抗拉性能差而抗压性能好的材料（如砖、石材混凝土等）建造。经济、美观、净空大、自重轻。拱的缺点：对支承部分的受力要求严格。制造较复杂。Clf拱轴线FP1FP2FP3FVAFVBFHAFHB跨度矢高拱顶拱趾CFP1FP2FP3FHAFHBFVAFVBFP1FP2FP30FVAFVB相应的曲梁FP1FP3FVARBFP2FHA二、拱的类型1、基本类型：静定：三铰拱超静定：二铰拱无铰拱2、其他分类方法：可按：拱轴的曲线形式（如抛物线，圆，悬链线等）；拱轴的构造（实体式，桁架式，带拉杆式等）；拱趾的位置（平拱，斜拱）等分类方式。实体三铰拱平拱带拉杆的拱斜拱三、三铰拱的数解法(一)、支座反力的计算公式：

（注：平拱，竖向荷载）

由∑MA=0,∑MB=0可得：FVA=∑FPibi/lFVB=∑FPiai/l由∑x=0

FHA=

FHB=

FHClfFP1FP2FP3FVAFVBFHAFHBl1l2xya1a2a3b1b2b3CFP1FP2FP3

相应简支梁由∑MA=0,∑MB=0可得：FVA=∑FPibi/l

FVB=∑FPiai/l由∑x=0,FHA=

FHB=

FH由∑MC=0,可以看出，与相应简支梁相比，三铰拱的竖向反力恰等于相应简支梁的竖向反力。三铰拱的水平反力公式的分子部分相当于相应简支梁截面C处的弯矩M0C。因此，公式可写为：

FAy=F0VAFBy=F0VB（3-7）FH=M0C/f（3-8）

水平反力只与三个铰的位置有关，与拱轴曲线的形状无关。

水平反力与拱的高跨比成反比。1、弯矩的计算公式规定：使拱的内侧纤维受拉的弯矩为正，反之为负。

MK=[FVAxK–FP1(xK–a1)]-FHyK

M=M0-FHy

（3-9）

由此可见，因为推力的存在，使得拱轴截面上的弯矩比相应简支梁对应截面上的弯矩小。（二）、内力的计算公式ClfFP1FP2FP3FVAFVBFHAFHBxya1a2a3b1b2b3CFP1FP2FP3KxkykφkAKFVAFHAFP1KφkMKFQKFNK2、剪力的计算公式规定：拱轴内的剪力正负号规定同材料力学。任一截面K的剪力FQK

等于该截面一侧所有各力沿该截面方向投影的代数和。

FQK=FVAcosφK–FP1cosφK-FHsinφK=(FVA–FP1)cosφK-FHsinφK

FQ=

F0Qcosφ-FH

sinφ(3-10)

式中：φ为截面K处拱轴切线的倾角，φ在左半拱为正，在右半拱为负。3、轴力的计算公式规定：轴力使拱轴截面受拉为正。任一截面K的轴力FNK

等于该截面一侧所有各力沿该截面处拱轴切线方向投影的代数和。

FNK=-FVAsinφK+FP1sinφK-FHcosφK=-(FVA–FP1)sinφK-FHcosφK

FN=-F0Qsinφ-FH

cosφ(3-10)式中：φ为截面K处拱轴切线的倾角，φ在左半拱为正，在右半拱为负。注：以上公式只适用于竖向荷载作用下的平拱。对于一般荷载作用下的三铰平拱，可由平衡方程求反力，再求各截面内力。CfFVAFVBFHAFHBl1l2q带拉杆的三铰平拱：拉杆常采用钢拉杆，拉杆轴力FN代替了三铰拱的水平推力FH，FN=M0C/f。ABCl1l2fFP1FP2FVAFVBFN例：（书例3-14，P.112）

作图示三铰拱的内力图。拱轴为一抛物线。CFH=6kNFH=6kNFVA=7kNFVB=5kNxy16m4kN1kN/mf=4m8m4m4mD

因为无论拱上的荷载形式如何，拱的内力图均为曲线图形，为此，将拱跨分成八等份，然后列表计算各个截面上的内力，最后画出内力图。1234567CFH=6kNFH=6kNFVA=7kNFVB=5kNxy16m4kN1kN/mf=4m8m4m4mD08具体计算过程见教材P.112–P.114。在此，给出拱弯矩与相应简支梁弯矩的比较图，以期同学们对三铰拱的受力特性有更深刻的认识。FP=4kNq=1kN/ml=8×1.5m=12mFP=4kNq=1kN/mABC012345678122024242024.5四、三铰拱的合理轴线

合理拱轴：使拱轴各截面处于无弯矩（和剪力）状态的轴线，称为拱的合理轴线。拱在给定荷载作用下，当拱上各个截面不产生弯矩和剪力，各截面都处于均匀受压的状态，此时，材料能得到充分的利用，相应的拱截面尺寸将是最小的。

从上节的推导可知：拱轴上各截面的弯矩，不但与荷载有关，还与拱的轴线有关。对于竖向荷载作用下的三铰拱，可用数解法来定出拱的合理轴线方程。由：M=M0-FHy（3-9）当拱轴为合理轴线时，拱中各个截面上的弯矩均应为零，故有：M=M0-FHy=0由此得出：

y

=M0K/FH(3-12)例:试求图示三铰拱在沿全跨长的水平荷载作用下的合理拱轴线。xyflABCqq解：相应简支梁的弯矩方程为：M0=1/2·q·x·(l-x)FH=M0C/f=(1/8·q·l2)/f=q·l2/8f

由公式（4-10）得拱的合理轴线方程：

y=[1/2·q·x·(l-x)]/(q·l2/8f)=(4f/l2)·