2024-2025学年新教材高中数学 第七章 复数 7.3.1 复数的三角表示式 7.3.2（教学用书）教案 新人教A版必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第七章复数7.3.1复数的三角表示式7.3.2（教学用书）教案新人教A版必修第二册主备人备课成员教学内容本节课选自2024-2025学年新教材高中数学第七章复数部分，主要包含7.3.1复数的三角表示式与7.3.2教学用书内容。具体教学内容如下：

1.7.3.1复数的三角表示式：

（1）通过复数的三角形式引入，让学生了解复数与三角函数的关系；

（2）掌握复数三角表示式的推导过程，即棣莫弗公式；

（3）运用复数三角表示式进行复数的乘、除运算。

2.7.3.2教学用书：

（1）学习欧拉公式及其应用；

（2）了解复数三角形式下的模、辐角主值；

（3）通过实例，让学生掌握复数三角形式在物理、工程等领域的应用。核心素养目标本章节旨在培养学生以下核心素养：

1.数学抽象：通过复数的三角表示式学习，使学生能从实际问题中抽象出复数的数学模型，理解复数与三角函数之间的内在联系。

2.逻辑推理：引导学生运用棣莫弗公式进行复数的运算，培养其严谨的逻辑思维和推理能力。

3.数学建模：学会运用复数三角表示式解决实际问题，提高学生运用数学知识构建模型、解决问题的能力。

4.跨学科融合：通过复数三角形式在物理、工程等领域的应用，培养学生跨学科知识融合的意识与能力。

5.数学运算：培养学生熟练运用复数三角表示式进行运算，提高数学运算的速度和准确性。

6.数学表达：学会使用规范的数学语言表达复数三角形式及其相关概念，提升学生的数学表达能力。学习者分析1.学生已经掌握了以下相关知识：高中阶段实数的运算、三角函数的基础知识，以及复数的代数表示和基本运算。特别是，学生在之前的学习中已经接触过复数的概念，理解复数的实部和虚部，并能够进行简单的加减乘除运算。

2.学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学学科的兴趣参差不齐，但大部分学生对具有实际应用背景的知识点表现出较高的兴趣。在能力上，学生的数学抽象思维能力、逻辑推理能力和数学运算能力各异，部分学生具有较强的自主学习能力，而部分学生则依赖教师的引导。在学习风格上，有的学生喜欢通过直观的图形和实际例子来理解抽象概念，有的则更倾向于通过公式和定理进行逻辑推理。

3.学生可能遇到的困难和挑战：复数的三角表示式对学生来说是一个新的抽象概念，他们可能会在理解复数与三角函数之间的关系上遇到困难。此外，运用棣莫弗公式进行复数乘除运算可能会让学生感到困惑，尤其是对于数学基础较弱的学生。在将复数三角形式应用于实际问题中，学生可能会缺乏建模和跨学科思考的能力，需要教师在教学过程中给予更多的指导和支持。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略1.选择适合教学目标和学习者特点的教学方法：

为达成本节课的核心素养目标，教学方法的选择将注重启发式教学，结合学生的实际情况和兴趣，采用以下方法：

（1）讲授法：教师通过生动的语言和直观的图形，向学生介绍复数三角表示式的概念、推导过程及应用。在讲授过程中，注重引导学生发现复数与三角函数之间的联系，激发学生的思考。

（2）讨论法：针对复数三角表示式中的难点和重点，组织学生进行小组讨论，让学生在互动交流中加深对知识点的理解。

（3）案例研究：通过呈现复数三角形式在物理、工程等领域的具体案例，引导学生分析、探讨，培养学生将理论知识应用于实际问题的能力。

（4）项目导向学习：设计具有挑战性的项目任务，要求学生运用复数三角表示式解决问题，培养学生自主学习、合作探究的能力。

2.设计具体的教学活动：

（1）导入环节：通过一个简短的视频，展示复数三角表示式在工程领域的应用，激发学生的兴趣和好奇心。

（2）新知识学习环节：教师采用讲授法，结合PPT演示，向学生介绍复数三角表示式的概念、推导过程。在此过程中，穿插一些讨论和思考问题，引导学生积极参与。

（3）巩固环节：设计一些具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。同时，组织学生进行小组讨论，共同解决难题。

（4）应用环节：开展项目导向学习，将学生分为若干小组，每组负责一个与复数三角表示式相关的问题。学生需要运用所学知识，通过查阅资料、讨论、实验等手段，完成项目任务。

