2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型五 第22题锐角三角函数的实际应用 (含答案)

2024天津中考数学二轮重难题型专题训练题型五第22题锐角三角函数的实际应用类型一背靠背型典例精讲例1如图，某渔船在海面上航行，发现海中有一小岛M，此时渔船位于小岛M的南偏西45°方向，距离小岛50海里的A处，继续沿正东方向航行一段时间到达B处，测得小岛M位于渔船的北偏西66°方向，求此时小岛M与渔船B的距离BM及渔船从A航行到B的距离AB(结果保留一位小数)．参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25，eq\r(2)≈1.414.例1题图【思维教练】要求AB的长，作辅助线构造直角三角形是关键，本图属于背靠背型，因此过点M作MD⊥AB于点D，得到Rt△AMD和Rt△BMD，解直角三角形即可．【自主解答】针对演练1.如图，为了知道空中一静止的广告气球A的高度，小宇同学使用卷尺和自制的测角仪进行了测量．如图所示，他在气球正下方的一条水平步道BC上架设测角仪，先在点E处测得气球A的仰角为45°，然后沿BC方向前进35m到达气球A的另一侧点F处，测得气球A的仰角为22°.测角仪的高度为1.6m．根据测得的数据，求此时气球A距离地面的高度(结果精确到0.1m).参考数据：tan22°≈0.40，eq\r(2)取1.41.第1题图2.已知某航空母舰舰长BD为306m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，舰岛顶端A到BD的距离是AC，经测量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝80.6°，请计算舰岛AC的高度(结果精确到1m)．参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04.第2题图3.图①是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图②，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角(即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角)时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为34cm.(Ⅰ)求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；(结果精确到1cm)(Ⅱ)求显示屏顶端A与底座C的距离AC.(结果精确到1cm)参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，eq\r(2)取1.4，eq\r(3)取1.7.第3题图

类型二母子型典例精讲例2如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数)．参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60.【思维教练】过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE为矩形，△AED为直角三角形．在Rt△ABC中，利用tan∠ACB可以求得AB，在Rt△AED中，利用tan∠ADE可以求得AE，然后利用EB＝AB－AE求得EB，进而得到DC.【自主解答】例2题图针对演练1.如图，一艘船自南向北航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东31°的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东58°的方向上，若继续沿正北方向航行，求航行过程中船距灯塔S的最近距离和SA的距离(结果保留整数)．参考数据：sin31°≈0.52，tan31°≈0.60，tan58°≈1.60.第1题图2.由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务，如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.第2题图3.如图，为了加快5G网络信号覆盖，某地在附近小山的顶部架设信号发射塔，为了知道信号发射塔的高度，在地面上的A处测得塔顶P处的仰角是31°，向发射塔方向前行100m到达地面上的B处，测得塔顶P处的仰角是58°，塔底Q处的仰角是45°.根据测得的数据，求信号发射塔PQ的高度(结果取整数)．参考数据：tan31°≈0.60，tan58°≈1.60.第3题图4.周末，小津想利用所学过的锐角三角函数知识探求自己的无人机的爬高能力．具体做法如下：如图，将无人机放置在点C处，并沿垂直于水平地面的方向向上匀速飞行，小津在距离点C10米远的点D处(与点C在同一水平面)第一次观察到无人机位于点B处的仰角为45°，经过1秒后，再次观察到无人机位于点A处的仰角是53°，求该无人机匀速爬高的速度．