人教版高中数学全册教案-07点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系

点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系

一、教学目标

（一）知识教学点

使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；过圆上一点的圆的切线方程，

判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法；两圆位置关系的几何特征和代数特

征.

（二）能力训练点

通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的教学，培养学生综合运用圆有关方面知

识的能力.

（三）学科渗透点

点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析，现在是用代

数方法来分析几何问题，是平面几何问题的深化.

二、教材分析

1.重点：（1）直线和圆的相切（圆的切线方程）、相交（弦长问题）；（2）圆系

方程应用.

（解决办法：（1）使学生掌握相切的几何特征和代数特征，过圆上一点的圆的

代线方程，弦长计算问题；（2）给学生介绍圆与圆相交的圆系方程以及直线与圆

相交的圆系方程.）

2.难点:圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点（xO,yO）的切线方程的证明.

（解决办法：仿照课本上圆x2+y2=r2上一点（xo,yo）切线方程的证明.）

三、活动设计

归纳讲授、学生演板、重点讲解、巩固练习.

四、教学过程

（一）知识准备

我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”，为了更好地讲

解这个课题，我们先复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识.

1.点与圆的位置关系

设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(xO,yO)到圆心的距离为d,则有：

(l)d>r=>点乂在圆外；

(2)d=r=点乂在圆上；

(3)d<r一点M在圆内.

2.直线与圆的位置关系

设圆C：(x-a)2+(y-b)=r2,直线设的方程为Ax+By+C=O,圆心(a,

b)到直线1的距离为d,二,"r编去逐曲一元

判别式为4,则有：

(l)d<r0直线与圆相交；

⑵d=r一直线与圆相切；

(3)d<r=直线与圆相离，即儿何特征；

或0直线与圆相交；

⑵△=()一直线与圆相切；

⑶4<00直线与圆相离，即代数特征，

3.圆与圆的位置关系

设圆Cl：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k2r),且设两圆圆

心距为d,则有:

(l)d=k+r两圆外切；

(2)d=k-r0两圆内切；

(3)d>k+r两圆外离；

(4)d<k+r0两圆内含；

⑸k-r<d<k+r两圆相交.

4.其他

⑴过圆上一点的切线方程：

①圆x2+y2=r2,圆上一点为(xO,yo),则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本

命题).

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(xO,y0),则过此点的切线方程为

(xO-a)(x-a)+(yO-b)(y-b)=r2(课本命题的推广).

⑵相交两圆的公共弦所在直线方程：

设圆C1:x2+y2+Dlx+Ely+Fl=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若两圆相交，

则过两圆交点的直线方程为(DLD2)x+(El-E2)y+(Fl-F2)=0.

⑶圆系方程：

①设圆C1:x2+y2+Dlx+Ely+Fl=0和圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若两圆相交，

则过交点的圆系方程为x2+y2+Dlx+Ely+Fl+X(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(人为参数，

圆系中不包括圆C2,X=-1为两圆的公共弦所在直线方程).

②设圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线/：Ax+By+C=O,若直线与圆相交,则过

交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+入(Ax+By+C)=0(人为参数).

(二)应用举例

阳已如圈/+/=16与斜率为的直线相初，松田I线的方程

和切点坐标.

分析：求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：(1)从代数特征分析；(2)

从儿何特征分析.一般来说，从儿何特征分析计算量要小些.该例题由学生演板

完成.

解,ifttt=方程为y=-；*+!>•

•.•圆心0(0,0)到切线的距离为4,

nS=4,即>=+2&

45

，所求的切线方程为y=W±24S.

把这两个切线方程写成

4g48

亨+亨=16费-17y=16.

注意到过圆x2+y2=r2上的,,点P(xO,yo)的切线的方程为x0x+y0y=r2,

可以看出.切点坐标为。.3及(-亳命.

例2已知实数A、B、C满足A2+B2=2C2W0,求证直线Ax+By+C=O与圆x2+y2=l

交于不同的两点P、Q,并求弦PQ的长.

分析：证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△>(),又可以用

儿何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径，由教师完成.

证：设圆心0(0,0)到直线Ax+By+C=O的距离为d,则d=

直线Ax+By+C=O与圆x2+yl=l相交于两个不同点P、Q.

.".|PQ|=21Mpi=2-J。叫=K

故|PQ|=^.

图2-12

例3求以圆Cl：x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共

弦为直径的圆的方程.

解法一:

+ya-12K-2y-13=0

+ya+l2«+l6y-25=0

相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.

(4<+3^-2=0

融9+八0赤13=。但网"点的-L以B©,6)

•・,所求圆以AB为直径，

是AB的中心点卬，-2),*的半径为r=%AB|=5.

于是圆的方程为(X-2)2+(y+2)2=25.

解法二：

设所求圆的方程为：

x2+y2-12x-2y-13+X(x2+y2+12x+16y-25)=0(X为参数)

・12*-1216X-2.

.®<内一2(1+%),券+工)>

•••圆心C应在公共弦AB所在直线上，

1

-

2

所求圆的万程为x2+y2-4x+4yT7=0.

小结：

解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法；解法二采取了圆系方程求待定系数,

解法比较简练.

(三)巩固练习

1.已知圆的方程是x2+y2=l,求:

⑴斜率为1的切线方程;

碇谏壮段距是廊切线方程.

社口新(m=x±是；0y=±x+^.

2.(1)圆(xT)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+l=0的最短距离是

⑵两圆Cl：x2+y2-4x+2y+4=0与C2:x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是

(内切)

由学生口答.

3.未经过原点，且过圆x2+y2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆

的方程.

分析：若要先求出直线和圆的交点，根据圆的一般方程，由三点可求得圆的方程；若

没过交点的圆系方程，由此圆系过原点可确定参数X,从而求得圆的方程.由两个同学演

板给出两种解法：

解法一:

3P+/4-8K-6,+21=0-—

由-+5=0相交点J祁(4D

设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

V(0,0),(-2,3),(-4,1)三点在圆上,

F-0

F=0

4+9-2D+3E-F=O=><EV

164-t-4D4-E-F=019

D=T

,所相的方程为・？+/+热击=0

解法二：

设过交点的圆系方程为：

x2+y2+8x-6y+21+入(x-y+5)=0.

21

路原点8,0术人上述方也

则所求方程为，？+/+9Mly=0.

五、布置作业

I.过点M0,洞向国？+/=5引两条划线，求它们的方狸.

2.求证:两圆x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6yT9=0相外切.

3.求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线

x-y-4=0上的圆的方程.

4.由圆外一点Q(a,b)向圆x2+y2=r2作割线交圆于A、B两点，向圆x2+y2=r2

作切线QC、QD,求：

⑴切线长；

(2)AB中点P的轨迹方程.

作业答案：

1.y=*<+Vio

2.证明两圆连心线的长等于两圆半径之和

3.x2+y2-x+7y-32=0

4.(l)|Qq=|QP|=^aa+b4-ra