（5）总结环节：让学生分享本节课的收获和感悟，教师进行点评和总结。

3.确定教学媒体和资源的使用：

（1）PPT：用于呈现本节课的教学内容，包括复数三角表示式的概念、推导过程、应用案例等。

（2）视频：导入环节使用，展示复数三角表示式的实际应用，帮助学生建立直观认识。

（3）在线工具：为学生提供丰富的学习资源，如数学软件、在线教程等，方便学生自主学习。

（4）实验器材：针对项目导向学习中的实验环节，准备相应的实验器材，如示波器、信号发生器等。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过学校在线学习平台，发布包含复数三角表示式基础概念的PPT和预习视频，明确要求学生预习复数的三角形式及其与三角函数的关系。

-设计预习问题：围绕复数的三角表示式，设计问题如“复数与三角函数有何联系？”和“如何推导复数的三角形式？”以激发学生的思考。

-监控预习进度：通过学习平台的数据分析功能，监控学生的预习进度，并通过微信群提醒学生按时完成预习任务。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生按照要求，自主阅读预习资料，了解复数三角表示式的基本概念。

-思考预习问题：学生针对预习问题进行独立思考，记录自己的理解和解题思路。

-提交预习成果：学生将笔记、思维导图或疑问通过平台提交，以便教师提前了解学生的学习情况。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

-信息技术手段：利用在线平台和微信群，实现资源的共享和预习进度的监控。

作用与目的：

-帮助学生提前接触复数三角表示式的概念，为课堂学习打下基础。

-培养学生的自主学习能力和解决问题的初步尝试。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过一个简短的视频，展示复数在电路分析中的应用，引出复数三角表示式的主题。

-讲解知识点：详细讲解复数三角表示式的推导过程，结合实际例子解释欧拉公式的意义。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨复数三角表示式在物理中的应用，如交流电分析。

-解答疑问：针对学生在课堂中的疑问，进行实时解答和讨论。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，思考教师提出的问题，如复数三角表示式的实际意义。

-参与课堂活动：在小组讨论中，积极发表自己的看法，共同探讨复数三角表示式的应用。

-提问与讨论：对不理解的部分勇敢提问，与同学和老师进行讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生深入理解复数三角表示式的理论知识。

-实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中应用所学的知识。

-合作学习法：培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解复数三角表示式的理论知识，并掌握其在实际问题中的应用。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据本节课的内容，布置相关的习题，巩固学生对复数三角表示式的理解和应用。

-提供拓展资源：推荐相关的学术文章和在线课程，供学有余力的学生进一步深入学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进。

学生活动：

-完成作业：认真完成作业，巩固课堂上学到的知识和技能。

-拓展学习：利用教师提供的资源，进行更深入的学习和探索。

-反思总结：对自己的学习过程进行反思，总结学习方法和技巧，提出改进措施。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业，进行拓展学习。

-反思总结法：引导学生通过反思，提升自我学习能力。

作用与目的：

-巩固学生对复数三角表示式的理解和应用能力。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野，提高其学术素养。