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33.第4题图5.为庆祝改革开放40周年，某市举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量平安金融中心AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD＝32°.登上大厦DE的顶部E处后，测得平安中心AB的顶部A处的仰角为60°，(如图)．已知C、D、B三点在同一水平直线上，且CD＝400米，DB＝200米．(结果取整数)(Ⅰ)求大厦DE的高度；(Ⅱ)求平安金融中心AB的高度．参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)取1.73.第5题图拓展类型拥抱型典例精讲例3致远塔塔名取“宁静以致远”之意，坐落于天津河北区北宁公园内，是津门古典高层景观．周末，小明想利用学过的数学知识测量致远塔的高度．如图，小明在致远塔和假山之间的点B处测得致远塔的顶部D的仰角为63°，测得假山的顶部A的仰角为45°，点B，C，E在同一水平线上，且BC＝2BE，若假山的高度为18.8米，求致远塔的高度CD(结果取整数)．参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96.例3题图【思维教练】已知AE，∠DBC，∠ABE，BC和BE的关系，要求致远塔CD的高度，可先在Rt△ABE中解直角三角形，求得BE的长，再在Rt△BCD中解直角三角形，即可求得致远塔的高度CD.【自主解答】针对演练1.在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度(结果精确到0.1)．参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，eq\r(3)取1.73.第1题图2.如图，已知斜坡AB长60米，坡角为30°，BC⊥AC.小强站在斜坡中点D处测得建筑物顶部H的仰角为30°(小强的身高忽略不计)，建筑物GH距离坡脚A点27eq\r(3)米，点B，C，A，G，H在同一平面上，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高度．第2题图3.学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B，C分别在EF，DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm.求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60.第3题图参考答案类型一背靠背型典例精讲例1解：如解图，过点M作MD⊥AB于点D，由题意可知，AM＝50.∵∠AMD＝45°，∴AD＝DM.在Rt△ADM中，∵sin∠AMD＝eq\f(AD,AM)，∴DM＝AD＝AM·sin45°＝25eq\r(2).在Rt△BMD中，∵∠BMD＝66°，∴BM＝eq\f(DM,cos66°)＝eq\f(25\r(2),cos66°)≈86.2，DB＝DM·tan66°＝25eq\r(2)tan66°.∴AB＝AD＋BD＝25eq\r(2)＋25eq\r(2)tan66°≈114.9.答：小岛M与渔船B的距离BM约为86.2海里，渔船从A航行到B的距离AB约为114.9海里．例1题解图针对演练1.解：如解图，过点A作AG⊥BC，垂足为G，交EF于点D，则∠ADE＝90°.设AD＝x，则AG＝AD＋DG＝x＋1.6.∵在Rt△ADE中，∠AED＝45°，∴∠EAD＝45°，∴∠AED＝∠EAD，∴ED＝AD＝x，DF＝EF－ED＝35－x.在Rt△ADF中，tan∠AFD＝eq\f(AD,DF)，∴0.40＝eq\f(x,35－x).解得x＝10.∴AG＝10＋1.6＝11.6.答：此时气球A距离地面的高度约为11.6m.第1题解图2.解：根据题意，∠ACD＝90°，∠D＝90°，如解图，过点E作EH⊥AC于点H，可得四边形EHCD为矩形，∴CH＝DE＝6，HE＝CD.设AC＝xm，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝eq\f(BC,AC)，∴BC＝AC·tan71.6°≈3.01x，在Rt△AHE中，tan∠EAC＝eq\f(HE,AH)，∴HE＝AH·tan80.6°≈6.04(x－6)．又∵BC＋CD＝306，∴BC＋HE＝306，∴3.01x＋6.04(x－6)＝306，解得x≈38.答：舰岛AC的高度约为38m.第2题解图3.