-通过反思总结，帮助学生形成持续改进的学习习惯，促进自我提升。学生学习效果1.知识与技能：

-掌握了复数三角表示式的概念，能够理解复数与三角函数之间的关系，以及复数三角形式在数学和物理中的应用。

-学会了使用棣莫弗公式进行复数的乘除运算，提高了数学运算的速度和准确性。

-能够运用复数三角表示式解决实际问题，如交流电分析、信号处理等领域的问题。

-通过小组讨论和项目导向学习，学生的合作能力和团队协作意识得到了提升。

2.过程与方法：

-通过预习、课堂学习和课后作业，学生学会了如何自主学习数学知识，形成了良好的学习习惯。

-在课堂活动中，学生通过讨论、实验等实践环节，掌握了复数三角表示式的应用方法，提高了动手能力和解决问题的能力。

-学生在解答疑问和讨论过程中，培养了逻辑思维和表达能力，能够运用规范的数学语言描述复数三角形式的相关概念。

3.情感态度与价值观：

-学生对复数三角表示式的学习产生了浓厚的兴趣，认识到数学知识在实际生活中的重要作用。

-学生在解决实际问题的过程中，体会到了数学学习的成就感，增强了自信心，激发了进一步探索数学奥秘的欲望。

-学生在团队合作中，学会了尊重他人、倾听他人意见，培养了包容、协作的价值观。

具体表现如下：

1.知识点的掌握：

-学生能够准确地描述复数三角表示式的概念，理解欧拉公式及其应用。

-学生掌握了复数三角表示式的推导过程，能够熟练运用棣莫弗公式进行复数运算。

-学生能够运用复数三角形式解决实际问题，如计算交流电的复数阻抗、分析信号的频率成分等。

2.技能的提升：

-在小组讨论中，学生能够积极发表自己的观点，与同伴共同探讨复数三角表示式在物理、工程等领域的应用。

-学生通过项目导向学习，独立或合作完成与复数三角表示式相关的任务，提高了实践操作能力和解决问题的能力。

-学生在课后作业和拓展学习中，巩固了所学知识，拓宽了知识视野，对复数三角表示式的理解更加深入。

3.情感态度的变化：

-学生从最初的排斥、恐惧复数三角表示式，转变为主动学习、探究，表现出对数学学科的兴趣和热情。

-学生在解决问题的过程中，逐渐树立了自信心，敢于面对挑战，勇于克服困难。

-学生在团队合作中，学会了互相帮助、共同进步，形成了积极向上的学习氛围。作业布置与反馈作业布置：

1.基础巩固题：

-根据课堂讲解，完成以下习题，巩固复数三角表示式的概念和运算：

a.将复数\(z=1+i\)表示为三角形式，并求其模和辐角。

b.利用棣莫弗公式计算\((3+4i)(2-3i)\)的结果，并将其转换为三角形式。

c.给定复数\(z=2\cos(\pi/3)+2i\sin(\pi/3)\)，求\(z^2\)并将其转换为代数形式。

-完成教材第XX页的习题1、2、3。

2.应用提高题：

-结合物理中的交流电问题，运用复数三角表示式解决以下问题：

a.计算交流电压\(V=10\cos(2\pi\times60t)+6\sin(2\pi\times60t)\)的复数形式，并求其有效值。

b.给定电阻\(R=10\Omega\)和电容\(C=2\times10^{-4}\text{F}\)，求该电路在交流电源下的复数阻抗，并分析其相位特性。

-完成教材第XX页的习题5、6。

3.拓展思考题：

-探究复数三角表示式在信号处理中的应用，如傅里叶变换，完成以下问题：

a.研究正弦波信号的傅里叶变换，并解释其频谱特性。

b.分析如何利用傅里叶变换将复杂信号分解为多个简单信号的叠加。

-阅读教材第XX页的相关内容，并撰写一篇短文，阐述复数三角表示式在信号处理中的重要作用。

作业反馈：

1.批改作业时，关注以下方面：

-学生对复数三角表示式概念的理解是否准确。

-学生在复数运算过程中，是否正确应用了棣莫弗公式。

-学生在解决实际问题时，是否能够将复数三角形式与物理、工程背景相结合。

2.反馈时应指出的问题及建议：

-对于概念理解不准确的学生，建议复习课堂笔记，加强对复数三角表示式基础知识的掌握。

-对于运算错误的学生，建议重点练习复数乘除运算，熟练掌握棣莫弗公式的应用。

-对于应用题完成困难的学生，建议多参与小组讨论，提高将理论知识应用于实际问题解决的能力。

3.定期对学生的作业情况进行总结，对共性问题进行集中讲解，对个别问题进行个别辅导。教学反思与总结回顾本节课的教学过程，我认为在教学方法上，采用讲授法、讨论法和项目导向学习相结合的方式，能够有效地帮助学生理解和掌握复数三角表示式的概念和运算。通过设计具体的教学活动，如小组讨论和项目任务，学生能够在实践中应用所学知识，提高了解决实际问题的能力。同时，我也意识到在教学中需要更多地关注学生的学习进度和反馈，以便及时调整教学策略。

在教学管理方面，我通过在线平台和微信群监控学生的预习进度，确保了学生能够提前接触新知识。然而，我也注意到在课堂活动中，部分学生的参与度不高，这可能是因为我对学生的引导和激励不够充分。因此，我需要在今后的教学中更加注重激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度。

在教学效果方面，我对学生的作业进行了及时的批改和反馈，发现大部分学生对复数三角表示式的理解和应用能力有了明显的提升。然而，也有部分学生在将理论知识应用于实际问题解决时存在困难，这需要我在今后的教学中加强对学生的指导，提高他们的实践能力。

针对教学中存在的问题，我计划在今后的教学中进行以下改进：

1.在教学方法上，我将继续采用讲授法、讨论法和项目导向学习相结合的方式，同时增加一些互动性强的教学活动，如小组竞赛、角色扮演等，以提高学生的参与度和兴趣。

2.在教学管理上，我将更加注重学生的学习进度和反馈，通过定期与学生交流，了解他们的学习需求和困难，及时调整教学计划和方法。

3.在教学效果上，我将加强对学生的个别辅导，特别是对于学习困难的学生，我将提供更多的指导和帮助，帮助他们提高学习效果。典型例题讲解例题1:

题目:将复数$z=1+i$表示为三角形式，并求其模和辐角。

解答:

首先，我们知道复数$z=x+yi$的模$r$和辐角$\theta$可以通过以下公式计算:

$$

r=\sqrt{x^2+y^2}

$$

$$

\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)

$$

对于$z=1+i$，我们有$x=1$和$y=1$。因此，模$r$和辐角$\theta$分别为:

$$

r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}

$$

$$

\theta=\arctan\left(\frac{1}{1}\right)=\frac{\pi}{4}

$$

所以，复数$z=1+i$的三角形式为$\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})$。

例题2:

题目:利用棣莫弗公式计算$(3+4i)(2-3i)$的结果，并将其转换为三角形式。

解答:

棣莫弗公式是复数乘法的三角形式表示，公式为:

$$

(r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1))(r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2))=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]

$$

首先，我们计算两个复数的模和辐角:

对于$3+4i$，模$r_1$和辐角$\theta_1$为:

$$

r_1=\sqrt{3^2+4^2}=5

$$

$$

\theta_1=\arctan\left(\frac{4}{3}\right)

$$

对于$2-3i$，模$r_2$和辐角$\theta_2$为:

$$

r_2=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}

$$

$$

\theta_2=\arctan\left(\frac{-3}{2}\right)

$$

$$

(3+4i)(2-3i)=5\sqrt{13}[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]

$$

最后，我们将结果转换为三角形式。

例题3:

题目:给定复数$z=2\cos(\pi/3)+2i\sin(\pi/3)$，求$z^2$并将其转换为代数形式。

解答:

首先，我们计算$z^2$:

$$

z^2=(2\cos(\pi/3)+2i\sin(\pi/3))^2

$$

利用三角恒等式$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$和$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$，$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，我们可以计算$z^2$的实部和虚部:

$$

z^2=2^2[\cos^2(\pi/3)+i^2\sin^2(\pi/3)]+2i\sin(\pi/3)\cos(\pi/3)

$$

$$

z^2=4[\cos^2(\pi/3)-\sin^2(\pi/3)]+4i\sin(\pi/3)\cos(\pi/3)

$$

$$

z^2=4[\cos2(\pi/3)]+4i\sin2(\pi/3)

$$

$$

z^2=4[\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)]

$$

最后，我们将$z^2$转换为代数形式:

$$

z^2=4\cos(\pi/3)+4i\sin(\pi/3)

$$

$$

z^2=2+2\sqrt{3}i

$$

例题4:

题目:计算交流电压$V=10\cos(2\pi\times60t)+6\sin(2\pi\times60t)$的复数形式，并求其有效值。

解答:

交流电压$V$可以表示为复数形式:

$$

V=A\cos(\omegat+\phi)

$$

其中，$A$是振幅，$\omega$是角频率，$t$是时间，$\phi$是初相位。对于给定的交流电压，我们有:

$$

A=\sqrt{10^2+6^2}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}

$$

$$

\phi=\arctan\left(\frac{6}{10}\right)

$$

所以，交流电压$V$的复数形式为:

$$

V=\sqrt{136}[\cos(2\pi\times60t+\arctan\left(\frac{6}{10}\right))+i\sin(2\pi\times60t+\arctan\left(\frac{6}{10}\right))]

$$

有效值$V_{\text{rms}}$可以通过振幅$A$计算得到:

$$

V_{\text{rms}}=\frac{A}{\sqrt{2}}

$$

$$

V_{\text{rms}}=\frac{\sqrt{136}}{\sqrt{2}}

$$

$$

V_{\text{rms}}=\frac{\sqrt{136}}{\sqrt{2}}

$$

$$

V_{\text{rms}}=\frac{2\sqrt{34}}{\sqrt{2}}

$$

$$

V_{\text{rms}}=2\sqrt{17}

$$

例题5:

题目:给定电阻$R=10\Omega$和电容$C=2\times10^{-4}\text{F}$，求该电路在交流电源下的复数阻抗，并分析其相位特性。

解答:

电阻$R$的阻抗为$R$，电容$C$的阻抗为$\frac{1}{j\omegaC}$，其中$\omega$是角频率。对于给定的电阻和电容，我们有:

$$

R=10\Omega

$$

$$

C=2\times10^{-4}\text{F}

$$

对于交流电源，角频