解：(Ⅰ)由已知得：∠AEP＝18°，AP＝BP＝eq\f(1,2)AB＝17，在Rt△APE中，∵sin∠AEP＝eq\f(AP,AE)，∴AE＝eq\f(AP,sin∠AEP)＝eq\f(AP,sin18°)≈eq\f(17,0.3)≈57，答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为57cm；(Ⅱ)如解图，过点B作BF⊥AC于点F，∵∠EAB＋∠BAF＝90°，∠EAB＋∠AEP＝90°，∴∠BAF＝∠AEP＝18°，在Rt△ABF中，AF＝AB·cos∠BAF＝34×cos18°≈34×0.95＝32.3，BF＝AB·sin∠BAF＝34×sin18°≈34×0.3＝10.2，∵BF∥CD，∴∠CBF＝∠BCD＝30°，∴CF＝BF·tan∠CBF＝10.2×tan30°＝10.2×eq\f(\r(3),3)≈5.78，∴AC＝AF＋CF＝32.3＋5.78≈38.答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为38cm.第3题解图类型二母子型典例精讲例2解：如解图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则∠AED＝∠BED＝90°，由题意可知，BC＝78，∠ADE＝48°，∠ACB＝58°，∠ABC＝90°，∠DCB＝90°，∴四边形BCDE为矩形，∴ED＝BC＝78，DC＝EB，∵在Rt△ABC中，tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)，∴AB＝BC·tan58°≈78×1.60≈125.∵在Rt△AED中，tan∠ADE＝eq\f(AE,ED)，∴AE＝ED·tan48°，∴EB＝AB－AE＝BC·tan58°－ED·tan48°≈78×1.60－78×1.11≈38，∴DC＝EB＝38，答：甲建筑物的高度AB约为125m，乙建筑物的高度DC约为38m.例2题解图针对演练1.解：如解图，过点S作SC⊥AB于点C.由题意知∠SAB＝31°，∠SBC＝58°，AB＝12.设CS＝x，在Rt△BCS中，tan58°＝eq\f(CS,BC)＝eq\f(x,BC)，∴BC＝eq\f(x,tan58°)，在Rt△CAS中，AC＝AB＋BC＝12＋eq\f(x,tan58°)，∵tan31°＝eq\f(CS,AC)＝eq\f(x,AC)，∴x＝tan31°·(12＋eq\f(x,tan58°))，解得x≈11.52≈12.在Rt△ACS中，sin31°＝eq\f(CS,AS)，∴AS＝eq\f(CS,sin31°)≈22.答：航行过程中船距灯塔S的最近距离约为12海里，SA的距离约为22海里．第1题解图2.解：根据题意，∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，∠CDA＝90°，AC＝80海里．∵在Rt△ACD中，cos∠ACD＝eq\f(CD,AC)，∴CD＝AC·cos∠ACD＝80cos70°，在Rt△BCD中，tan∠BCD＝eq\f(BD,CD)，∴BD＝CD·tan∠BCD＝80×cos70°×tan37°≈80×0.34×0.75≈20.答：还需航行的距离BD的长约为20海里．3.解：根据题意，∠PAC＝31°，∠PBC＝58°，∠QBC＝45°，AB＝100，∵在Rt△PAC中，tan∠PAC＝eq\f(PC,AC)，∴AC＝eq\f(PC,tan31°).∵在Rt△PBC中，tan∠PBC＝eq\f(PC,BC)，∴BC＝eq\f(PC,tan58°).∵AC＝AB＋BC，∴eq\f(PC,tan31°)＝100＋eq\f(PC,tan58°)，∴PC＝eq\f(100tan58°×tan31°,tan58°－tan31°)≈eq\f(100×1.60×0.60,1.60－0.60)＝96.∵在Rt△QBC中，tan∠QBC＝eq\f(QC,BC)，∴QC＝BC≈eq\f(96,1.60)＝60.∴PQ＝PC－QC＝96－60＝36.答：信号发射塔PQ的高度约为36m.4.解：在Rt△DCB中，∵∠BDC＝45°，CD＝10，∴BC＝CD＝10，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝53°，CD＝10，∴AC＝CD·tan∠ADC≈13.3，∴AB＝AC－BC＝13.3－10＝3.3，∴无人机的速度＝3.3÷1＝3.3.答：该无人机匀速爬高的速度为3.3m/s.5.解：(Ⅰ)∵在Rt△DCE中，∠CDE＝90°，∠ECD＝32°，CD＝400，∴DE＝CD·tan∠ECD≈400×0.62＝248.答：大厦DE的高度约为248米；(Ⅱ)如解图，作EF⊥AB于点F.由题意得EF＝DB＝200，BF＝DE＝248，∠AEF＝60°.∵在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，∴AF＝EF·tan∠AEF≈200×1.73＝346，∴AB＝BF＋AF＝248＋346＝594.答：平安金融中心AB的高度约为594米．第5题解图拓展类型拥抱型典例精讲例3解：∵AE＝18.8，∠ABE＝45°，∴BE＝AE＝18.8.∵BC＝2BE，∴BC＝37.6.∵∠DBC＝63°，∴DC＝BC·tan∠DBC≈74.答：致远塔的高度CD约为74米．针对演练1.解：在△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝24，∠ABD＝90°－53°＝37°，∴AD＝AB